Questão resolvida - Considere zg(x,y), com g derivável, xrcos() e yrsen(), prove que_ - derivada parcial - cálculo II

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- Considere z = g x, y , com g derivável, x = rcos 𝛽 e y = rsen 𝛽 , prove que :( ) ( ) ( )
 
z + z = z +2x
2
y
2
r
z
r
2
𝛽
2
Resolução:
 
z é a derivada parcial da função z em relação a r, z é derivada parcial da função z emr 𝛽
 relação a 𝛽, z é a derivada da função z em relação a x e z é a derivada da função z em x y
relação a y
Abendo disto, temos que;
 
z = = +r
𝜕z
𝜕r
𝜕z
𝜕x
𝜕x
𝜕r
𝜕z
𝜕y
𝜕y
𝜕r
Temos que;
 
= z , = z , = cos 𝛽 e = sen 𝛽
𝜕z
𝜕x
x
𝜕z
𝜕y
y
𝜕x
𝜕r
( )
𝜕y
𝜕r
( )
Com isso, fica;zr
 
z = z cos 𝛽 + z sen 𝛽r x ( ) y ( )
Temos também que;
 
z = +𝛽
𝜕z
𝜕x
𝜕x
𝜕𝛽
𝜕z
𝜕y
𝜕y
𝜕𝛽
Sendo;
= z , = z , = - rsen 𝛽 e = rcos 𝛽
𝜕z
𝜕x
x
𝜕z
𝜕y
y
𝜕x
𝜕𝛽
( )
𝜕y
𝜕𝛽
( )
Dessa forma;
 
z = z -rsen 𝛽 + z rcos 𝛽 = - z rsen 𝛽 + z rcos 𝛽𝛽 x( ( )) y( ( )) x ( ) y ( )
 
 
 
Asim:
 
z = z cos 𝛽 + z sen 𝛽 = z cos 𝛽 + 2z cos 𝛽 z sen 𝛽 + z sen 𝛽2r ( x ( ) y ( ))
2 ( x ( ))
2
x ( ) y ( ) ( y ( ))
2
 
z = z cos 𝛽 + 2z z cos 𝛽 sen 𝛽 + z sen 𝛽2r
2
x
2( ) x y ( ) ( )
2
y
2( )
 
e
 
z = -z rsen 𝛽 + z rcos 𝛽 = -z rsen 𝛽 + 2 -z rsen 𝛽 z rcos 𝛽 + z rcos 𝛽2𝛽 ( x ( ) y ( ))
2 ( x ( ))
2 ( x ( ))( y ( )) ( y ( ))
2
 
z = z r sen 𝛽 - 2z z r sen 𝛽 cos 𝛽 + z r cos 𝛽2𝛽
2
x
2 2( ) x y
2 ( )) ( ) 2y
2 2( )
 
Agora, temos;
 
z + = z cos 𝛽 + z sen 𝛽 + z sen 𝛽 + z cos 𝛽2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2( ) 2y
2( ) 2x
2( ) 2y
2( )
z + = z sen 𝛽 + z cos 𝛽 + z sen 𝛽 + z cos 𝛽2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2( ) 2x
2( ) 2y
2( ) 2y
2( )
z + = z sen 𝛽 + cos 𝛽 + z sen 𝛽 + cos 𝛽2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2( ) 2( ) 2y
2( ) 2( )
, vem;Da identidade trigonométrica pitagórica : sen 𝛽 + 𝛽 = 12( ) cos2( )
 
z + = z ⋅ 1 + z ⋅ 1 z + = z + z2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2
y →
2
r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2
y
 
 
 
z + = z cos 𝛽 + 2z z cos 𝛽 sen 𝛽 + z sen 𝛽 +2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2( ) x y ( ) ( )
2
y
2( )
z r sen 𝛽 - 2z z r sen 𝛽 cos 𝛽 + z r cos
r
2
x
2 2( ) x y
2 ( )) ( ) 2y
2
2
 
z + = z cos 𝛽 + 2z z cos 𝛽 sen 𝛽 + z sen 𝛽 +2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2( ) x y ( ) ( )
2
y
2( )
r z sen 𝛽 - 2z z sen 𝛽 cos 𝛽 + z cos 𝛽
r
2 2
x
2( ) x y ( ) ( )
2
y
2( )
2
z + = z cos 𝛽 + 2z z cos 𝛽 sen 𝛽 + z sen 𝛽 + z sen 𝛽 - 2z z sen 𝛽 cos 𝛽 + z cos 𝛽2r
z
r
2
𝛽
2
2
x
2( ) x y ( ) ( )
2
y
2( ) 2x
2( ) x y ( ) ( )
2
y
2( )
z + z = z +2x
2
y
2
r
z
r
2
𝛽
2
 
 
(Resposta )