lista 7

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Centro de Estudos Sociais Aplicados
CEC00003 - Matema´tica para Economia I
10 de junho de 2018
Prof. Samuel A.C Campos
LISTA 7
Atenc¸a˜o: A lista na˜o necessita ser entregue. E´ apenas uma lista de fixac¸a˜o optativa. Du´vidas, envie e-mail para
samuelcampos@id.uff.br
Questa˜o 1. Maximizando o lucro O faturamento dia´rio (em reais) da Weston Publishing obtido da publicac¸a˜o
e da venda de seus diciona´rios de ingleˆs e´ dado por:
R(x, y) = −0, 005x2 − 0, 003y2 − 0, 002xy + 20x+ 15y
onde x representa o nu´mero de co´pias da edic¸a˜o de luxo, e y representa o nu´mero de co´pias da edic¸a˜o
tradicional vendidas diariamente. O custo total da publicac¸a˜o desses diciona´rios e´ dado por
C(x, y) = 6x+ 3y + 200
reais. Determine quantas co´pias da edic¸a˜o de luxo e quantas da edic¸a˜o tradicional a Weston deve
publicar diariamente para maximizar seu lucro. Qual e´ o maior lucro realiza´vel? Dica: lembre que o
lucro pi= receita - custos
Questa˜o 2. A regia˜o retangular R mostrada na figura a seguir representa o distrito financeiro de uma cidade. O
prec¸o do terreno no centro do distrito e´ estimado pela func¸a˜o:
p(x, y) = 200− 10
(
x− 1
x
)2
− 15(y − 1)2
onde p(x, y) e´ o prec¸o do terreno no ponto (x, y) em do´lares/pe´ quadrado, e x e y sa˜o medidos em
milhas. Em que ponto do distrito financeiro o prec¸o do terreno e´ o maior?
CEC00003 Lista 6
Questa˜o 3. Calcule o valor extremo (ou valores) da func¸a˜o e determine se e´ um ma´ximo ou mı´nimo:
(a) z = x2 + xy + 2y2 + 3
Questa˜o 4. Por multiplicac¸a˜o matricial direta, expresse cada um dos seguintes produtos de matrizes como uma
forma quadra´tica:
(a)
[
u v
] [ 4 2
2 3
] [
u
v
]
Questa˜o 5. Expresse a forma quadra´tica como um produto de matrizes envolvendo uma matriz de coeficientes
sime´trica.
(a) q = 3u2 − 4uv + 7v2
Questa˜o 6. Calcule o valor extremo (ou valores) da func¸a˜o e determine se e´ um ma´ximo ou mı´nimo:
(a) z = x21 + 3x
2
2 − 3x1x2 + 4x2x3 + 6x23
Questa˜o 7. Verifique se a func¸a˜o z = x21+2x
2
2 e´ coˆncava, convexa ou estritamente coˆncava ou estritamente convexa.
SOLUC¸A˜O DE EXERCI´CIOS
Questa˜o 1. Sendo fxx = −0, 01 < 1 e fxxfyy−(fxy)2 = 0, 000056 > 0 enta˜o, o lucro pi(1.071, 40, 1.642, 90) = 1.7157
e´ o ma´ximo realiza´vel.
Questa˜o 2. O prec¸o do terreno mais alto e´ em (1, 1).
Questa˜o 3. Ponto Cr´ıtico: (x, y) = (0, 0). Condic¸a˜o de segunda ordem: fxx = 2 e fxxfyy− (fxy)2 = 7. z∗(0, 0) = 3
e´ o ponto mı´nimo.
Questa˜o 4. 4u2 + 4uv + 3v2
Questa˜o 5.
[
u v
] [ 3 −2
−2 7
] [
u
v
]
Questa˜o 6. Valor mı´nimo da func¸a˜o e´ z∗ = 0 no ponto cr´ıtico (0, 0, 0)
Questa˜o 7. Estritamente convexa
Dica: Para mais exerc´ıcios, veja o cap´ıtulo 11 do Chiang, Matema´tica para Economistas, Exerc´ıcios 11.2, 11.3,
11.4, 11.5 e 11.6
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