Inversão de Matrizes

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Definição
 Uma matriz A é dita como inversa quando existe uma outra matriz B de mesma ordem que se relacione com ela dessa maneira:
	A . B = B . A = I 
 sendo I a matriz identidade.
Logo podemos definir que : B = A-1
Exemplo de matriz inversa 2x2
Condições para existência de uma matriz inversa
Para que uma matriz possa considerada ser inversa ela deve apresentar as seguintes características:
	- Ela deve ser uma matriz quadrada
	- Seu determinante não pode ser nulo
	- Para uma determinada matriz A só pode existir uma única matriz inversa da mesma
Propriedades da Inversa
 A inversa da matriz inversa é:
(A–1)–1 = A
A PRÓPRIA MATRIZ!
 A transposta da inversa é:
Propriedades da Inversa
(A–1)t = (At)–1
A INVERSA DA TRANSPOSTA!
 Matriz inversa de um produto de matrizes é:
Propriedades da Inversa
(AB)–1 = B–1 · A–1
O PRODUTO DAS INVERSAS DAS MATRIZES COM ORDEM TROCADA!
 Matriz quadrada Anxn diz-se ortogonal se:
Propriedades da Inversa
 A–1 = At
A SUA INVERSA FOR IGUAL À SUA TRANSPOSTA!
Exemplo:
 
Para encontrar a inversa de uma Matriz A existem quatro métodos distintos. São eles:
		(i) Por Sistemas Lineares
	
		(ii) Por Gauss-Jordan
		(iii) Por Partição
		(iv) Por Co-fatores
Métodos de encontrar a inversa
 Como obter a inversa de ?
Inversa por Sistema Linear
É ISSO QUE NÓS VAMOS FAZER AGORA, AMIGUINHOS!
 Supondo que é a matriz inversa 
da matriz A, temos:
Inversa por Sistema Linear
 Resolvendo os sistemas:
 a = 1, b = –1, c = –2  e  d = 3
Inversa por Sistema Linear
 Logo:
Método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan consiste em emparelhar a matriz A com uma matriz identidade I de mesma ordem e, através de operações elementares, transformar a matriz A em uma matriz identidade. 
Ao realizarmos simultaneamente as mesmas operações elementares na matriz I, esta será transformada na inversa de A. 
Exemplo
Encontre a inversa da matriz:
Para resolver esse problema, emparelhamos a matriz com uma matriz identidade de mesma ordem.
Agora, utilizamos as operações elementares para transformar a matriz da esquerda em uma matriz identidade
Linha 1 = linha 1 – linha 2
Linha 2 = linha 2 – (2x)linha 2
Logo, segundo o método de Gauss-Jordan, a matriz inversa é:
Método por Partição
Quando Aplicar: O método de resolução baseado na partição deve ser usado nos casos em que a matriz em questão é muito grande, dificultando a utilização dos métodos de inversão citados anteriormente
Metodologia:
Repartir a matriz original (de forma que A11 seja quadrada)
Exemplo:
Método por Partição
2) Definir uma matriz B=A–1
	3) Utilizando a definição de matriz inversa, 	encontrar B
		4) Resolver o sistema resultante
Inversão pelo método dos co-fatores
Para inverter uma matriz utilizando esse método, precisamos partir do princípio que:
		 
Entendendo a expressão:
A’: Matriz inversa de A
det A: Determinante da matriz A
(cof A)t: Matriz transposta dos cofatores da matriz A
O cálculo do co-fator
Para calcular o co-fator utilizamos a seguinte expressão:
Vamos supor uma matriz: 
Se quisermos calcular o cofator C23, então fazemos:
O cálculo do cofator
Usando a definição, temos que:
Portanto, se tivermos uma matriz A: 
A matriz C dos co-fatores de A será:
Exercício
Calcule a inversa da matriz pelo método de Gauss-Jordan:
Solução
Primeiramente, emparelhamos a matriz identidade
Agora, basta usarmos as operações elementares buscando transformar a matriz A em uma matriz identidade
1° passo: Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 . (-1)
2° passo: Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 . (-1)
3° passo: Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 . (-2)
4° passo: Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 . (-3)
E por último,
5° passo: Linha 2 = Linha 2 + Linha 3
6° passo: Linha 3 = Linha 3 . (-1)
Portanto, a matriz inversa de A é:
Aplicações das matrizes inversas
As matrizes inversas, assim como os determinantes, são normalmente utilizadas para resolver sistemas de equações matemáticas envolvendo diversas variáveis. Essas equações podem estar relacionadas à certas áreas como controle de estoque, planejamento da produção de peças, programação de jogos, etc...
Exercício
1) Calcule a inversa da seguinte matriz, utilizando o método de partições:
A=
1 2 4
0 2 1
3 1 2
Método por Partição - Exercício
Resolução:
A=
1 2 4
0 2 1
3 1 2
A11=
A12=
A21=
A22=
1 2
0 2
4
1
3 1
2
Método por Partição - Exercício
1 2
0 2
4
1
B11
B21
1 0
0 1
1 2
0 2
B12
4
1
B22
0
3 1
B11
B21
2
0
3 1
B12
B22
2
1 0
-1/5 0 2/5
-1/5 2/3 1/15
2/5 -1/3 -2/15 
A-1=
Resolução no quadro!
Exercício
Ache a inversa da matriz abaixo utilizando o método dos co-fatores.
Solução
Calculamos det A = 0 + 6 = 6 0, logo a inversa existe.
Determinamos a matriz dos cofatores de A:
A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3
A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2
A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1
Solução
3) Determinamos a transposta da matriz dos co-fatores de A:
4) Encontramos a matriz inversa de A:
Solução
5) Para finalizar, fazemos a verificação: