AD1-C1-2016-1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – CA´LCULO I – 2016/1
Gabarito
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→1
x4 + 3x3 − 4x2
x4 − 1 (b) limx→−1
(6x+ 1) sen(x2 − 1)
x5 − x3
(c) lim
x→0+
x
cos(
√
x)− 1 (d) limx→0
x sen(2x)
cos(x)− 1
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→1
x4 + 3x3 − 4x2
x4 − 1 = limx→1
x2(x2 + 3x− 4)
(x− 1)(x3 + x2 + x+ 1) = limx→1
x2(x− 1)(x+ 4)
(x− 1)(x3 + x2 + x+ 1) =
= lim
x→1
x2(x+ 4)
x3 + x2 + x+ 1
=
5
4
(b) lim
x→−1
(6x+ 1) sen(x2 − 1)
x5 − x3 = limx→−1
(6x+ 1) sen(x2 − 1)
x3(x2 − 1) = limx→−1
[
6x+ 1
x3
· sen(x
2 − 1)
x2 − 1
]
= 5
(c) lim
x→0+
x
cos(
√
x)− 1 = limx→0+
x [cos(
√
x) + 1]
[cos(
√
x)− 1][cos(√x) + 1] = limx→0+
x [cos(
√
x) + 1]
cos2(
√
x)− 1 =
= lim
x→0+
√
x
√
x [cos(
√
x) + 1]
− sen2(√x) = limx→0+−
[ √
x
sen(
√
x)
·
√
x
sen(
√
x)
· [cos(√x) + 1]
]
= −2
(d) lim
x→0
x sen(2x)
cos(x)− 1 = limx→0
[x sen(2x)] [cos(x) + 1]
[cos(x)− 1] [cos(x) + 1] = limx→0
[x sen(2x)] [cos(x) + 1]
cos2(x)− 1 =
= lim
x→0
[x sen(2x)] [cos(x) + 1])
− sen2(x) = limx→0−2 ·
[x2 sen(2x)] [cos(x) + 1]
2x sen2(x)
=
= lim
x→0
[
− 2 · x
sen(x)
· x
sen(x)
· sen(2x)
2x
· [cos(x) + 1]
]
= −4
Questa˜o 2 [2 pontos]
Sabendo que a, b, c, d ∈ R sa˜o constantes na˜o-nulas tais que c+ d 6= 0, calcule os seguintes limites
de func¸o˜es:
(a) lim
x→0
tan(ax) + sen(bx)
sen(cx) + tan(dx)
(b) lim
x→0
tan(ax) sen(bx)
sen(cx) tan(dx)
CA´LCULO I Gabarito AD1 2
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→0
tan(ax) + sen(bx)
sen(cx) + tan(dx)
= lim
x→0
tan(ax) + sen(bx)
x
sen(cx) + tan(dx)
x
= lim
x→0
tan(ax)
x
+
sen(bx)
x
sen(cx)
x
+
tan(dx)
x
=
= lim
x→0
a tan(ax)
a x
+
b sen(bx)
b x
c sen(cx)
c x
+
d tan(dx)
d x
=
a+ b
c+ d
(b) lim
x→0
tan(ax) sen(bx)
sen(cx) tan(dx)
= lim
x→0
tan(ax) sen(bx)
x2
sen(cx) tan(dx)
x2
= lim
x→0
tan(ax)
x
sen (bx)
x
sen(cx)
x
tan(dx)
x
=
= lim
x→0
a tan(ax)
a x
b sen(bx)
b x
c sen(cx)
c x
d tan(dx)
d x
=
ab
cd
Questa˜o 3 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
g(x)
h(x)
, onde g(x) = x+ 4 e h(x) =
√
x2 + 3x− 10.
(a) Determine o dom´ınio de cada uma das func¸o˜es: f , g e h;
(b) Encontre as ass´ıntotas horizontais e as ass´ıntotas verticais, caso existam, do gra´fico de f , fazendo
um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
Soluc¸a˜o:
(a) Temos que:
D(g) = R;
D(h) = {x ∈ R; x2 + 3x− 10 ≥ 0} = {x ∈ R; (x+ 5)(x− 2) ≥ 0} = {x ∈ R; x ≤ −5 ou x ≥ 2};
D(f) = {x ∈ R; x2 + 3x− 10 > 0} = {x ∈ R; (x+ 5)(x− 2) > 0} = {x ∈ R; x < −5 ou x > 2}.
(b) Temos que:
(i) lim
x→−5−
x+ 4√
x2 + 3x− 10 = −∞, pois x+4→ −1 < 0 e
√
x2 + 3x− 10→ 0+ quando x→ −5−;
(ii) lim
x→2+
x+ 4√
x2 + 3x− 10 = +∞, pois x+ 4→ 6 > 0 e
√
x2 + 3x− 10→ 0+ quando x→ 2+;
(iii) lim
x→+∞
x+ 4√
x2 + 3x− 10 = limx→+∞
x√
x2
= lim
x→+∞
x
|x| = limx→+∞
x
x
= 1;
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CA´LCULO I Gabarito AD1 3
(iv) lim
x→−∞
x+ 4√
x2 + 3x− 10 = limx→−∞
x√
x2
= lim
x→−∞
x
|x| = limx→+∞
x
−x = −1;
De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −5 e x = 2 sa˜o as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f e,
de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = 1 e y = −1 sa˜o as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de
f .
Questa˜o 4 [2 pontos]
Sejam A,B e C constantes reais e seja f : R → R definida por
f(x) =

x3 − A, se x ≤ −2
x2 −Bx+ 1, se −2 < x < 1
4C − x, se x ≥ 1
Sabendo f e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, determine A− 4C.
Soluc¸a˜o:
Se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, enta˜o f e´ cont´ınua em x = −2 e em x = 1. Logo,
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2−
f(x) = f(−2) e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Temos que:
(i) f(−2) = −8− A
(ii) f(1) = 4C − 1
(iii) lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
x2 −Bx+ 1 = 4 + 2B + 1 = 5 + 2B
(iv) lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
x3 − A = −8− A
(v) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
4C − x = 4C − 1
(vi) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 −Bx+ 1 = 1−B + 1 = 2−B
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, A = −13− 2B e C = 3−B
4
.
Da´ı, A− 4C = −13− 2B − 4
(3−B
4
)
= −16−B.
Questa˜o 5 [1 ponto]
Utilize o teorema do Valor Intermedia´rio para provar que func¸a˜o f(x) = x3+
1
2
x2− 17
4
x+
15
8
admite
treˆs ra´ızes reais e distintas.
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CA´LCULO I Gabarito AD1 4
Soluc¸a˜o:
Seja f(x) = x3 +
1
2
x2 − 17
4
x+
15
8
.
(i) Temos que f(−3) = −7.88 e f(−2) = 4.38. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, existe
c1 ∈ (−3,−2) tal que f(c1) = 0. Logo, f possui uma raiz c1 em (−3,−2).
(ii) Temos que f(−2) = 4.38, f(−1) = 5.63, f(0) = 1.88 e f(1) = −0.88. Logo, pelo Teorema do
Valor Intermedia´rio, existe c2 ∈ (0, 1) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui uma raiz c2 em (0, 1).
(iii) Temos que f(1) = −0.88 e f(2) = 3.38. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, existe
c3 ∈ (1, 2) tal que f(c3) = 0. Logo, f possui uma raiz c3 em (1, 2).
Como (−3,−2), (0, 1) e (1, 2) sa˜o intervalos disjuntos, segue que c1, c2 e c3 sa˜o as treˆs ra´ızes reais
e distintas de f .
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