2ª Lista de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA - A´REA 2
2a LISTA DE EXERCI´CIOS 2013.2
PROFo GILSON SIMO˜ES
1a Questa˜o: Determine se as matrizes abaixo sa˜o invers´ıveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
a)

1 2 3 4
0 2 3 4
0 0 3 4
0 0 0 4
 b)

2 0 −1 8
3 8 6 0
1 −7 −5 0
0 7 5 4
 c)

4 0 7 3 5
2 0 2 1 0
7 3 2 4 8
5 0 5 2 3
0 0 9 1 2

d)

−2 −3 −1 −2
−1 0 1 −2
−3 −1 −4 1
−2 2 −3 −1
 e)

−2 3 1 −1
0 1 2 3
1 −1 1 −2
4 −3 5 1

2a Questa˜o: Considere as matrizes
A =
 3 0 42 3 2
0 5 −1
 B =
 5 −2 40 3 −5
2 −4 7
 .
a) Calcule det(A) , det(B) e det(AB).
b) Determine se AB e´ invers´ıvel.
c) Obtenha a inversa de AB, se invers´ıvel.
3a Questa˜o: Considere a matriz A abaixo.
A =

1 a −1 1
2 0 0 2
−1 −1 0 1
1 0 a 0

a) Para que valores de a a matriz A e´ invers´ıvel?
b) Para a = 0 determine A−1.
4a Questa˜o: Suponha que A seja uma matriz 2 × 1 e que B seja uma matriz 1 × 2. Mostre que
C = AB na˜o e´ invers´ıvel.
5o Questa˜o: Considere a matriz A abaixo
A =
 x− 2 x + 3 x− 12 1 3
3 3 1
 .
a) Determine o valor de x para que a matriz A na˜o seja invers´ıvel.
b) Para x = 1 determine A−1.
1
6a Questa˜o: Dado um sistema de n equac¸o˜es com n varia´veis
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b1
...
...
...
...
an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn
Sabemos que o sistema pode ser escrito na forma matricial AX = B, onde
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
an1 an2 . . . ann
 , X =

x1
x2
...
xn
 , B =

b1
b2
...
bn
 .
Admitindo a existeˆncia da matriz A−1, multiplicamos ambos os membros da igualdade AX = B por
A−1, e obtemos;
A−1AX = A−1B.
Mas A−1A = I e IX = X, logo
X = A−1B.
Isto e´, a soluc¸a˜o do sistema fica bastante simples, no caso em que a matriz dos coeficientes A admite uma
inversa A−1. Basta multiplicar a matriz A−1 pela matriz B dos termos independentes. Sendo assim, em
cada um dos sistemas de equac¸o˜es lineares abaixo, determinte se a matriz dos coeficientes admite
uma inversa e em acaso afirmativo, encontre a inversa e resolva o sistema como feito acima.
 2x + y + 7z = 16x + 3y + 2z = −5
5x + 3y + 4z = 11
 x + 2y − 2z = 02x + 5y − 4z = 3
3x + 7y − 5z = 7

−2x − y + 2w = 5
3x + y − 2z − 2w = 3
−4x − y + 2z + 3w = 12
3x + y − z − 2w = 10
 −2x + 3y − z = 2x − 3y + z = 5−x + 2y − z = 7
2