lista revisão p2

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Matema´tica Discreta - Lista de Revisa˜o para a P2 - 29/06/2018
1. Vı´tor tem 24 carto˜es, sendo 8 azuis, 8 brancos e 8 verdes. Para cada cor, ele numerou os
carto˜es de 1 a 8. De quantas maneiras Vı´tor pode escolher
(a) 2 carto˜es azuis de modo que a soma de seus nu´meros seja igual a 9?
(b) 2 carto˜es de modo que a soma de seus nu´meros seja igual a 9?
(c) 3 carto˜es de modo que a soma de seus nu´meros seja igual a 9?
2. Em um porta CD cabem 10 CDs colocados um sobre outro, formando uma pilha vertical.
Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de mu´sica cla´ssica. De quantos modos diferentes posso
(a) empilha´-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?
(b) escolher 4 CDs para levar em uma viagem, de modo que eu leve pelo menos um CD de
cada tipo de mu´sica?
3. O nu´mero 2568 possui quatro d´ıgitos distintos em ordem estritamente crescente. Os nu´meros
5667 e 3769 na˜o possuem d´ıgitos em ordem estritamente crescente. Quantos sa˜o os nu´meros
naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus d´ıgitos em ordem estritamente crescente?
4. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. Determine o nu´mero de
func¸o˜es f : A→ B sobrejetivas nos casos em que
(a) p = n;
(b) p = n + 1;
(c) p = n + 2.
5. Em uma gaveta ha´ 10 pilhas das quais duas esta˜o descarregadas. Testando-se as pilhas uma a
uma ate´ serem identificadas as duas descarregadas, determine a probabilidade de serem feitos:
(a) cinco testes;
(b) mais de cinco testes;
(c) menos de cinco testes.
6. Uma moeda honesta e´ lanc¸ada sucessivas vezes.
(a) Se a moeda for lanc¸ada 4 vezes, qual e´ a probabilidade de que o nu´mero observado de
caras seja ı´mpar? E se a moeda for lanc¸ada 5 vezes?
(b) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se
observar um nu´mero ı´mpar de caras em n lanc¸amentos da moeda.
(c) Demonstre, utilizando induc¸a˜o finita, a conjectura do item (b).
7. Em uma caixa ha´ 10 bolas ideˆnticas numeradas de 1 a 10. O nu´mero de cada bola corresponde
a um dos pontos da figura, os quais dividem a circunfereˆncia em 10 partes iguais. Nos itens
a seguir, considere que as bolas sa˜o retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposic¸a˜o.
(a) Se forem retiradas duas bolas, qual e´ a probabilidade de que o segmento determinado
pelos pontos correspondentes seja um diaˆmetro da circunfereˆncia?
(b) Se forem retiradas treˆs bolas , qual e´ a probabilidade de que os pontos correspondentes
sejam ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo?
(c) Se forem retiradas quatro bolas, qual e´ a probabilidade de que os pontos correspondentes
sejam ve´rtices de um retaˆngulo?
8. Em uma caixa ha´ treˆs dados aparentemente ideˆnticos. Mas, enquanto dois deles sa˜o normais,
um deles tem treˆs faces iguais a 1 e treˆs faces iguais a 6. Um dado e´ retirado ao acaso da caixa
e lanc¸ado duas vezes. Se a soma dos resultados obtidos for igual a 7, qual e´ a probabilidade
condicional de que o dado sorteado tenha sido um dos dados normais?
9. Determine a probabilidade de se obter ao menos
(a) um seis em 4 lanc¸amentos de um dado honesto;
(b) um duplo 6 em 24 lanc¸amentos de um par de dados honestos.
10. Um prisioneiro possui 50 bolas azuis e 50 bolas vermelhas e duas urnas iguais. O prisioneiro
deve colocar do modo que preferir as bolas nas urnas, desde que nenhuma urna fique vazia.
As urnas sera˜o embaralhadas e o prisioneiro devera´, de olhos vendados, escolher uma urna
e, nesta urna, escolher uma bola. Se a bola for azul ele sera´ libertado e, se for vermelha,
sera´ condenado. Como deve agir o prisioneiro de modo a maximizar a probabilidade de ser
libertado?
11. Em um programa da televisa˜o italiana, os candidatos devem escolher uma entre treˆs portas.
Atra´s de uma dessas portas ha´ um carro e atra´s das outras duas ha´ um bode. Escolhida uma
porta pelo candidato, o apresentador, que sabe onde esta˜o os bodes, abre uma das outras
portas, atra´s da qual se encontra um bode, e pergunta ao candidato se ele quer ficar com a
porta que escolheu ou se prefere troca´-la pela outra porta que ainda esta´ fechada. Admitindo
que, quando o candidato escolhe a porta em que esta´ o carro, o apresentador escolha ao acaso
uma porta para abrir, voceˆ acha que o candidato deve trocar, na˜o deve trocar ou que tanto
faz? Por queˆ?
12. Cristina e Maria marcaram um encontro a`s 16h. Se cada uma delas independentemente
chegara´ ao encontro em um instante qualquer entre 16 e 17 horas e se dispo˜e a esperar no
ma´ximo 10 minutos pela outra, qual e´ a probabilidade de se encontrarem?
13. Em uma cela ha´ treˆs tu´neis. Um conduz a` liberdade em 3 horas; outro, em 5 horas, e o u´ltimo
conduz ao ponto de partida depois de 9 horas.
(a) Qual o tempo me´dio que os prisioneiros levam para escapar? Suponha que o processo
tem memo´ria, ou seja, caso o prisioneiro retorne a` cela, ele na˜o escolhera´ mais o tu´nel
que retorna a` cela.
(b) Suponha agora que os prisioneiros que entram pelo terceiro tu´nel, quando voltam ao
ponto de partida, na˜o se lembram de qual foi o tu´nel em que entraram e, portanto,
escolhem para uma eventual nova tentativa, qualquer um dos treˆs tu´neis. Nesse caso,
qual e´ o tempo me´dio que um prisioneiro leva para escapar?
14. Mostre que existe um mu´ltiplo de 2013 cujos d´ıgitos sa˜o todos iguais a 1.
15. 54 mil candidatos esta˜o fazendo uma prova de 30 questo˜es de mu´tipla escolha, com 4 alterna-
tivas de resposta por questa˜o. Suponha que nenhum candidato deixe de responder a nenhuma
questa˜o.
(a) Considere a afirmac¸a˜o: “Pelo menos k candidatos respondera˜o de modo ideˆntico a`s 5
primeiras questo˜es da prova.” Determine o maior valor de k para o qual a afirmac¸a˜o e´
certamente verdadeira.
(b) Considere a afirmac¸a˜o: “Pelo menos 6 candidatos respondera˜o de modo ideˆntico a`s k
primeiras questo˜es da prova.” Determine o maior valor de k para o qual a afirmac¸a˜o e´
certamente verdadeira.
16. Prove que se x, y e z sa˜o nu´meros positivos, enta˜o
(a)
1
x
+
1
y
+
1
z
≥ 9
x + y + z
(b)
(
√
x +
√
y +
√
z)2 ≥ 9 3√xyz