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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo III – EP8 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Sendo f(x, y) = x3 − y2, calcule a derivada direcional ∂f
∂~u
no ponto (1, 2) na direc¸a˜o
e no sentido do vetor 4
−→
i − 3−→j .
Soluc¸a˜o: Pelo teorema 13.1 - Mo´dulo 1 - pa´g 149, se f e´ diferencia´vel em (a, b) e ~u e´ um vetor
unita´rio enta˜o a derivada direcional
∂f
∂~u
(a, b) = ∇f(a, b) · ~u.
Assim,
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
=
(
3x2,−2y) .
Logo,
∇f(1, 2) = (3(1)2,−2(2)) = (3,−4) .
Tambe´m,
~u =
4
−→
i − 3−→j
‖4−→i − 3−→j ‖
=
(4,−3)√
42 + (−3)2 =
(
4
5
, −3
5
)
.
Portanto,
∂f
∂~u
(1, 2) = ∇f(1, 2) · ~u = (3,−4) ·
(
4
5
, −3
5
)
=
24
5
.
Exerc´ıcio 2: A temperatura do ar em pontos do espac¸o e´ dada pela func¸a˜o f(x, y, z) = x2−y2 +z2.
Um mosquito localizado em (1, 2, 1) deseja esfriar-se o mais ra´pido poss´ıvel. Em que direc¸a˜o ele
devera´ voar?
Soluc¸a˜o: Pelo teorema 13.2 - Mo´dulo 1 - pa´g 151, o valor ma´ximo de
∂f
∂~u
(a, b) (maior taxa de
variac¸a˜o da func¸a˜o f em (a, b)) ocorre quando ~u =
∇f(a, b)
‖∇f(a, b)‖ e logo o valor m´ınimo de
∂f
∂~u
(a, b)
(menor taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o f em (a, b)) ocorre quando ~u =
−∇f(a, b)
‖∇f(a, b)‖ . Este teorema continua
va´lido para f = f(x, y, z). Assim,
∇f(x, y, z) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
= (2x,−2y, 2z) .
Logo,
∇f(1, 2, 1) = (2,−4, 2) .
Assim,
~u =
−(2,−4, 2)
‖(2,−4, 2)‖ =
1
2
√
5
(−2, 4,−2) .
Portanto, para esfriar o mais ra´pido poss´ıvel o mosquito devera´ voar na direc¸a˜o
1
2
√
5
(−2, 4,−2).
Ca´lculo III – EP8 Tutor 2
Exerc´ıcio 3: Suponha que a temperatura T num ponto P (x, y, z) e´ dada por
T (x, y, z) = 2x2 − y2 + 4z2. Determine a taxa de variac¸a˜o de T no ponto (−1, 3, 2) na direc¸a˜o do
vetor
−→
i −−→j + 2−→k . Em que direc¸a˜o T cresce mais rapidamente nesse ponto? Qual a taxa ma´xima
de crescimento?
Soluc¸a˜o: Pelo teorema 13.1 - Mo´dulo 1 - pa´g 149, para func¸o˜es de treˆs varia´veis, tem-se:
∂T
∂~u
(−1, 3, 2) = ∇T (−1, 3, 2) · ~u ,
isto e´,
∇T (x, y, z) = (4x,−2y, 8z) .
Logo,
∇T (−1, 3, 2) = (−4,−6, 16) .
Tambe´m,
~u =
(−→
i −−→j + 2−→k
)
‖−→i −−→j + 2−→k ‖
=
(1,−1, 2)√
12 + (−1)2 + 22 =
1√
6
(1,−1, 2) .
Logo,
∂T
∂~u
(−1, 3, 2) = ∇T (−1, 3, 2) · ~u = (−4,−6, 16) · 1√
6
(1,−1, 2) = 34√
6
.
Tambe´m, pelo teorema 13.2 - Mo´dulo 1 - pa´g 151, para func¸o˜es de treˆs varia´veis, tem-se que a
direc¸a˜o de crescimento mais ra´pido em (a, b, c) e´ ~u =
∇T (a, b, c)
‖∇T (a, b, c)‖ . Assim,
~u =
∇T (−1, 3, 2)
‖∇T (−1, 3, 2)‖ =
(−4,−6, 16)
‖(−4,−6, 16)‖ =
(−4,−6, 16)√
42 + 62 + 162
=
1
2
√
77
(−4,−6, 16) = 1√
77
(−2,−3, 8)
e a taxa ma´xima de crescimento e´:
∂T
∂~u
(−1, 3, 2) = ∇T (−1, 3, 2) · ∇T (−1, 3, 2)‖∇T (−1, 3, 2)‖ =
‖∇T (−1, 3, 2)‖2
‖∇T (−1, 3, 2)‖ =
‖∇T (−1, 3, 2)‖
42 + 62 + 162
= 2
√
77 .
Exerc´ıcio 4: Calcule a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = −x2 +y2 na direc¸a˜o tangente a` curva
α(t) = (5 cos t, 5 sen t) quando t =
π
4
no ponto α
(
π
4
)
.
Soluc¸a˜o: Um vetor tangente a` curva α(t) = (5 cos t, 5 sen t) em t =
π
4
e´ α′
(
π
4
)
. Como
α′(t) = (−5 sen t, 5 cos t) logo temos que α′
(
π
4
)
=
(
−5√2
2
,
5
√
2
2
)
. Assim,
~u =
(
−5
√
2
2
, 5
√
2
2
)
∥∥∥( 5√2
2
, 5
√
2
2
)∥∥∥ =
1
5
(
−5√2
2
,
5
√
2
2
)
=
(
−√2
2
,
√
2
2
)
e´ um vetor com a direc¸a˜o da tangente a` curva α(t) no ponto t =
π
4
.
Como α
(
pi
4
)
=
(
5
√
2
2
,
5
√
2
2
)
logo,
∂f
∂~u
(
5
√
2
2
,
5
√
2
2
)
= ∇f
(
5
√
2
2
,
5
√
2
2
)
· ~u .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III – EP8 Tutor 3
Como ∇f(x, y) = (−2x, 2y), logo
∇f
(
5
√
2
2
,
5
√
2
2
)
= (−5
√
2 , 5
√
2) .
Assim,
∂f
∂~u
(
5
√
2
2
,
5
√
2
2
)
= ∇f
(
5
√
2
2
,
5
√
2
2
)
· ~u = (−5
√
2 , 5
√
2) ·
(
−√2
2
,
√
2
2
)
= 5 + 5 = 10 .
Exerc´ıcio 5: Seja ~u = (a, b) um vetor unita´rio. Calcule
∂f
∂~u
(0, 0) onde
f(x, y) =


x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
Soluc¸a˜o: Usando a definic¸a˜o de derivada direcional tem-se:
∂f
∂~u
(0, 0) = lim
h→0
f
(
(0, 0) + h~u
)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
f(ha, hb)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
(ha)3
(ha)2 + (hb)2
− 0
h
= lim
h→0
h3a3
h3
(
a2 + b2
)
=
a3
a2 + b2
= a3 ,
pois 1 = ‖~u‖ = √a2 + b2 .
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