Cálculo 2 - PROVA 2018.1 UFPE (RESOLVIDA)- 3A UNIDADE

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UFPE-DEPARTAMENTO DEMATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
ÁREA II
30 Exercício Escolar 25/06/2018
GABARITO
1. (2.5)Calcule a integral
∫ ∫
R
√
x2 + y2dxdy onde R é a região limitada
pela desigualdade x2 + (y − 1)2 ≤ 1.
Solução Como o domínio de integração é uma região circular vamos
fazer uma mudança de coordenadas polar. Assim,
(r cosθ)2 + (r sinθ − 1)2 ≤ 1
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ − 2r sinθ + 1 ≤ 1
0 ≤ r ≤ 2 sinθ, 0 ≤ θ ≤ pi
Integrando temos,"
R
√
x2 + y2 dxdy =
∫ pi
0
∫ 2 sinθ
0
r
√
(r cosθ)2 + (r sinθ)2 drdθ
=
∫ pi
0
∫ 2 sinθ
0
r2drdθ
=
8
3
∫ pi
0
sin3 θdθ
=
8
3
∫ pi
0
sinθ(1 − cos2 θ)dθ
=
8
3
∫ pi
0
sinθdθ − 8
3
∫ pi
0
sinθ cos2 θdθ =
32
9
2. (2.5) Usando coordenadas cilíndricas calcule
∫ ∫ ∫
B
√
x2 + y2dV onde
B é a região situada acima do plano xy , y ≥ |x| e abaixo do cone
z = 4 − √x2 + y2.
Solução: Observe que podemos esboçar a região de integração como
segue.
1
Em coordenadas cilíndricas, tal região corresponde a:
pi
4
≤ θ ≤ 3pi
4
;
0 ≤ r ≤ 4 ;
0 ≤ z ≤ 4 − r .
Portanto, podemos fazer$
B
√
x2 + y2dV =
∫ 3pi
4
pi
4
∫ 4
0
∫ 4−r
0
r·r dzdrdθ =
∫ 3pi
4
pi
4
dθ·
∫ 4
0
∫ 4−r
0
r2 dzdr
= θ
∣∣∣∣ 3pi4pi
4
·
∫ 4
0
r2z
∣∣∣∣4−r
0
dr =
pi
2
∫ 4
0
(4r2 − r3)dr = pi
2
·
(
4r3
3
− r
4
4
) ∣∣∣∣4
0
=
=
pi
2
· r3
(4
3
− r
4
) ∣∣∣∣4
0
=
pi
2
· 64 · 1
3
=
32pi
3
.
3. (2.5)Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido S que
está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 9, acima do plano xy e abaixo do
cone z2 = 3(x2 + y2).
Solução:
2
Descrição do Sólido em cordenadas esféricas
z =
1√
3
√
x2 + y2 ⇒ ρ cosφ = 1√
3
√
ρ2 sin2 φ⇒ tanφ = √3⇒ φ = pi/3.
Note que em S a variação do ângulo φ começa no cone onde φ = pi/3 e
termina no plano z = 0, onde φ = pi/2. Portanto temos
pi/3 ≤ φ ≤ pi/2, 0 ≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Temos então
V(S) =
∫ ∫ ∫
S
dV =
∫ 2pi
0
∫ pi/2
pi/3
∫ 3
0
ρ2 sinφ dρdφdθ =
=
27
3
pi
4. Considere o sólido S limitado pelos planos y + z = 1, y = x, x = 0 e
z = 0.
(a) (1.5) Encontre as integrais iteradas que representam o volume do
sólido
(i)V(S) =
∫ ∫ ∫
S
dzdydx
(ii)V(S) =
∫ ∫ ∫
S
dydzdx
(b) (1.0)Calcule uma das integrais.
Dica: Faça um esboço do s´olido.
(a) Solução
O sólido S limitado pelos planos z + y = 1, y = x, x = 0 e z = 0 é um
tetraedro com uma das faces contida no plano XOY, cujos vértices são
os pontos (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Portanto,
(i) V(S) =
∫ 1
0
∫ 1
x
∫ 1−y
0
dz dy dx
3
(ii) V(S) =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−z
x
dy dz dx
(b) Solução
Escolhendo a primeira integral, temos:
V(S) =
∫ 1
0
∫ 1
x
∫ 1−y
0
dz dy dx =
∫ 1
0
∫ 1
x
1 − y dy dx =
=
∫ 1
0
[y − (y2)/2]1x dx =
∫ 1
0
1/2 − x + (x2)/2 dx = [x/2 − (x2)/2 + (x3)/6]10
Logo,
V(S) = 1/6.
Escolhendo agora a segunda integral, obtemos:
V(S) =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−z
x
dy dz dx =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
1 − z − x dz dx =
=
∫ 1
0
1 − x − (1 − x)2/2 − (1 − x)x dx =
∫ 1
0
1/2 − x + x2/2 dx
Logo,
V(S) = 1/6.
4