SLIDES DE AULA 13 a 16 matamatica I

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Unidade IV
MATEMÁTICA
Prof. Luiz Felix
Função exponencial 
Funções exponenciais são funções nas quais a variável x 
encontra-se no expoente da expressão. Sua definição 
matemática é: 
f(x) = a . bx com a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1
Exemplos:
f(x) = 2x f(x) = 5 . 8x
f(x) = 3x/2
3
Função exponencial: gráficos
 1o caso
 2o caso
Função exponencial: gráficos
 3o caso
 4o caso
Comparativo
A função exponencial cresce muito mais rapidamente do que 
qualquer função polinomial, como as conhecidas funções linear 
e quadrática:
Exponencial Quadrática Linear
Função logarítmica
 Muitas vezes, ao resolvermos problemas que envolvem 
funções exponenciais, o que não sabemos é o próprio valor 
da variável independente, o x.
 Nesses casos, precisamos recorrer à função inversa da 
exponencial, que é a função logarítmica.
Função logarítmica
As funções logarítmicas são definidas matematicamente da 
seguinte forma:
f(x) = a.logb x com a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1, x > 0
Exemplos:
f(x) = 2.log2 x 
f(x) = – log x
f(x) = – 4 . log x
f(x) = – log3 x
Propriedades dos logaritmos
Exemplos
 Sabemos que 42 = 16, em que 4 é a base, 2 é o expoente. 
 Na linguagem dos logaritmos, dizemos que 2 é o logaritmo de 
16 na base 4. 
Escrevemos: log416 = 2
 Quando a base do logaritmo não for especificada, sabemos 
que ela é igual a 10.
Mais exemplos:
152 = 225 então log15 225 = 2
63 = 216 então log6 216 = 3
54 = 625 então log5 625 = 4
70 = 1 então log7 1 = 0
Exemplo
Nos EUA, em anos recentes, a população pode ser modelada 
pela função exponencial: p(t) = 205 . (1,0068)t, na qual p é a 
população (em milhões) e t é o tempo em anos, com t = 0 
correspondendo a 1970. Determine:
a) A população americana em 2000 p(t) = 205 . (1,0068)t, 
sendo t = 2000 – 1970 = 30
p(t) = 205 . (1,0068)30
p(t) = 205 . 1,22545
p(t) = 251,21760
p(t) ≈ 251
Exemplo
 Como fazer o cálculo (1,0068)30 = 1,22545? 
 Utilizar calculadora que tenha xy ou yx ou^
Se você possuir uma HP-12C:
 1,0068 Enter 30 yx
Utilizando a calculadora do computador:
 Chamar a calculadora e em exibir selecionar científica
1,0068 xy 30=
Exemplo
b) Em que ano a população ultrapassará a casa dos 300 
milhões de pessoas?
p(t) = 205 . (1,0068)t  300 = 205 . (1,0068)t 300 = (1,0068)t 
1,46341 = (1,0068)t
205
 Agora, temos a variável no expoente. Para resolvermos essa 
questão, temos que aplicar o log dos dois lados da igualdade
log 1,46341 = log (1,0068)t
log 1,46341 = t . log 1,0068
log 1,46341 = t  t = 0,165366018 = 56,1856
log 1,0068 0,002943206
t ≈ 56 1970+56 = 2026 
Interatividade 
Calcule log (2.10)
a)1,3010
b)2,5443
c)3,1329
d)4,0015
e)5,9871
Trigonometria no triângulo retângulo
 Um triângulo retângulo é uma figura plana que possui um 
ângulo reto (ângulo de 90º) e os outros dois ângulos 
são agudos.
 Em um triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre 
as medidas dos seus lados, que podem ser os catetos ou 
a hipotenusa. 
ÂNGULO RETO 90 GRAUS
Trigonometria no triângulo retângulo
 Os catetos são os lados que formam o ângulo reto e também 
que possuem medida menor em relação à hipotenusa.
 A hipotenusa é o lado que possui maior medida do triângulo 
retângulo. Ela também fica localizada opostamente ao ângulo 
reto (ângulo formado pelos catetos).
ÂNGULO RETO 90 GRAUS
Trigonometria no triângulo retângulo
 Conforme o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados dos catetos:
a2 = b2 + c2
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
 Em um triângulo retângulo, dizemos que o seno de um ângulo 
é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo 
sobre a hipotenusa. 
O seno do ângulo α é dado pela relação:
cateto oposto a α = b
hipotenusa a
O seno do ângulo β é dado pela relação:
cateto oposto a β = c
hipotenusa a
 Em um triângulo retângulo, dizemos que o cosseno de um 
ângulo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse 
ângulo sobre a hipotenusa.
O cosseno do ângulo α é dado pela relação:
cateto adjacente a α = c
hipotenusa a
O cosseno do ângulo β é dado pela relação:
cateto adjacente a β = b
hipotenusa a
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Exercício
 Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine 
as medidas a e b indicadas (sen 60° = 0,866 e cos 60°= 0,5).
Vamos determinar a:
sen = cateto oposto 
hipotenusa 
sen 60° = 12√3 
a
0,866 = 12√3  0,866 . a = 20,78  a = 20,78
a 0,866
a = 24
Exercício
Sabendo que a = 24, vamos determinar b:
cos = cateto adjacente
hipotenusa 
cos 60° = b
a
0,5 = b  0,5 . 24 = b 
24 
b = 12
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
 Em um triângulo retângulo, dizemos que a tangente de um 
ângulo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse 
ângulo sobre o cateto adjacente 
a esse ângulo.
A tangente do ângulo α é dada pela relação:
cateto oposto a α = b
cateto adjacente c
A tangente do ângulo β é dada pela relação:
cateto oposto a β = c
cateto adjacente b
Exercício
 No triângulo da figura abaixo, calcule tg Â
tg = cateto oposto 
cateto adjacente 
tg  = 48
14
tg  = 24
7
Interatividade 
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas 
de x e y indicadas. (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42)
a) x = 7,09 e y = 2,68
b) x = 8,19 e y = 3,78
c) x = 6,29 e y = 2,88
d) x = 9,21 e y = 4,92
e) x = 5,15 e y = 1,25
Resolução da interatividade 
 No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as 
medidas de x e y indicadas. (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 
0,42)
Vamos determinar y:
cos = cateto adjacente
hipotenusa 
cos 65° = y  0,42 = y 
9 9 
y = 0,42 . 9 
y = 3,78
Resolução da interatividade 
 No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as 
medidas de x e y indicadas. (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 
0,42)
Vamos determinar x:
sen = cateto oposto 
hipotenusa 
sen 65° = x  0,91 = x 
9 9
x = 0,91 . 9
x = 8,19
Representações das funções seno, cosseno e tangente
Ângulos notáveis 
 Existem alguns ângulos 
que, devido ao seu uso 
constante, acabam 
sendo mais explorados. 
É o caso dos ângulos 
de 30, 45 e 60 graus.
Ângulos notáveis
 A circunferência pode ser dividida tanto em graus como 
em radianos.
 Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao 
comprimento do raio da circunferência no qual está inserido.
 Uma circunferência de raio r = 1 possui a medida de 
2π radianos.
Ângulos notáveis 
Relação fundamental
 Seja x ∈ R sen2 x + cos2 x = 1
Lei dos senos
 Se considerarmos um triângulo qualquer, podemos verificar 
que as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos 
ângulos opostos.
Assim, a lei dos senos é representada por:
a = b = c 
senA senB senC
Exemplo:
8 = x 
sen90 sen30
8 = x  x = 4
1 0,5
Lei dos cossenos
 a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
 b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
 c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Lei dos cossenos: exemplo
 a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
132 = b2 + 52 – 2.b.5 cos 90º
169 = b2 + 25 – 10b . 0
169 – 25 = b2
144 = b2
b = 12
Interatividade 
Indiqueo valor de sen 30º e cos 60º
a) sen 30º = 1 e cos 60º = √3
2 2
b) sen 30º = √3 e cos 60º = 1
2 2
c) sen 30º = 1 e cos 60º = 1
2 2
d) sen 30º = √2 e cos 60º = √3 
2 
e) sen 30º = 1 e cos 60º = √3 
3
Círculo trigonométrico
Algumas características do círculo trigonométrico são:
 O seu centro é a origem dos pontos no plano cartesiano, ou 
seja, ponto (0,0).
 O raio é unitário, ou seja, r = 1.
O círculo trigonométrico possui dois sentidos:
 Horário: esse é o sentido dos ponteiros do relógio. No círculo 
trigonométrico, ele é negativo.
 Anti-horário: esse é o sentido contrário dos ponteiros do 
relógio. No círculo trigonométrico, ele é positivo.
Círculo trigonométrico
Seno de arcos notáveis
 Representaremos o seno dos arcos 0º, 90º, 180º e 270º que 
são considerados arcos notáveis no círculo trigonométrico, 
pois cada 90º percorridos no sentido anti-horário significa a 
passagem por um quadrante.
Seno de 0º
 Se calcularmos o seno de 0º, iremos notar que no eixo das 
ordenadas não existe arco. Logo, sen0º = 0.
Seno de 90º
 Se calcularmos o seno de 90º, iremos notar que no eixo das 
ordenadas existe um ângulo de 90º formado pelo arco que 
inicia em B e termina em C, sendo C(0,1). Logo, sen90º = 1.
Seno de 180º
 Se calcularmos o seno de 180º, iremos notar que no eixo das 
ordenadas existe um ângulo de 180º formado pelo arco que 
inicia em B e termina em D, sendo D(–1,0). Logo, sen180º = 0.
Seno de 270º
 Se calcularmos o seno de 270º, iremos notar que no eixo das 
ordenadas existe um ângulo de 270º formado pelo arco que 
inicia em B e termina em E, sendo E(0,–1). Logo, sen270º = –1.
Função seno 
A representação gráfica da função seno é:
A seguir estão representados os valores notáveis da 
função seno:
Cosseno de arcos notáveis
 Representaremos os cossenos dos arcos 0º, 90º, 180º e 270º 
que são considerados arcos notáveis no círculo 
trigonométrico, pois cada 90º percorrido no sentido anti-
horário significa a passagem por um quadrante.
Cosseno de 0º
 Se calcularmos o cosseno de 0º, iremos notar que no eixo das 
abscissas não existe arco. Porém, o eixo das abscissas é 
representado pelo cosseno. Logo, cos0º = 1.
Cosseno de 90º
 Se calcularmos o cosseno de 90º, iremos notar que existe um 
arco que inicia em B e termina em C, cujo ponto é C = (0,1). 
Logo, cos90º = 0.
Cosseno de 180º
 Se calcularmos o cosseno de 180º, iremos notar que existe um 
arco que inicia em B e termina em D, cujo ponto é D = (–1,0). 
Logo, cos180º = –1.
Cosseno de 270º
 Se calcularmos o cosseno de 270º, iremos notar que existe um 
arco que inicia em B e termina em E, cujo ponto é E = (0,–1). 
Logo, cos270º = 0.
Função cosseno 
Representação gráfica da função cosseno:
A seguir estão representados os valores notáveis da função 
cosseno:
Função tangente
Representação gráfica da função tangente:
A seguir estão representados os valores notáveis da função 
tangente:
Interatividade 
Indique o valor de sen 90º 
a) sen 90º = √3
3 
b) sen 90º = √3
2 
c) sen 90º = √3 
d) sen 90º = √2
2 
e) sen 90º = 1
ATÉ A PRÓXIMA!