SLIDES DE AULA 5 a 8 matamatica I

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Unidade II
MATEMÁTICA
Prof. Luiz Felix
Modelagem
 Tema vasto.
 Relembrar seus tópicos iniciais, 
estabelecendo uma base inicial para 
estudos futuros.
 Vamos traduzir frases da línguaVamos traduzir frases da língua 
portuguesa para equações da linguagem 
matemática.
Modelagem
Modelagem
Exemplos de aplicação
O triplo de um número mais dois é igual ao 
próprio número menos quatro. Qual é esse 
número?
3x + 2 = x – 4 
3x – x = – 4 – 23x x 4 2 
2x = – 6 
x = – 6
2
x = – 3 
Exemplos de aplicação
O quádruplo de um número menos 10 é 
igual ao dobro desse número mais 55. Qual 
é esse número? 
4x – 10 = 2x + 55 
4x – 2x = 55 + 104x 2x 55 10
2x = 65
x = 65
2
Exemplos de aplicação
A diferença entre um número e sua quinta 
parte é igual a 32. Qual é esse número?
x – x = 32
5
5x x = 325x – x = 32
5
4x = 32 . 5
4x = 160
x = 160x = 160
4 
x = 40 
Exemplos de aplicação
A metade dos objetos de uma caixa mais a 
terça parte desses objetos é igual a 25. 
Quantos objetos há na caixa?
x + x = 25
2 32 3 
3x + 2x = 25
6 
5x = 25 . 6
5x = 150
x = 150  x = 30
5
Exemplos de aplicação
Um número acrescido de 8 unidades é igual 
a terça parte desse número. Qual é esse 
número?
x + 8 = 1 x
33 
x – 1 x = – 8 
3 
3x – 1x = – 8 
3
2x = – 8 . 3
2x = – 24  x = – 12 
Interatividade 
O triplo de um número é igual à sua metade 
mais 20. Qual é esse número?
a) 8
b) 13
c) 4c) 4
d) 22
e) 10
Inequação
 Inequação é uma sentença matemática 
que contém uma ou mais incógnitas e 
representa uma desigualdade.
 Exemplos:
4x < 124x 12
11 < 3x + 5
 62 + 1 < 72 não é considerada inequação, 
ainda que possua um sinal de 
desigualdade < (menor que), pois não 
possui incógnitaspossui incógnitas.
Observações importantes
 Quando uma desigualdade é multiplicada 
por um número negativo, devemos 
inverter o sentido da desigualdade.
Exemplo: 
1 < 2 vamos multiplicar por (–2)1 2 vamos multiplicar por ( 2) 
– 2 > – 4
 Na inversão dos termos de uma 
inequação devemos também inverter o 
sentido da desigualdade.
Exemplo:
3 < x vamos inverter os termos
x > 3
Inequação: exemplo
11 < 3x + 5
11 – 5 < 3x
6 < 3x
6 < x
3
2 < x
x > 2
Inequação: exemplo
2x – 7 < 5x + 8
2x – 5x < 8 + 7
– 3x < 15 Vamos multiplicar por (– 1) 
3x > – 15 
x > – 15 
3
x > – 5 
Sistemas de equações lineares
 Muitas vezes, o problema que estudamos 
não tem somente uma variável; aliás, a 
grande maioria dos problemas reais tem 
muitas variáveis. Esse tipo de problema 
que contém mais de uma variável não é 
resolvido por meio de uma equação masresolvido por meio de uma equação, mas 
de muitas equações que traduzem as 
relações entre essas variáveis. 
 A esse conjunto de equações de um 
modelo matemático damos o nome de 
sistema de equações e se nessassistema de equações e se nessas 
equações houver somente as operações 
básicas de adição e multiplicação, 
teremos, então, um sistema de 
equações lineares.
Sistemas de equações lineares: 
exemplo de substituição de variável
 Resolva o sistema:
 x + y = 3  equação I
 x  y = 1  equação II
 A partir da equação I, temos: x = 3 – y 
Substituindo na equação II, temos:
(3 – y) – y = 1
3 – 2y = 1  – 2 y = 1 – 3  – 2 y = – 2
y = 1
S b tit i d 1 ã I tSubstituindo y = 1 na equação I, temos:
x + 1 = 3
x = 3 – 1  x = 2
Sistemas de equações lineares: 
exemplo de método da adição
 Resolva o sistema:
 x + y = 3  equação I
 x  y = 1  equação II
 Vamos somar os termos da equação:
 x + y = 3
 x  y = 1 
2x + 0 y = 4 
2x = 4  x = 2
S b tit i d ã I tSubstituindo na equação I, temos:
2 + y = 3 
y = 3 – 2  y = 1
Exemplo de aplicação
Uma empresa A tem 5 anos a mais de 
mercado que uma empresa B. A soma da 
idade de ambas é igual a 39 anos. Qual é a 
idade de cada uma?
 A = B + 5  equação I
 A + B = 39  equação II
Substituindo o valor de A na equação II:
(B + 5) + B = 39  2B + 5 = 39
2B = 39 – 5  2B = 34  B = 17
Substituindo B = 17 na equação I: 
A = 17 + 5
A = 22
Interatividade 
Um aluno ganha 5 pontos por exercício que 
acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao 
fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. 
Quantos exercícios acertou?
a) 28
b) 40
c) 14
d) 35
e) 20
Resolução da interatividade
 Um aluno ganha 5 pontos por exercício 
que acerta e perde 3 por exercício que 
erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 
pontos. Quantos exercícios acertou?
 Seja x o número de questões certas e y, o 
de erradas. 
Como foram 50 exercícios: 
x + y = 50  equação I
Como o aluno tinha 130 pontos e ele ganha 5 
pontos por exercícios que acerta e perde 3pontos por exercícios que acerta e perde 3 
pelo que erra, somando todos os pontos, 
devemos ter 130, assim:
5x  3y = 130  equação II
Resolução da interatividade
 x + y = 50  equação I
 5x  3y = 130  equação II
 A partir da equação I, temos: x = 50 – y 
Substituindo na equação II, temos:
5 . (50 – y) – 3y = 130
250 – 5y – 3y = 130 
– 8y = 130 – 250  – 8y = – 120 
y = 120/8  y = 15
S b tit i d 15 ã I tSubstituindo y = 15 na equação I, temos:
x + 15 = 50  x = 50 – 15 
x = 35 (questões certas)
Produtos notáveis
 Na matemática existem alguns produtos 
(multiplicações) que aparecem com 
bastante frequência e, por esse motivo, 
eles recebem o nome de produtos 
notáveis.
Produtos notáveis
 Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)2 =
(a + b) . (a + b) = 
a . a + a . b + b . a + b . b = 
a2 + ab + ab + b2 = 
a2 + 2ab + b2
Logo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
Produtos notáveis
 Quadrado da diferença de dois termos:
(a – b)2 = 
(a – b) . (a – b) = 
a . a – a . b – b . a + b . b = 
a2 – ab – ab + b2 = 
a2 – 2ab + b2
Logo: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Produtos notáveis
 Produto da soma pela diferença de dois 
termos:
(a + b) . (a – b) = 
a . a – a . b + b . a + b . b = 
a2 b2 =a2 – b2 = 
Logo: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
Fatoração
 A fatoração nada mais é que escrever em 
formas de produtos as expressões 
algébricas.
 Existem alguns métodos de fatoração que 
serão explorados a seguir.
Evidência do fator comum
 Colocar em evidência é achar o fator 
comum a todos os termos da expressão:
x4 + 3x3 + 2x2 =
x2 . (x2 + 3x + 2) =
Agrupamento
 Nem sempre é fácil identificar um fator 
comum para ser colocado em evidência, 
ou, pelo menos, nem sempre é trivial. Em 
alguns casos, é necessário agrupar 
termos para que se consiga reduzir a 
expressão em produtosexpressão em produtos.
ax – bx + ay – by =
(ax – bx) + (ay – by) = 
x . (a – b) + y . (a – b) = 
(a b) (x + y)(a – b) . (x + y) 
Interatividade 
Fatorar 4x3 + 2x2 + 6x
a) 2x2 . (2x3 + x2 + 6)
b) 2x . (2x3 + x2 + 6x)
c) 2 . (2x2 + 2x + 6)
d) x . (4x3 + x + 6x)
e) 2x . (2x2 + x + 3)
Equações do 2o grau
 Denominamos equação do 2o grau toda 
equação do tipo ax² + bx + c com 
coeficientes numéricos a, b e c 
com a ≠ 0.
Exemplo: x² + 4x + 1 
a = 1 b = 4 c = 1 
Exemplo: – 5x² + 3x – 2 
a = – 5 b = 3 c = – 2 
Resolução da equação do 2o grau 
incompleta
 As equações do 2o grau podem ser 
completas ou incompletas. São 
chamadas de incompletas se um dos 
coeficientes (b ou c) for nulo.
 Caso 1: b = 0
x² – 9 = 0 ֜ x² = 9 ֜ x = ± 9 ֜ x = ± 3
 Caso 2: c = 0
x² – 9x = 0 basta fatorar o fator comum x
x(x – 9)=0 ֜ x = 0 ou x = 9
 Caso 3: b = c = 0
2x² = 0 ֜ x = 0
Resolução da equação do 2o grau
 As equações do 2o grau completas são 
do tipo ax² + bx + c = 0 com a, b e c 
diferentes de zero
 Uma equação do 2o grau pode ter até 2 
raízesreais, que podem ser 
determinadas pela fórmula de Bhaskara
x = – b ±  b² – 4ac ou x = – b ±  Δ 
2a 2a 
Δ = b² – 4ac 
Δ é chamado de discriminante 
da equação 
Resolução da equação do 2o grau
 Resolver: 3x² – 7x + 2 = 0
a = 3, b = – 7 e c = 2
x = – b ±  b² – 4ac
2a 
x = – (– 7) ±  (–7)² – 4.3.2
2.3 
x = 7 ±  25 = 7 ± 5
6 6
’ 7 5 12 2x’ = 7 + 5 = 12 = 2 
6 6
x’’ = 7 – 5 = 2 = 1
6 6 3
Resolução da equação do 2o grau
 Resolver: – x² + 4x – 4 = 0
a = – 1, b = 4 e c = – 4
Δ = b² – 4ac = 4² – (4) . (–1) . (– 4)
= 16 – 16 = 0
x = – b ±  Δ 
2a 
x = – 4 ± 0 = – 4 = 2
2. (–1) – 2
N ti ã d Nesse caso, tivemos uma equação do 
2o grau com duas raízes reais e iguais 
(Δ = 0).
Resolução da equação do 2o grau
 Resolver: 5x² – 6x + 5 = 0
a = 5, b = – 6 e c = 5
Δ = b² – 4ac = (–6)² – 4 . 5 . 5
= 36 – 100 = – 64
 Note que Δ < 0 e não existe raiz 
quadrada de um número negativo. 
Assim, a equação não possui nenhuma 
raiz real.
Interatividade 
 Ache as raízes da equação 
x² – x – 20 = 0
a) x’ = 1 e x” = 2 
b) x’ = 5 e x” = – 4 
c) x’ = 5 e x” = 4c) x’ = – 5 e x” = 4 
d) x’ = 1 e x” = – 2 
e) A equação não possui raízes reais.
ATÉ A PRÓXIMA!