Lista 04 Cálculo I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Campus UFRJ-Macaé
Lista 04 de Cálculo 01
Pot. Frac., Dif. Implícita, Taxas Relacionadas, Antiderivadas
Questão 01 Calcule a derivada das seguintes funções:
(a)
√
6x2 + 2x + 1√
x + 2x3
; (b)
√
3
√
x√
3x2 + 1 + x
; (c) f(x) =
8
√
x
1 +
√
x
+3x
(
1 +
√
x
1−√x
)
; (d) f(y) =
8y4
1 + [3/(1 +
√
y)]
.
Questão 02 Suponha que x4 + y2 + y − 3 = 0.
(a) Determine dy/dx por diferenciação implícita.
(b) Calcule dy/dx quando x = 1 e y = 1 e determine a equação da reta tangente a curva em (1, 1).
(c) Encontre y em função de x (pela fórmula de Bháskara) e calcule dy/dx diretamente. Compare com sua
resposta do item (a).
Questão 03 Suponha que xy +
√
x2 − y = 7.
(a) Encontre dy/dx
(b) Encontre dx/dy
(c) Qual é a relação entre dy/dx e dx/dy? (Mais uma vez vemos que dy/dx se comporta como uma fração!)
(d) Determine d2y/dx2.
Questão 04 Usando diferenciação implícita, encontre a equação da reta tangente no ponto (x0, y0) perten-
cente ao círculo (x−a)2 + (y− b)2 = r2. Interprete seu resultado geometricamente. (a, b e r são constantes.)
Questão 05 A figura abaixo mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita do eixo y e uma sombra
originada pela região elíptica x2 + 4y2 ≤ 5. Se o ponto (−5, 0) estiver na borda da sombra, qual a altura da
lâmpada acima do eixo?
Figura 1: Questão 05
Questão 06 A velocidade escalar (speed) de um objeto se movendo sobre uma curva paramétrica (x(t), y(t))
é dada por ve(t) =
√
(dx/dt)2 + (dy/dt)2.
(a) Encontre a velocidade escalar em t = 1 para o movimento x = t3 − 3t2 + 1, y = t5 − t7.
(b) Repita para x = t2 − 3, y = 13 t3 − t em t = 1.
(c) Sabemos que o vetor velocidade do objeto, movendo-se sobre a curva, é v(t) = (dx/dt, dy/dt). Mostre
que |v(t)| = ve(t).
Questão 07 (a) Encontre a aproximação linear para a função (x40 − 1)/(x29 + 1) em x0 = 1.
(b) Calcule [(1, 021)40 − 1]/[(1, 021)29 + 1] aproximadamente.
1
Questão 08 Esboce a curva definida pelas equações paramétricas x = t2 e y = 1− t, −∞ < t <∞.
Questão 09 Encontre a equação da reta tangente a curva paramétrica
x =
√
t4 + 6t2 + 8t e y =
t2 + 1√
t− 1
em t = 1.
Questão 10 Um furacão traz uma chuva que cai a 25 centímetros por hora dentro de uma piscina com
medidas 12 metros de largura e 6 metros de comprimento.
(a) Qual a taxa em que o volume de água na piscina está crescendo?
(b) Se a piscina possui 1,2 metros de profundidade na parte rasa e 2,4 metros de profundidade na parte
funda, o quão rápido o nível de água sobe após 2 horas? (Suponha que a piscina estava vazia no começo.) E
após 6 horas?
Questão 11 Um ponto no plano se move de modo que sempre está duas vezes mais distante de (0, 0) do que
de (0, 1).
(a) Mostre que o ponto se move sobre um círculo.
(b) No momento em que o ponto cruza o segmento entre (0, 0) e (0, 1), encontre dy/dt.
(c) Em que ponto ocorre dy/dt = dx/dt? (Assuma que dx/dt e dy/dt não são ambos nulos.)
Questão 12 (a) Dê uma regra para determinar quando a reta tangente a uma curva paramétrica x = f(t)
e y = g(t) é horizontal e quando é vertical.
(b) Quando a reta tangente a curva x = t2 e y = t3 − t é horizontal? Quando é vertical?
Questão 13 (a) Em que pontos a reta tangente a uma curva paramétrica é paralela a reta y = x?
(b) Quando a reta tangente a curva na parte (b) do exercício anterior é paralela a reta y = x?
(c) esboce a curva do exercício anterior.
Questão 14 (a) Consideremos uma escada de comprimento l, apoiada num muro. Imaginemos que sua
extremidade inferior B se afaste do muro com velocidade constante v (Fig. ??). Determine uma expressão
para a taxa de variação da ordenada da extremidade superior A em relação ao tempo.
(b) Se l = 5 e v = 1, determine dy/dt.
(c) Calcule dy/dt para y = 2 metros, y = 2 cm, y = 1mm. O que ocorre com a velocidade com que a
escada está descendo quando o topo está próximo do chão? O que há de errado? Há algo garantindo que a
extremidade estará sempre presa na parede? Outras forças estão envolvidas?
A
B
y
x
v
l
Figura 2: Questão 14
Questão 15 Duas quantidades p e q dependem de t e estão sujeitas as condições
1
p
+
1
q
= 1.
(a) Encontre uma relação entre dp/dt e dq/dt.
2
(b) Em um certo momento, p = 4/3 e dp/dt = 2. Determine q e dp/dt.
Questão 16 Um homem começa a andar para o norte a 1,2 m/s a partir de um ponto P . Cinco minutos
depois uma mulher começa a andar para o sul a 1,6 m/s de um ponto 200 m a leste de P . A que taxa as
pessoas estão se distanciando 15 minutos após a mulher começar a andar?
Questão 17 Uma lâmpada acha-se no topo de um poste de 80 m de altura. Desta mesma altura deixa-se
cair livremente uma bola, a uma distância de 20 metros do poste. Com que velocidade se move no solo a
sombra da bola, 1 segundo depois? Suponha que a bola, em sua queda, percorre a distância s = 16t2 metros
em t segundos.
Questão 18 Considere um objeto movendo-se numa linha reta com velocidade v = 8t + 2. Determine sua
posição F (1), sabendo-se que F (0) = 0.
Questão 19 É verdade que
∫
f(x)g(x)dx é igual a [
∫
f(x)dx]g(x) + f(x)[
∫
g(x)dx]?
Questão 20 Prove as regras do múltiplo constante e a da soma para antidiferenciação.
Questão 21 Prove que dada uma função diferenciável f ,∫
f(x)f ′(x)dx =
1
2
[f(x)]2 + C,
onde C é uma constante.
Questão 22 Calcule as antiderivadas:
(a)
∫ √
x− 1 + 3
(x− 1)1/2 dx; (b)
∫
(3x− 2)3/2 − 8√
3x− 2 dx;
Questão 23 A população de uma cidade cresce a uma taxa de r(t) = (3, 62)(1 + 0, 8t2) pessoas por ano,
onde t é o tempo em anos desde 1970. A população em 1976 foi 726. Qual era a população em 1984?
Questão 24 Uma pedra é arremessada verticalmente para cima com velocidade 19,6 metros por segundo.
Após quanto tempo ela retorna para o arremessador? (A aceleração devida a gravidade é 9,8 metros por
segundo por segundo; ver a Fig. 3.)
Figura 3: Questão 24
Questão 25 (a) Encontre
d
dx
(
x3 + 1
x3 − 1
)
;
(b) Encontre
∫ −6x2
(x3 − 1)2dx.
3
Questão 26 Encontre uma função F (x) tal que x5F ′(x) + x3 + 2x = 3.
Questão 27 Encontre uma função f(x) cujo gráfico passa por (1, 1) e tal que a inclinação de sua tangente
em (x, f(x)) é 3x + 1.
Respostas
01) (a) (18x2+2x−24x9/2−16x7/2−12x5/2−1)/[4√x(√x+2x3)3/2√6x2 + 2x + 1] (b) −12x
2 − x + 2
12x5/6(3x2 + x + 1)5/4
(c) f ′(x) = 4/(
√
x(1 +
√
x)2) + 3(1− x +√x)/(1−√x)2 (d) f ′(y) = 4(8y4+32y3+43y5/2)
(4+
√
y)2
02) (a) −4x3/(2y + 1) (b) dy/dx = −4/3 (c) y = 12(−1±
√
13− 4x4)
03) (a)
−2y
√
x2−y−2x
2x
√
x2−y−1 (b)
1−2x
√
x2−y
2y
√
x2−y+2x (c)
dy
dx =
1
dx
dy
.
04) y = y0 − (x0−a)(x−x0)(y0−b) ; a reta tangente é perpendicular a reta contendo os pontos (a, b) e (x0, y0)
05) altura é igual a 2
06) (a)
√
13; (b) 2; (c) lembre-se que se v = (a, b), então |v| é a distância da origem ao ponto (a, b).
07) (a) 20∆x, (b) 0, 42.
08) Uma parábola com concavidade voltada para a direita, com vértice em (0, 1), intersectando o eixo x em
(1, 0).
09) y =
10√
3 + 1
+
√
159(13− 6√3)
76(−6 + 4√3) (x−
√
159).
10) (a) O volume varia constantemente a uma taxa V ′(t) = dV/dt = 18 cm3 por hora, para todo t. (b)
Temos que V = 100h2. Logo h′(2) = (dh/dt)|2 =
√
6/(4
√
5).
2, 4m
1, 2m
h
12m
Figura 4: visual em 2D da piscina; a piscina é um prisma reto com esta base e altura medindo 6 m.
11)(a) Pela fórmula da distância x2 + y2 = 4(x2 + (y − 1)2), ou seja, x2 + (y − 4/3)2 = (2/3)2, um círculo
centrado em (0, 4/3) de raio 2/3. (b) 0;(c) (
√
2/3, (−√2 + 4)/3) e (−√2/3, (√2 + 4)/3).
12)(a) Para a reta horizontal: dy/dt = 0 e dx/dt 6= 0 e o contrário para a reta vertical. (b) reta horizontal
quando t = ±√1/3, vertical quando t = 0.
13)(a) dy/dt = dx/dt; (b) t = −1/3 ou t = 1; (c) Note que y = ±f(x), onde f(x) = √x(x − 1). Logo o
gráfico ésimétrico em relação ao eixo x. Observe que f(0) = f(1) = 0. Verifique que f ′(1/3) = 0 e que
f ′(x) > 0 se x > 1/3 e f ′(x) < 0 se 0 < x < 1/3.
14)(a) y =
√
l2 − x2 e dy/dt = (−v
√
l2 − y2)/y que é negativa, já que y decresce.
16) aproximadamente 2,79 m/s.
17) Da figura, por semelhança de triângulos,
y
80
=
x
x + 20
.
4
Como y = 80− 16t2, então
80− 16t2
80
=
x
x + 20
⇔ 1− 1
5
t2 =
x
x + 20
. (∗)
Derivando esta igualdade em t temos que
−2
5
t =
x + 20− x
(x + 20)2
dx
dt
⇔ −2
5
t =
20
(x + 20)2
dx
dt
.
Agora, quando t = 1, por (∗) temos que
1− 1
5
=
x
x + 20
⇔ 4
5
=
x
x + 20
⇔ 4(x + 20) = 5x⇔ x = 80.
Portanto,
−2
5
· 1 = 20
(80 + 20)2
· dx
dt
⇒ dx
dt
= −200 m/s.
18) 6
19) Lembre-se que se
d
dx
(∫
g(x)dx
)
= g(x). Assim, derive as duas expressões e verifique se são iguais ou
diferentes.
21) Derive o lado direito e verifique que o resultado é o integrando.
22) (a) x + 6
√
x− 1 + C (b) 3x
2
2
− 2x− 16
√
3x− 2
3
+ C
23) aproximadamente 3195.
25) (a) −6x2/(x3 − 1)2; (b) (x3 + 1)/(x3 − 1) + C.
26) −(3/4)x−4 + (2/3)x−3 + x−1 + C.
27) f(x) = 3x2/2 + x− 3/2
5