AP1 GAI 2009 1 gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Primeira Avaliação Presencial de Geometria Analítica I 
1/2009 – Prof. Linhares 
 
 
Nome:__________________________________________________________ 
 
Pólo:___________________________________________________________ 
 
 
Questão 1: (2,5 pontos) Verifique se a equação 09524363636 22 =−+−+ yxyx 
representa um círculo. Em caso afirmativo, dizer qual o centro e o raio do círculo. 
 
Solução: ( ) 095
3
23636 22 =−





++− yyxx . Completando os quadrados dentro dos 
parênteses, temos: 
 
095
9
1
9
1
3
236
4
1
4
136 22 =−





−+++





−+− yyxx 
 
∴ 04995
9
1
3
236
4
136 22 =−−−





+++





+− yyxx 
 
∴ 0108
3
136
2
136
22
=−





++





− yx ∴ 3
3
1
2
1 22
=





++





− yx 
 
∴ ( )222 3
3
1
2
1
=





++





− yx , que é a equação do círculo de centro )31,21( −C e 
raio 3=r . 
 
 
Questão 2: (2,5 pontos) Considere os pontos )1,1( −A , )1,2(B , )1,0(´ −C e )3,1( −−C . 
Verifique se CABC´ é um paralelogramo. Em caso afirmativo calcule a área do triângulo 
ABC . 
 
Solução: O ponto médio do segmento ´AC é )1,21( −M 










 ++
2
,
2
2121 yyxxM e o 
ponto médio do segmento BC também é )1,21( −M . Logo, CABC ´ é um paralelogramo 
(as diagonais ´AC e BC intersectam-se nos pontos médios). 
[Ou ainda, )2,1(=AB e )2,1(` =CC . Logo, CABC ´ é um paralelogramo.] 
Considere os vetores )2,1(),( == baAB e )2,2(),( −−== dcAC . 
A área do triângulo ABC é então dada por 1
2
=
− bcad
 u.a. 
[ou Área do triângulo = 1
2
4
2
685
2
, 2
22
==
−
=
− xACABACAB
 u.a.] 
 
Questão 3: (2,5 pontos) Determine as equações cartesiana e paramétricas da reta que passa 
pelos pontos )2,1( −P e )5,3(Q . 
 
Solução: O coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos P e Q , dados, é 
2
7
13
25
=
−
+
=m . Logo, um ponto com coordenadas ),( yx estará sobre a reta r se, e 
somente se, 
2
7
3
5
=
−
−
x
y
 ∴ 217102 −=− xy ∴ 01127 =−− yx 
que é a equação cartesiana da reta r . 
Agora, a reta passa pelo ponto Q e tem vetor direção )7,2(=PQ . Logo, as equações 
paramétricas da reta são: 



+=
+=
β
α
75
23
y
x
 
 
 
Questão 4: (2,5 pontos) Sejam u e v vetores não-nulos. Mostre que se u e v são 
ortogonais então a projeção ortogonal de um destes vetores sobre o outro é o vetor nulo. 
 
Solução: Sejam uPv e vPu as projeções ortogonais do vetor u sobre o vetor v , e a 
projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , respectivamente. Temos: 
 
v
vv
vu
uPv
><
><
=
,
,
 e u
uu
vu
vPu
><
><
=
,
,
 
 
Como u e v são ortogonais então 0, >=< vu . Logo, 0=uPv e 0=vPu .