ep6 de calculo3 tutor 2010 1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo III – EP6 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Se z = f(x, y) = exy, x = x(u, v) = 2u2v2 e y = y(u, v) = 3uv usando a regra da
cadeia, calcule
∂z
∂u
e
∂z
∂v
.
Soluc¸a˜o: Pela regra da cadeia tem-se:
∂z
∂u
=
∂z
∂x
· ∂x
∂u
+
∂z
∂y
· ∂y
∂u
.
Como
∂z
∂x
=
∂f
∂x
= (exy) y = yexy
∂z
∂y
=
∂f
∂y
= (exy)x = xexy
∂x
∂u
= 4uv2 (derivando x(u, v) em relac¸a˜o a u com v constante)
∂y
∂u
= 3v (derivando y(u, v) em relac¸a˜o a u com v constante)
tem-se:
∂z
∂u
= (yexy) (4uv2) + xexy(3v)
= (3uv)e(2u
2v2)(3uv) (4uv2) + (2u2v2) e(2u
2v2)(3uv)(3v)
= 12u2v3e6u
3v3 + 6u2v3e6u
3v3
= 18u2v3e6u
3v3 .
De forma ana´loga, pela regra da cadeia temos:
∂z
∂v
=
∂z
∂x
· ∂x
∂v
+
∂z
∂y
· ∂y
∂v
.
Como
∂z
∂x
= yexy
∂z
∂y
= xexy
∂x
∂v
= 4u2v
∂y
∂v
= 3u
Ca´lculo III EP6 – Tutor 2
tem-se:
∂z
∂v
= (yexy) (4u2v) + xexy(3u)
= (3uv)e(6u
3v3) (4u2v) + (2u2v2) e(6u
3v3)(3u)
= 18u3v2e6u
3v3 .
Exerc´ıcio 2: Seja F (γ, φ, θ) = f(γ senφ cos θ, γ senφ sen θ, γ cosφ), onde f(x, y, z) = x2+y2+3z2.
Usando a regra da cadeia, calcule
∂F
∂γ
,
∂F
∂φ
e
∂F
∂θ
.
Soluc¸a˜o: Se
x(γ, φ, θ) = γ senφ cos θ
y(γ, φ, θ) = γ senφ sen θ
z(γ, φ, θ) = γ cosφ
tem-se:
F (γ, φ, θ) = f (x(γ, φ, θ), y(γ, φ, θ), z(γ, φ, θ)) .
Assim, pela regra da cadeia temos:
∂F
∂γ
=
∂f
∂x
· ∂x
∂γ
+
∂f
∂y
· ∂y
∂γ
+
∂f
∂z
· ∂z
∂γ
= (2x)(senφ cos θ) + (2y)(senφ sen θ) + (6z)(cosφ)
= (2γ senφ cos θ)(senφ cos θ) + (2γ senφ sen θ)(senφ sen θ) + (6γ cosφ)(cosφ)
= 2γ sen2 φ
(
cos2 θ + sen2 θ
)
︸ ︷︷ ︸
= 1
+6γ cos2 φ
= 2γ sen2 φ + 6γ cos2 φ
= 2γ (sen2 φ + 3 cos2 φ)
∂F
∂φ
=
∂f
∂x
· ∂x
∂φ
+
∂f
∂y
· ∂y
∂φ
+
∂f
∂z
· ∂z
∂φ
= (2x)(γ cosφ cos θ) + (2y)(γ cosφ sen θ) + (6z)(−γ senφ)
= (2γ senφ cos θ)(γ cosφ cos θ) + (2γ senφ sen θ)(γ cosφ sen θ) + (6γ cosφ)(−γ senφ)
= 2γ2 senφ cosφ
(
cos2 θ + sen2 θ
)
︸ ︷︷ ︸
= 1
−6γ2 cosφ senφ
= −4γ2 senφ cosφ
(*)
= −2γ2 sen 2φ
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III EP6 – Tutor 3
∂F
∂θ
=
∂f
∂x
· ∂x
∂θ
+
∂f
∂y
· ∂y
∂θ
+
∂f
∂z
· ∂z
∂θ
= (2x)(−γ senφ sen θ) + (2y)(γ senφ cos θ) + (6z)(0)
= (2γ senφ cos θ)(−γ senφ sen θ) + (2γ senφ sen θ)(γ senφ cos θ)
= 2γ2 sen2 φ (− cos θ sen θ + cos θ sen θ)
= 0 .
(*) pois sen 2φ = 2 senφ cosφ.
Exerc´ıcio 3: Seja F (γ, θ) = f(γ cos θ, 2γ sen θ), com f(1, 2) = 2,
∂f
∂x
(1, 2) = 3 e
∂f
∂y
(1, 2) = −4.
Calcule
∂F
∂γ
(√
2 ,
pi
4
)
e
∂F
∂θ
(√
2 ,
pi
4
)
.
Soluc¸a˜o: Fazendo x(γ, θ) = γ cos θ e y(γ, θ) = 2γ sen θ temos:
F (γ, θ) = f(γ cos θ︸ ︷︷ ︸
x(γ,θ)
, 2γ sen θ︸ ︷︷ ︸
y(γ,θ)
) = f (x(γ, θ), y(γ, θ)) .
Assim, pela regra da cadeia temos:
∂F
∂γ
(γ, θ) =
∂f
∂x
(γ cos θ, 2γ sen θ)
∂x
∂γ
+
∂f
∂y
(γ cos θ, 2γ sen θ)
∂y
∂γ
=
∂f
∂x
(γ cos θ, 2γ sen θ) cos θ +
∂f
∂y
(γ cos θ, 2γ sen θ)2 sen θ .
Assim,
∂F
∂γ
(√
2 ,
pi
4
)
=
∂f
∂x
(1, 2)
(√
2
2
)
+
∂f
∂y
(1, 2)
(
2
(√
2
2
))
= 3
(√
2
2
)
+ (−4) (√2)
= −5
2
√
2 .
Analogamente, pela regra da cadeia tem-se:
∂F
∂θ
(γ, θ) =
∂f
∂x
(γ cos θ, 2γ sen θ)
∂x
∂θ
+
∂f
∂y
(γ cos θ, 2γ sen θ)
∂y
∂θ
=
∂f
∂x
(γ cos θ, 2γ sen θ)(−γ sen θ) + ∂f
∂y
(γ cos θ, 2γ sen θ)2γ cos θ .
Assim,
∂F
∂θ
(√
2 ,
pi
4
)
=
∂f
∂x
(1, 2)
(
−√2 ·
√
2
2
)
+
∂f
∂y
(1, 2)
(
2
√
2 ·
√
2
2
)
= 3(−1) + (−4)(2)
= −11 .
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Ca´lculo III EP6 – Tutor 4
Exerc´ıcio 4: Seja a func¸a˜o G(x, y, z) = x3 + y4 + z3 + xz.
a) Usando o teorema da func¸a˜o impl´ıcita (pa´g 139, mo´dulo 1), mostre que G(x, y, z) = 17 define
uma func¸a˜o z = g(x, y) implicitamente em alguma vizinhanc¸a D do ponto (0, 2) de R2.
b) Calcule
∂g
∂x
(x, y) e
∂g
∂y
(x, y), para todo (x, y) ∈ D.
Soluc¸a˜o:
a) Se x = 0 e y = 2, como G(x, y, z) = x3 + y4 + z3 + xz = 17, logo
0 + 24 + z3 + 0 = 17 ⇒ z = 1 .
Pelo teorema da func¸a˜o impl´ıcita (pa´g 139, mo´dulo 1), basta provar que
∂G
∂z
(0, 2, 1) 6= 0.
Com efeito, fazendo x e y constante e derivando G em relac¸a˜o a` z temos:
∂G
∂z
(x, y, z) = 3z2 + x .
Logo:
∂G
∂z
(0, 2, 1) = 3(1)2 + 0 = 3 6= 0 .
b) Pelo teorema da func¸a˜o impl´ıcita (pa´g 139, mo´dulo 1):
∂g
∂x
(x, y) =
−∂g
∂x
(
x, y, g(x, y)︸ ︷︷ ︸
= z
)
∂g
∂z
(
x, y, g(x, y)︸ ︷︷ ︸
= z
)
=
− (3x2 + z)
3z2 + x
∂g
∂y
(x, y) =
−∂g
∂y
(
x, y, g(x, y)︸ ︷︷ ︸
= z
)
∂g
∂z
(
x, y, g(x, y)︸ ︷︷ ︸
= z
)
=
− (4y3)
3z2 + x
para todo (x, y) ∈ D.
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