119 AD2 CI 2007 2 gabarito

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Gabarito da AD2- 2/2007 Ca´lculo I
Gabarito da AD2 de Ca´lculo I
1) (2, 0 pontos) Considere a func¸a˜o definida por f(x) = x+
3
x2
.
a) Deˆ as derivadas primeira e segunda de func¸a˜o f .
b) Deˆ os intervalos em que a func¸a˜o f e´ crescente e em que e´ decrescente.
Soluc¸a˜o:
a) f ′(x) = 1− 6
x3
e f ′′(x) =
18
x4
.
b) A func¸a˜o e´ crescente em (−∞, 0) ⋃ ( 3√6,∞) e e´ decrescente em (0, ( 3√6).
2) (3, 0 pontos) Num determinado instante, um controlador de tra´fego ae´reo veˆ dois avio˜es
na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajeto´rias ortogonais que se cruzam
num ponto P . Neste instante, um dos avio˜es esta´ a 150 milhas do ponto P e se aproxima
a` 450 milhas por hora, enquanto o outro esta´ a 200 milhas do ponto P e se movendo a` 600
milhas por hora, tambe´m em direc¸a˜o ao ponto P .
(a) Antes do ponto P , a distaˆncia entre os avio˜es esta´ diminuindo? A que taxa?
(b) Os avio˜es correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador
tem para fazer com que um dos avio˜es mude a sua trajeto´ria?
Soluc¸a˜o:
a)
dx
dt
= −600 m/h e dy
dt
= −450 m/h.
A distaˆncia entre os avio˜es e´ dada por d =
√
x2 + y2.
Assim, derivando-se d implicitamente em relac¸a˜o a` t, por exemplo, temos a taxa
dy
dt
=
2x dx/dt+ 2y dy/dt
2
√
x2 + y2
=
x dx/dt+ y dy/dt√
x2 + y2
= −
(600x+ 450 y√
x2 + y2
)
.
No instante em questa˜o, x = 200 e y = 150, portanto
dy
dt
= − 750.
Neste instante a velocidade em que a distaˆncia entre eles diminui e´ de 750 mi/h. Note
que a variac¸a˜o da distaˆncia entre os dois avio˜es em relac¸a˜o ao tempo na˜o e´ constante, pois
varia em relac¸a˜o a x e y, e na˜o esta´ definida no impacto.
b) Os avio˜es correm risco de choque e o controlador tem 20 minutos (que e´ 1/3 de hora,
ou seja,
1
3
. 60 = 20) para fazer com que um dos avio˜es mude a sua trajeto´ria.
Observe que um avia˜o se move a` 600 milhas por hora e esta´ a uma distaˆncia de 200
milhas do ponto P e o outro se move a` uma velocidade de 450 milhas por hora, e esta´ a 150
milhas do ponto P .
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Gabarito da AD2- 2/2007 Ca´lculo I
3) (3, 0 pontos) Considere uma bola lanc¸ada do solo, cuja altura em cada instante t segundos
e´ dada por s(t) = −4 t2 + 20 t metros.
a) Qual a velocidade da bola no instante de lanc¸amento?
b) Em que intervalos de tempo a velocidade e´ positiva? Em que intervalos e´ negativa?
c) Qual a altura ma´xima atingida pela bola?
Soluc¸a˜o:
(a) Primeiro, definimos a func¸a˜o s que fornece a altura da bola para cada instante de
tempo t: s(t) = −4t2 = 20t.
A velocidade da bola e´ dada pela derivada de s: s′(t) = −8t+ 20
No instante do lanc¸amento, temos t = 0 e consequ¨entemente, a velocidade da bola neste
instante sera´ dada por: s′(0) = 20.
(b) Para calcular o instante em que a velocidade e´ zero, precisamos resolver a equac¸a˜o
s′(t) = 0. Assim, t = 2, 5.
Calcular os intervalos de tempo onde a velocidade e´ positiva e onde ela e´ negativa e´
equivalente a resolver as desigualdades s′(t) > 0 e s′(t) < 0 para t variando no intervalo onde
s(t) - a func¸a˜o deslocamento - e´ positiva. Resolvendo estas desigualdades temos:
resolvendo s′(t) > 0, temos (−∞, 5/2);
resolvendo s′(t) < 0, temos (5/2,∞) e
resolvendo s(t) > 0, temos (0, 5).
Como s(t) > 0 , para t em (0, 5), temos que s′(t) > 0 para t em [0, 2, 5) e s′(t) < 0 para
t em (2, 5, 5).
(c) A bola atingira´ a altura ma´xima quando a velocidade for zero, ou seja, para t = 2, 5.
Ate´ este instante a bola estara´ subindo (velocidade positiva). A partir deste instante ela
comec¸a a cair (velocidade negativa). E a altura ma´xima que bola atingira´ e´ de 25 metros.
4) (2, 0 pontos) Um tanque cil´ındrico conte´m inicialmente 400 litros de a´gua. Suponha que
uma torneira existente na base do tanque e´ aberta no instante t = 0. Suponha ainda que
o volume V de a´gua no tanque, apo´s t minutos, seja dado por V (t) =
1
4
(40 − t)2 litros.
Sabendo que este tanque leva 40 minutos para esvaziar completamente apo´s a torneira ser
aberta, calcule:
(a) A taxa me´dia de escoamento da a´gua do tanque durante os 10 minutos, entre os
instantes t = 10 e t = 20 minutos.
(b) A taxa instantaˆnea segundo a qual a a´gua esta´ escoando do tanque nos instantes
t = 10 e t = 20.
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Gabarito da AD2- 2/2007 Ca´lculo I
Soluc¸a˜o:
a) O volume da a´gua contida no tanque em qualquer instante de tempo t e´ dado por:
V (t) =
1
4
(40 − t)2. Para achar a taxa me´dia de escoamento da a´gua do tanque durante o
intervalo de tempo dado, precisamos calcular a raza˜o
V (20)− V (10)
20− 10 =
V (20)− V (10)
10
= −125
10
= −12, 5.
A taxa negativa significa que o volume da a´gua no tanque esta´ diminuindo, ou seja, a
a´gua esta´ escoando a uma velocidade me´dia de 12, 5 l/min.
b) A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea nos instantes t = 10 e t = 20 sera´ dada por V ′(10) e
V ′(20), respectivamente.
Assim, V ′(t) = −20 + 1
2
t e portanto, V ′(10) = −15 e V ′(20) = −10.
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