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EP8 de Ca´lculo III
1) Seja f(x, y, z) = x2 + y3 + z4. Calcule a derivada direcional
∂f
∂~u
no ponto (3, 2, 1) na
direc¸a˜o e sentido do vetor ~i−~j + ~k.
Soluc¸a˜o Note que a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y3 + z4 e´ diferencia´vel em todo IR3 da´ı
podemos calcular a derivada direcional de f como sendo,
∂f
∂u
(P ) =
〈
∇f(P ), u‖u‖
〉
.
Deste modo
∇f(x, y, z) =
(
∂f
∂x
(x, y, z),
∂f
∂y
(x, y, z),
∂f
∂z
(x, y, z)
)
= (2x, 3y2, 4z3)
∇f(3, 2, 1) = (6, 12, 4)
o vetor u =~i−~j + ~k = (1,−1, 1) enta˜o ‖u‖ = √1 + 1 + 1 = √3 logo,
∂f
∂u
(3, 2, 1) =
〈
(6, 12, 4),
(1,−1, 1)√
3
〉
=
6− 12 + 4√
3
=
−2√
3
.
2) Suponha que a temperatura T num ponto P (x, y) e´ dada por T (x, y) = 3x2 + 4y3.
Determine a taxa de variac¸a˜o de T no ponto (2,−2) na direc¸a˜o do vetor 2~i+~j. Em que
direc¸a˜o T decresce mais rapidamente nesse ponto? Qual a taxa ma´xima de decrescimento?
Soluc¸a˜oNotemos que a temperatura neste problema e´ modelada como uma func¸a˜o
diferencia´vel e a palavra taxa de variac¸a˜o na direca˜o de um vetor u na˜o e´ nada mais
nada menos que a derivada direcional de f na direc¸a˜o do vetor u. Desta forma temos
∂f
∂u
(P ) =
〈
∇f(P ), u‖u‖
〉
.
No nosso caso, u = 2~i+~j = (2, 1) com ‖u‖ = √3 e P = (2,−2). Deste modo,
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂x
(x, y)
)
= (6x, 12y2)
∇f(2,−2) = (12, 48)
1
∂f
∂u
(2,−2) =
〈
(12, 48),
(2, 1)√
5
〉
=
24 + 48)√
5
=
72√
5
E´ sabido que a direc¸a˜o do gradiente e´ a direc¸a˜o de maior decescimento da func¸a˜o,
logo a direc¸a˜o em questa˜o e´ v = 12~i+ 48~j = 12(1, 4). Note que
∂f
∂∇f(P )(P ) =
〈
∇f(P ), ∇f(P )‖∇F (P )‖
〉
=
‖∇f(P )‖2
‖∇f(P )‖ = ‖∇f(P )‖
neste caso segue enta˜o que,
∂f
∂∇f(2,−2)(2,−2) = ‖∇f(2,−2)‖ = ‖12(1, 4)‖ =
√
(12)2[(1)2 + 42] = 12
√
17
3) Seja
f(x, y) =

2x3
x2 + 3y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Calcule
∂f
∂~u
(0, 0) onde ~u =
(
1√
2
,
1√
2
)
.
Soluc¸a˜o Na˜o e´ claro que f se e´ diferencia´vel ou na˜o no ponto (0, 0) e averificac¸ao
neste caso nos daria o mesmo trabalho que calcular a derivada direcional e ainda cor-
reriamos o risco de na˜o ser, tendo enta˜o que refazer o trabalho todo novamente. Por
isso optamos neste caso em fazer tudo utilizando apenas as definic¸o˜es. por simplicidade
chamaremos u = (a, b) com ‖u‖ = √a2 + b2 = 1
∂f
∂u
(0, 0) = lim
t→0
f((0, 0) + t(a, b))− f(0, 0)
t
= lim
t→0
f(ta, tb)
t
=
lim
t→0
1
t
2(ta)3
(ta)2 + 3(tb)2
= lim
t→0
1
t
2t3a3
t2(a2 + 3b2)
=
2a3
a2 + 3b2
=
2a3
1 + 2b2
no nosso caso (a, b) =
(
1√
2
, 1√
2
)
, da´ı
∂f
∂u
(0, 0) =
2
(
1√
2
)3
1 + 2
(
1√
2
)2 = 1√23 = 12√2
2
4) Calcule a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y, z) = x+y2−2z2 na direc¸a˜o da tangente
a` curva α(t) = (cos t, sent, t) quando t =
pi
2
no ponto α
(
pi
2
)
.
Soluc¸a˜o Para resolver ente problema vamos lembrar do calculo 1. Notemos que
IR
−→
α IR3
−→
f IR
donde f ◦ α : IR −→ IR deste modo a derivada na direc¸a˜o da tangente de α e´ apenas a
derivada de f ◦ α, a menos de uma constante. O ponto e´ que constante e´ esta´? Como
vimos em todos os exerc´ıcios anteriores, quando pediamos uma derivada na direc¸a˜o de
um vetor u, sempre tivemos o cuidado de normalisar o vetor u, e aqui na˜o pode ser
diferente. Vamos as contas: pela regra da cadeia,
df(α(t))
dt
= 〈∇f(α(t)), α′(t)〉
logo se ‖α′(t)‖ 6= 0
∂f(α(t))
∂(α(t))
=
〈
∇f(α(t)), α
′(t)
‖α′(t)‖
〉
enta˜o
α′(t) = (−sen(t), cos(t), 1)
α′
(pi
2
)
=
(
−sen
(pi
2
)
, cos
(pi
2
)
, 1
)
= (−1, 0, 1)
‖α
(pi
2
)
‖ =
√
2
α
(pi
2
)
=
(
cos
(pi
2
)
, sen
(pi
2
)
,
pi
2
)
=
(
0, 1,
pi
2
)
‖α
(pi
2
)
‖ =
√
1 +
(pi
2
)2
=
√
4 + pi2
2
∇f(x, y, z) =
(
∂f
∂x
(x, y, z),
∂f
∂y
(x, y, z),
∂f
∂z
(x, y, z)
)
= (1, 2y,−4z)
3
∇f
(
α
(pi
2
))
=
(
1, 2sen
(pi
2
)
,−2pi
)
= (1, 2,−2pi)
chamando u = (−1, 0, 1)
∂f
(
0, 1,
pi
2
)
∂u
=
〈
(1, 2,−pi), (−1, 0, 1)√
2
〉
=
−1− 2pi√
2
4