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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - A´REA II SEGUNDO SEMESTRE DE 2011 GABARITO do Terceiro Exerc´ıcio Escolar de Ca´lculo 2 - 05/12/2011 1aQuesta˜o - Considere a integral dupla ∫ 4 0 ∫ 2 √ x ey 3 dydx. a)(1,5 ponto) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o. b)(2,0 pontos) Calcule esta integral. Soluc¸a˜o : a) 2 4 y x xy= b) ∫ 4 0 ∫ 2 √ x ey 3 dydx = ∫ 2 0 ∫ y2 0 ey 3 dxdy = ∫ 2 o y2ey 3 dy = 1 3 ey 3 ∣∣∣∣2 0 = 1 3 (e8 − 1). 2aQuesta˜o - Seja E o so´lido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 1, pelo plano z=4, e pela semi-esfera z = + √ 1− x2 − y2. a)(1,0 ponto) Esboce o so´lido E. b)(2,0 pontos) Calcule o volume do so´lido E usando integrac¸a˜o dupla. c)(0,5 ponto) Escreva uma integral tripla, em coordenadas cil´ındricas, que represente o vo- lume de E. Na˜o precisa calcular a integral! Soluc¸a˜o : a) E z y x região D de itegração (0,1,0) .(0,0,4) z= 1- x - y2 2 b) V = ∫ ∫ D (4− √ 1− x2 − y2)dA = ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 (4− √ 1− r2)rdrdθ = = ∫ 2pi 0 [∫ 1 0 (4r − √ 1− r2r)dr ] dθ = ∫ 2pi 0 [ 2r2 ∣∣∣1 0 + 1/3(1− r2)3/2 ∣∣∣1 0 ] dθ = ∫ 2pi 0 5 3 dθ = 10pi 3 c) V = ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 ∫ 4 √ 1−r2 1rdzdrdθ 3aQuesta˜o - Seja Q a regia˜o do R3 descrita, em coordenadas esfe´ricas, pelas desigualdades 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi/2, 0 ≤ φ ≤ pi/2 . a)(1,5 pontos) Fac¸a um esboc¸o de Q. b)(1,5 pontos) Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = z sobre Q, ou seja, ∫∫∫ zdV . Q Soluc¸a˜o : a) . . . x y z 0 (0,1,0) (1,0,0) (0,0,1) Q=p/2 F=p/2 b) ∫∫∫ Q zdV = ∫ pi/2 0 ∫ pi/2 0 ∫ 1 0 ρ cosφρ2senφdρdφdθ = 1 4 ∫ pi/2 0 ∫ pi/2 0 senφ cosφdφdθ = = 1 4 ∫ pi/2 0 ( sen2φ 2 ∣∣∣pi/2 0 ) dθ = 1 8 ∫ pi/2 0 dθ = pi 16 .
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