DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Intervalo de Confiança

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Disciplina: Estatística Aplicada II 
Prof. Constantino 
Notas de Aula: Intervalo de Confiança 
 
1 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) 
Para estabelecermos um intervalo de confiança utilizaremos a seguinte estratégia 
 
Na distribuição acima, a empresa poderá estar 90 % confiante de que o índice médio de economia de 
estará entre 28,1 e 34,1. 
Considerando os dados acima pode-se estabelecer que tem-se 90% de confiabilidade de que o índice 
médio de economia de combustível para toda linha de automóvel de passeio do fabricante está entre 
28,1 e 34,1 milhas por galão. 
Estudaremos a técnica de inferência estatística – usar amostras estatísticas para estimar o valor de um 
parâmetro populacional desconhecido. Neste campo, estabeleceremos como usar amostras 
estatísticas para fazer a estimativa do parâmetro populacional  quando o tamanho da amostra for 
pelo menos 30 ou quando a população é normalmente distribuída e o desvio 𝜎 é conhecido. 
1.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA (AMOSTRAS GRANDES) 
Estimativa Pontual: É um valor único estimado para um parâmetro populacional. A estimativa pontual 
menos tendenciosa de uma média populacional  é a média amostral 𝑥 . 
Exemplo: 
Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de 
anúncios de revistas. A seguir, representamos uma amostra aleatória do número de frases encontrado 
em 50 anúncios. Encontre a estimativa pontual da média populacional . 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução: 
A média amostral dos dados é: 
 
𝑥 = 
 𝑥
𝑛
= 
620
50
= 12,4 
 
Então, a estimativa pontual para o comprimento da média de todos os anúncios de revista é 12,4 
frases 
 
1.2. ESTIMATIVA INTERVALAR 
 
É um intervalo, ou amplitude de valores, usado para estimar um parâmetro populacional. Para formar 
uma estimativa intervalar, use a estimativa pontual como centro do intervalo e depois adicione e 
subtraia a margem de erro. Por exemplo, se a margem de erro for 2,1, então uma estimativa 
intervalar seria dada por 12,4  2,1 ou 10,3 <  < 14,5. A estimativa pontual e a estimativa intervalar 
estão a seguir: 
 
 
Antes de encontrar a margem de erro para uma estimativa intervalar, devemos primeiro determinar o 
grau de confiabilidade que sua estimativa intervalar contenha a média populacional . 
 
 
 
É a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional 
 
O nível de confiança c é a área sob a curva normal padrão entre os valores críticos, −𝑧𝑐 𝑒 𝑧𝑐 . A 
área remanescente é 1 – c, então a área em cada cauda é 
1
2
 1 − 𝑐 . 
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Por exemplo, se c = 90%, então 5% da área está à esquerda −𝑧𝑐 = −1,645 e 5% está à direita de 
𝑧𝑐 = 1,645 
 
Considerando c = 90% 
C = 0,90 Área na região central da curva 
1 – c = 1- 0,90 = 0,10 Área nas regiões extremas (cauda) 
1
2
 1 − 𝑐 = 0,05 
Área em cada cauda 
−𝑧𝑐 = −1,645 Valor crítico separando a cauda esquerda 
𝑧𝑐 = 1,645 Valor crítico separando a cauda direita 
 
Usaremos níveis de confiança, interligados com os seguintes níveis de confiança: 
 
Nível de Confiança 𝒁𝑪 
90 % 1,645 
95 % 1,96 
99 % 2,575 
 
A diferença entre a estimativa pontual e o valor real do parâmetro é chamada de erro de 
amostragem. 
 
Quando temos  estimado, o erro de amostragem é a diferença de 𝑥 − 𝜇. Na maioria dos casos, é 
claro,  é desconhecido e 𝑥 varia de amostra para amostra. O valor máximo para o erro poderá ser 
calculado se o nível de confiança e a distribuição de amostragem forem conhecidos. 
 
1.3. MARGEM DE ERRO 
 
Também denotado por erro máximo da estimativa ou tolerância de erro (E) é a maior distância 
entre o ponto de estimativa e o valor do parâmetro que se está estimando 
𝐸 = 𝑍𝐶𝜎𝑥 = 𝑍𝐶
𝜎
 𝑛
 
 
Para utilizar tal técnica, assume-se que o desvio padrão da amostra é conhecido. Esse caso é raro, 
mas quando n 30, o desvio padrão da amostra S pode ser usado no lugar de  
 
 
Exemplo 1 : 
 
Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de 
anúncios de revistas. A seguir, representamos uma amostra aleatória do número de frases encontrado 
em 50 anúncios.Considerando um nível de confiança de 95% e o desvio padrão da amostra é 
aproximadamente 5,0. CALCULE a Margem de Erro no intuito de encontrar a média de frases em todos 
os anúncios de revistas. 
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Solução: 
Passo 1: 
 
i) Como foi estabelecido um nível de confiança de 95%, temos que o z-escore será de 1,96 (ou seja, 
95% da área abaixo da curva normal padrão está dentro de 1,96 desvios padrões da média); 
ii) Como n 30 podemos utilizar o desvio padrão S no lugar de  
iii) Sabemos também que n = 50 
 
Passo 2: 
 
Calculando o Erro amostral teremos: 𝐸 = 𝑍𝐶
𝜎
 𝑛
 
𝐸 = 1,96
5
 50
≅ 1,4 
 
Passo 4: 
1.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 
Um intervalo de confiança c para a média populacional  é: 
𝑥 − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥 + 𝐸 
 
A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha 𝜇 é c 
 
Passos para encontrar um intervalo de confiança para a média populacional ( n  30) ou  é 
conhecido como uma população normalmente distribuída. 
 
Encontrar a estatística amostral  e 𝑥 
𝑥 = 
 𝑥
𝑛
 
Especifique , se for conhecido. Caso contrário, 
encontre o desvio padrão amostral S e use-o 
como uma estimativa para  
𝑆 = 
 𝑥 − 𝑥 2
𝑛 − 1
 
Encontre o valor crítico 𝑍𝐶 que corresponda ao 
nível de confiança dado 
Use a tabela Normal Padrão 
Encontrar a margem de erro 𝐸 = 𝑍𝐶
𝜎
 𝑛
 
Encontre os extremos esquerdo e direito e 
forme o intervalo de confiança 
Extremo esquerdo: 𝑥 − 𝐸 
Extremo direito: 𝑥 + 𝐸 
Intervalo: 𝑥 − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥 + 𝐸 
 
 
 
 
 
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CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
Exemplo 2: 
 
Utilizando os dados do Exemplo 1 construa um intervalo de confiança de 95% para a média do 
número de frases em todos os anúncios da revista. 
 
Solução: 
Sendo 
𝐸 = 1,96
5
 50
≅ 1,4 
 
𝑥 = 
 𝑥
𝑛
= 
620
50
= 12,4 
 
O intervalo de confiança será: 𝐼𝐶 = 11,0; 13,8 
 
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜: 𝑥 − 𝐸 = 12,4 − 1,4 = 11,0 
 
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 ∶ 𝑥 + 𝐸 = 12,4 + 1,4 = 13,8 
 
 
 
CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA COM 𝝈 CONHECIDO 
 
O diretor de admissão de uma faculdade deseja estimar a idade média de todos os estudantes 
matriculados. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada é 22,9 anos. 
Baseado em estudos anteriores, o desvio padrão conhecido é 1,5 anos e a população é 
normalmente distribuída. Construa um intervalo de confiança de 90% para a média de idade da 
população. 
 
Solução: 
Usando n = 20, 𝑛 = 20 𝑎𝑛𝑜𝑠, 𝑥 = 22,9 𝑎𝑛𝑜𝑠, 𝜎 = 1,5 𝑎𝑛𝑜𝑠, 𝑧0,90 = 1,645 
𝑖) 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙: 1,645
1,5
 20
≅ 0,60 
𝑖𝑖) 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜: 𝑥 − 𝐸 = 22,9 − 0,60 = 16,9 
 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 ∶ 𝑥 + 𝐸 = 22,9 + 0,60 = 23,5 
 
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TAMANHO DA AMOSTRA 
Para a mesmaamostra estatística, conforme o nível de confiança aumenta, o intervalo de 
confiança fica mais largo. Conforme o intervalo de confiança fica mais largo, a precisão da 
estimativa decresce. Uma maneira de aumentar a precisão de uma estimativa sem decrescer o 
nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra. Mas, qual o tamanho de amostra necessário 
para garantir certo nível de confiança para uma margem de erro dada? 
 
Dado o nível de confiança c e uma margem de erro E, o tamanho mínimo da amostra n necessário 
para estimar a média populacional 𝜇 é: 
𝑛 = 
𝑍𝑐𝜎
𝐸
 
2
 
 
Se 𝜎 for desconhecido, você pode estimá-lo usando s, dado que você tenha uma amostra 
preliminar com pelo menos 30 membros. 
 
Exemplo 3: 
 
Considerando os dados do exemplo 1, DETERMINE quantos anúncios da revista devem ser 
incluídos na amostra se você quer estar 95% confiante de que a média amostral esteja dentro de 
uma frase da média populacional? 
Solução: 
 
Considerando 𝑐 = 0,95, 𝑍𝑐 = 1,96, 𝜎 ≈ 𝑠 ≈ 5,0 𝑒 𝐸 = 1, você pode encontra o tamanho mínimo 
de amostra n: 
 
𝑛 = 
𝑍𝑐𝜎
𝐸
 
2
= 
1,96 ∙ 5,0
1
 
2
= 96,04 
 
Quando necessário arredonde a quantidade de amostras no intuito de obter número inteiro, neste 
caso a quantidade mínima de amostras será 97. 
 
 
 
 
 
 
 
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INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIA (AMOSTRAS PEQUENAS) 
 
Existem situações em que temos o desvio padrão da população desconhecido e por diversos 
fatores não é possível coletar amostras de tamanha 30 ou mais. Se a variável aleatória for 
normalmente distribuída, ou aproximadamente normalmente distribuída, pode-se utilizar a 
distribuição t. 
 
Se a distribuição de uma variável aleatória x for aproximadamente normal, então: 
 
𝑡 = 
𝑥 − 𝜇
𝑥
 𝑛
 
O que corresponde a uma distribuição t 
 
Valores críticos de t são denotados por 𝑡𝑐 . Diversas propriedades da distribuição t estão a seguir. 
1. A distribuição t tem forma de sino e é simétrica sobre a média. 
2. A distribuição t é uma família de curvas, cada uma determinada por um parâmetro chamado 
de grau de liberdade. Os graus de liberdade são o número de escolhas livres deixas depois que 
uma amostra estatística tal como 𝑥 é calculada. Quando usamos a distribuição t para estimar a 
média da população, os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um: 
𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1 
3. A área total sob a curva é 1 ou 100% 
4. A média, a mediana e a moda da distribuição t são iguais a zero. 
5. Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t aproxima a distribuição normal. 
Depois de 30 g.l. a distribuição t está muito próxima à distribuição normal padrão z. 
 
 
 
Exemplo 4: 
Encontre o valor crítico 𝑡𝑐 para uma confiança de 95 % quando o tamanho da amostra é 15. 
 
Em razão de n = 15, os graus de liberdade são: 
 g.l. = n -1 = 15 – 1 = 14 
 
Uma parte da Tabela da distribuição t é mostrada abaixo. Considerando g.l. = 14 e c = 0,95, o valor 
crítico 𝑡𝑐 é mostrado pela áreas destacadas na tabela. 
 
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Observando a tabela, você pode ver que 𝑡𝑐 = 2,145. O gráfico abaixo demonstra a distribuição t 
para 14 graus de liberdade, c = 0,95 e 𝑡𝑐 = 2,145. A interpretação do gráfico é que 95% da área 
sob a curva da distribuição t com 14 graus de liberdade está entre 𝑡 = ±2,145 
 
 
 
INTERVALOS DE CONFIANÇA E A DISTRIBUIÇÃO t 
 
Construir um intervalo de confiança usando a distribuição t é similar a construir um intervalo de 
confiança usando a distribuição normal – ambos usam uma estimativa pontual 𝑥 e um margem de 
erro E. 
 
INSTRUÇÕES 
Em palavras Simbolos 
1. Identifique a amostra estatística 𝑛, 𝑥 𝑒 𝑠 
𝒙 = 
 𝒙
𝒏
; 𝒔 = 
 𝒙 − 𝒙 𝟐
𝒏 − 𝟏
 
2. Identifique os graus de liberdade, o nível 
de confiança c e os valores críticos 𝑡𝑐 
g.l. = n -1 
3. Encontre a margem de erro E 𝐸 = 𝑇𝐶
𝑠
 𝑛
 
4. Encontre os extremos esquerdo e 
direito e forme os intervalos de 
confiança 
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜: 𝑥 − 𝐸 
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 ∶ 𝑥 + 𝐸 
Intervalo: 𝑥 − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥 + 𝐸 
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CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
Exemplo 5: 
 
Considere uma seleção de 16 cafeterias para a medição da temperatura do café vendido em cada 
uma delas. A média de temperatura da amostra é de 162,0 ℉ com desvio padrão de 10,0 ℉. 
Encontre um intervalo de 95% para a temperatura média. Assuma que as temperaturas são 
normalmente distribuídas. 
 
Solução: 
i) Sabendo que 𝑛 = 16; 𝑥 = 162,0; 𝑠 = 10,0; 𝑐 = 0,95 𝑒 𝑔. 𝑙. = 16 − 1 = 15 
ii) Utilizando a Tabela de Distribuição t temos que 𝑡𝑐 = 2,131 
iii) A margem de erro no intervalo de confiança de 95% é: 
𝐸 = 2,131
10
 16
≈ 5,3 
iv) O intervalo de confiança será: 
 
 
Interpretação: Com 95 % de confiança, podemos dizer que a média da temperatura do café 
vendido está entre 156,7 ℉ 𝑒 167,3℉.