analise de erros ap1 1 2010

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Análise de Erros da AP1
Caro aluno,
Durante a correção da AP1, alguns erros conceituais se mostraram frequêntes, 
revelando algumas graves deficiências na aprendizagem da disciplina. Para evitar que 
tais erros possam comprometer sua evolução no curso, apresentaremos alguns 
comentários sobre eles. 
Questão 1.
Um erro bastante comum nesta questão foi considerar os vetores AB , AC e 
BC iguais (ou equipolentes), onde A = (1,2) e B = (3,0) e C é o vértice (x,y) que se 
deseja obter. Isto é 
AB=AC=BC ,
o que é incorreto! O fato de o triângulo ser equilátero, implica que estes vetores 
possuem mesmo módulo (ou norma ou comprimento). Assim, o correto seria
∥AB∥=∥AC∥=∥BC∥ .
Note que as duas expressões são muito diferentes. A primeira (errada) implica 
(2, –2) = AB = AC = (x – 1, y – 2) ⇒ C = (x, y) = (3, 0)
enquanto a segunda (correta) implica
∥AB∥=∥AC∥⇒22= x−12 y−22
e
∥AB∥=∥BC∥⇒22=x−32 y2 .
Questão 2.
A primeira “parte” da questão consistia em dizer se era possível existir um 
paralelogramo que tivesse A, B e C como três de seus vértices. O erro mais comum (na 
verdade, o único que realmente foi encontrado), foi provar a existência do 
paralelogramo mostrando-se a existência de um ponto D tal que os pontos médios de 
AC e BD coincidissem. 
A existência de um tal ponto D não prova o que queríamos! Imagine que os 
pontos fossem A = (0,0), B = (1, 0) e C = (4,0). Se fizéssemos D = (3,0), o ponto médio 
de BD seria (2,0), que também seria o ponto médio de AC. Repare, porém, que ABCD 
não é um paralelogramo, pelo simples fato de que os pontos estão sobre uma mesma 
linha. 
Existe uma outra forma de ver que provar a existência de D não é suficiente. Se 
considerarmos três pontos quaisquer A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC), sempre 
podemos obter o ponto D satisfazendo a propriedade dos pontos médios, basta fazer 
D= xAxC− xB , yA yC− y B .
(verifique que o ponto médio de BD será o mesmo de AC). Repare no peso deste 
argumento: se for verdade que “a existência do ponto D garante a existência do 
paralelogramo”, como sempre podemos obter tal ponto D, três pontos sempre seriam 
possíveis vértices de um paralelogramo, o que é falso (pelo exemplo acima)!
Mas qual é então o argumento correto? Como se pode garantir que existe um 
paralelogramo com A, B e C como três de seus vértices? A resposta está nos parágrafos 
acima: basta garantir que A, B e C não sejam colineares. Este argumento é necessário 
e suficiente:
• Se A, B e C não são colineares, basta considerar D definido acima e teremos um 
paralelogramo.
• Se A, B e C são vértices de um paralelogramo, não são colineares, pois, do 
contrário, dois lados consecutivos (AB e BC) estariam sobre a mesma reta.
Assim, bastaria e deveria ser provado que os vetores AB e AC (ou AB e 
BC , ou ainda AC e BC ) são linearmente independentes.
Questão 3.
Nesta questão, o erro mais comum foi considerar-se o vetor direção (1, – 6) 
como sendo um ponto da reta. Este erro aparecia em diversas formas, a maior parte dos 
que erraram, porém, tentaram obter a equação cartesiana da reta, supondo que ela 
passava por (2, –1) (correto) e (1, – 6) (incorreto).
Alguns alunos obtiveram corretamente a equação paramétrica, porém na hora de 
obter a cartesiana, eliminaram o parâmetro t, simplesmente igualando as expressões de 
x e y, o que é incorreto. 
Questão 4.
A projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor w é dado por
Pw v=
〈v ,w 〉
〈w ,w 〉
w=〈2, ,3,2〉
〈3,2 ,3,2〉
3,2=62
13
3,2 .
Esta expressão nos dá o vetor Pwv. Um erro muito comum foi considerar
62
13
3,2=1 .
Isto é um erro conceitual dos mais graves! O lado esquerdo representa um 
vetor e o lado direito é um número, portanto as duas expressões nunca poderão ser 
iguais. Os alunos que escreveram esta expressão errada, ou não continuaram, ou 
efetuaram uma incorretíssima operação de produto “(6 + 2λ)(3,2) = 18 + 4λ” (uma 
operação inexistente de produto interno entre número e vetor!).
Alguns alunos, ao invés do erro acima, escreveram
∥Pw v∥=
〈v , w〉
〈w , w〉
=62
13
o que também é um erro, uma vez que o correto seria
∥Pw v∥=∥ 〈v ,w 〉〈w ,w 〉 w∥=∣6213 ∣∥3,2∥=∣62∣13 13=∣62∣13 ,
Alguns alunos, ao chegar neste ponto, cometeram o pequeno erro de escrever
∥Pw v∥=∥ 〈v , w 〉〈w , w 〉 w∥=6213 ∥3,2∥=∣62∣13 13=6213 ,
isto é, não consideraram o módulo do número que multiplica o vetor (3,2).
Observações finais
De maneira geral, podemos observar, por parte da maioria dos alunos, uma 
preocupação exagerada com a forma e os métodos de resolução, tendo sido deixado de 
lado um aspecto essencial para a Matemática: a correção conceitual. 
Isto é extremamente preocupante, e pode revelar que há uma grande quantidade 
de alunos preocupados em simplesmente obter nota, ao invés de aprender de fato. Mais 
importante do que se perguntar “como eu resolvo isso?” é perguntar “O que está escrito 
aqui?”, e tentar resumir a solução dos problemas matemáticos a uma coletânea de 
métodos é um grande equívoco.
Um exemplo claro disto é a questão 2, na qual parece que muitos tentaram 
adaptar a solução de alguns exercícios do Módulo (em particular os que pedem para 
determinar o quarto vértice de um paralelogramo a partir de outros três), sem se 
preocupar com a cadeia lógica dos fatos, e as justificativas das afirmações.
Esperamos que todos compreendam que um matemático é mais que uma 
operário bem treinado no uso de ferramentas numéricas; ele é, na verdade, aquele que 
cria as ferramentas, e, na falta de alguma delas, sabe muito bem como improvisar.
Esperamos também vê-los mais ativos, procurando mais a tutoria e deixando 
suas dúvidas na plataforma.
E, para qualquer assunto, a coordenação estará sempre disponível.
Bom estudo a todos.
Leonardo Tadeu Silvares Martins
	Análise de Erros da AP1