Inferência Estatística Resumo 1ª Unidade

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Inferência Estatística 
COMANDOS GERAIS EM R STUDIO
- Ctrl+L: Limpar o console (O console é a única parte que roda o código)
- help(“nomedafunção”): Para saber o que a função faz: digita 
- library(nomedopacote): Para abrir um pacote
- As setas para cima e para baixo do teclado volta/avança os comandos digitados;
INICIALIZAÇÕES:
Definindo variáveis: utilizo = ou <- 
Ex.: m = log(2)
 m <- log(2)
Definindo vetores: nomedovetor = c( )
*O c significa concatenar
*Para chamar uma posição no vetor basta fazer: nomedovetor[posição desejada]
*Se estou trabalhando com caracteres faço: nomedovetor= c(“caractere”, ... , “caractereN”)
Definindo matrizes (crio uma matriz vazia): nomedamatriz =matrix(nrow=número de linhas, ncol=número de colunas)
*Para atribuir valores à matriz: nomedamatriz[numdalinha, numdacoluna]= valor correspondente
*Para criar e atribuir valores em sequência à matriz: nomedamatriz=matrix(sequência(ex.: 1:24), nrow=número de linhas, ncol=número de colunas)
*t(x)-matriz transposta
*solve(x)-matriz inversa
FUNÇÕES GERAIS:
- mean (variável): Média
- sd (variável): Desvio Padrão
- var (variável): Variância
- cov (variável): Covariância
- cor (x,y): Correlação linear (R)
- length (variável): Tamanho da amostra
- plot (variável) ou plot(x,y): Plotar gráfico
- hist. (variavel): Plota um histograma
- abs (variavel): Assume o valor absoluto da variável
- demo (graphics): Mostra a capacidade de plotar gráficos no R
FUNÇÕES EM R PARA OS TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO:
Distribuição Normal: 
- pnorm (valor em questão, média, desvio padrão da média) Dá como saída a probabilidade
- qnorm (probabilidade em questão) Dá como saída Z – indicar a probabilidade atentando para o fato de ser unilateral ou bilateral
- dnorm - densidade
Distribuição T-student: 
(quando não conheço desvio padrão)
- pt (valor em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída a probabilidade
- qt (probabilidade em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída Z –indicar a probabilidade atentando para o fato de ser unilateral ou bilateral
dt - densidade
Distribuição chi-quadrado(x²): - com n-1 graus de liberdade
- pchisq (valor em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída a probabilidade
- qchisq-(probabilidade em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída Z - faz o cálculo através da probabilidade complementar
- dchisq -densidade
CAP.7) DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
	Parâmetros (população)
	Medida
	Estatística (amostra)
	μ
	Média
	x-barra
	σ²
	Variância
	s²
	σ
	Desvio padrão
	s
	p
	Proporção
	p^
*Teorema do Limite Central:
Esse teorema afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.
Na inferência estatística a utilidade do teorema central do limite vai desde estimar os parâmetros como a média populacional ou o desvio padrão da média populacional, a partir de uma amostra aleatória dessa população, ou seja, da média amostral e do desvio padrão da média amostral até calcular a probabilidade de um parâmetro ocorrer dado um intervalo, sua média amostral e o desvio padrão da média amostral.
Distribuição Normal:
Para uma população: 
Para duas populações:
CAP.8) INTERVALOS DE CONFIANÇA 
CASOS:
1. Para média (μ), σ² conhecida Normal
2. Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
3. Para variância (σ²) Chi-Quadrado
4. Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial) 
1. Para média (μ), σ² conhecida Normal
*BILATERAL:
Em R:
LI <- mean(x) - qnorm(1-α/2)*(σ/sqrt(n))
LS <- mean(x) + qnorm(1-α/2)*(σ/sqrt(n))
*UNILATERAL:
Em R:
LS <- mean(x) + qnorm(1-α)*(σ/sqrt(n))
Em R:
LS <- mean(x) - qnorm(1-α)*(σ/sqrt(n))
*OBS1.: Escolha do tamanho da amostra: 
 onde: 
*OBS2.: Se n for muito grande: Troca σ por s, ou seja, desvio padrão populacional por desvio padrão amostral. 
2. Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
*BILATERAL:
Em R:
LI <- mean(x) - qt(1-α/2, n-1)*(s/sqrt(n))
Ls <- mean(x) + qt(1-α/2, n-1)*(s/sqrt(n)),
onde s é o desvio padrão amostral (calculado por s=sd(x))
*UNILATERAL:
Em R:
Troca qt(1-α/2, n-1) por qt(1-α, n-1)
3. Para variância (σ²) Chi-Quadrado
*BILATERAL:
Em R:
LI <- [(n-1)*s²]/qchisq(1-α/2, n-1)
LS <- [(n-1)*s²]/qchisq(α/2, n-1),
onde s é o desvio padrão amostral (calculado por s=sd(x))
*UNILATERAL: (troca α/2 por α)
Em R:
LI <- [(n-1)*s²]/qchisq(1-α, n-1)
Em R:
LS <- [(n-1)*s²]/qchisq(α, n-1)
4. Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial)
*BILATERAL:
Em R:
LI <- p^ - qnorm(1-α/2)*sqrt((p^*(1-p^))/n)
LS <- p^ + qnorm(1-α/2)*sqrt((p^*(1-p^))/n) 
*UNILATERAL:
Em R: 
LI <- p^ - qnorm(1-α)*sqrt((p^*(1-p^))/n) 
Em R:
LS <- p^ + qnorm(1-α)*sqrt((p^*(1-p^))/n)
OBS.: Escolha do tamanho da amostra:
, onde E = p^ - p
OBS2.: Para unilateral de limite superior (upper bound):
CAP.9) TESTE DE HIPOTÉSE 
	
	
	Ho é V
	Ho é F
	Rejeitar Ho
	ERRO TIPO I
	Sem erro
	Aceitar Ho
	Sem erro
	ERRO TIPO II
α = valor P = Probabilidade (Erro Tipo I) = Área da região crítica (área hachurada abaixo)
β = Probabilidade (Erro Tipo II)
 
RELAÇÃO ENTRE IC E TESTE DE HIPÓTESE:
BILATERAL: 	Ho = θo (Hipótese nula) θ pode ser μ, σ² ou p
			Ha ≠ θo (Hipótese alternativa)	 (casos possíveis)
- Verifica-se se pertence ao intervalo de confiança (IC)
	* Se θo pertencer ao IC: Aceita-se Ho
	* Senão: Rejeita-se Ho
CASOS:
1. Para média (μ), σ² conhecida Normal
2. Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
3. Para variância (σ²) Chi-Quadrado
4. Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial) 
1. Para média (μ), σ² conhecida Normal
 (Zteste) = zo = μo: 
 
 
*BILATERAL:
Em R:
alfa = valorp <- 2*[1-pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n))] 
beta = pnorm(LS, μo, , σ/sqrt(n)) - pnorm(LI, μo, , σ/sqrt(n) ) 
*UNILATERAL:
Em R:
alfa = valorp <- [1-pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n))] (upper bound)
alfa = valorp <- pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n)) (lower bound)
Obs1.: Escolha do tamanho da amostra:
 , se for unilateral alfa=alfa/2
2. Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
 (Tteste) = To = μo
3. Para variância (σ²) Chi-Quadrado
	 (Chiteste) = σ²o
4. Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial)
 (Zteste) = zo = po
*BILATERAL:
Em R:
alfa = valorp <- 2*[1-pnorm( p^, po, sqrt(p*(1-p)/n))] 
beta = pnorm( LS, po, , σ/sqrt(n)) - pnorm( LI, po, , sqrt(p*(1-p)/n) ) 
*UNILATERAL:
Em R:
alfa = valorp <- [1-pnorm( p^, po, sqrt(p*(1-p)/n))] (upper bound)
alfa = valorp <- pnorm( p^, po, sqrt(p*(1-p)/n)) (lower bound)
Obs1.: Escolha do tamanho da amostra:
CAP.11) REGRESSÃO LINEAR
#Declarar x, y
x = c()
y = c()
Regressão Simples:
Linear -> y = bo + b1x
nomedaregressao<-lm(y~x)
#Plotar reta de regressão simples:
lines (x, predict(nomedaregressao))
ou 
abline (intercept, x)
ou
abline (nomedaregressao)
#Plotar gráfico com segmentos
plot (x,y)
abline (nomedaregressao)
residuals (nomedaregressao): resíduos (y-y^)
predict (nomedaregressao): previsão (y^)
Visualizar informações:
Intercept = bo; 
x = b1; 
estimate = valor estimado;
std error = erro padrão;
t value = quantos erros padrões o coeficiente está distante de 0;
pr(>[t]) = analisa T.H. para H0: bo ou b1=0, se for alta (mais de 5%), você rejeita a regressão; probabilidade de estar fora do intervalo definido t-value
R² = indica se o modelo é bom, está entre 0 e 1; 
R² ajustado = ajusta o valor de R² considerando uma maior quantidade de parâmetros;
summary (nomedaregressao) = resumo do que foi feito 
aov (nomedaregressao) = análise de variância
textxy (x, y, resíduos) = colocar os valores do erro residuais# Intervalos de confiança: 
Se xo não pertence à x:
predict ((lm(y~x), data.frame(x=xo), interval = "prediction", level = 1-alpha) Dá valores do intervalo de confiança da predição
fit - valor "y=bo+b1xo" lwr - limite inferior upr - limite sperior
Se xo pertence à x:
predict (lm(y~x), data.frame(x=xo), interval = "confidence", level = 1-alpha) Dá valores do intervalo de confiança 
segments (x,y,x,nomedavariavel,col="cor desejada")
Obs.: nomedavariavel2=signif(parâmetro, número de casas decimais)-coloca o parâmetro pra duas casas decimais
	
# Analisando a F-statistic -usa a distribuição "f"
pf (valor de F, grau de liberdade 1 (n-p), grau de liberdade 2 (n-p-1))
valor de F=MQm/MQe
Se valor de F>0 -verifico a validade do teste através de 1-pf = p-valor (indica a probabilidade de F ser 0)
EXEMPLOS:
# Resumo do que foi feito – summary (nomedaregressao)
Call:
 lm(formula = y ~ x)
Residuals:
 Min 1Q Median 3Q Max 
-78.74 -27.64 -18.15 36.58 82.79 
Coefficients:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
(Intercept) 2984.285 576.792 5.174 0.00207 **
 x -7.627 1.940 -3.932 0.00770 **
 ---
 Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 61.25 on 6 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7204,	Adjusted R-squared: 0.6738 
F-statistic: 15.46 on 1 and 6 DF, p-value: 0.007698
# Análise de variância – aov (nomedaregressao)
summary(aov(lm(y~x))
	
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
x 1 57989 57989 15.46 0.0077 **
Residuals 6 22508 3751 
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1