1c2aa prova alglin ee

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
A´lgebra Linear - 1a Prova (P1)
Eng. Ele´trica - 16/10/2013 - Prof. E.T.Galante
1. (2,0 pontos)
(a) Resolva o sistema linear abaixo:
x+ y + z = 1
x− y + 2z = 2
x+ 6y + 3z = 3
(b) Discutir o sistema linear abaixo em func¸a˜o de a.
x+ y − az = 0
ax+ y − z = 2− a
x+ ay − z = −a
2. (2,0 pontos)
(a) Seja o conjunto V = {(x, y)|x, y ∈ R}. Neste conjunto definamos
as operac¸o˜es:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
a(x, y) = (ax, ay), ∀a ∈ R.
Decida se V e´ Espac¸o Vetorial e justifique sua resposta.
(b) Prove que para todo α ∈ R tem-se αo = o. Prove que para todo
u ∈ V tem-se 0u = o.
3. (2,0 pontos)
(a) Achar um conjunto de geradores do seguinte sub-espac¸o do R4:
V = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y = z + t = 0}.
(b) Seja C(I) o espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas num intervalo
I ⊂ R. Considere os seguintes sub-espac¸os de C(I):
U = {f ∈ C(I)|f(t) = f(−t),∀t ∈ R},
V = {f ∈ C(I)|f(t) = −f(−t),∀t ∈ R}.
Mostrar que C(I) = U ⊕ V .
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4. (2,0 pontos)
(a) Para quais valores de a ∈ R o conjunto
B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}
e´ uma base de R3?
(b) Mostre que o conjunto de vetores {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} e´ uma base
do sub-espac¸o do R3 definido por: U = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}.
5. (2,0 pontos) No espac¸o vetorial R3 consideremos os seguintes sub-
espac¸os vetoriais:
S = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)]
T = [(0, 1,−1), (1, 2, 1)]
U = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y = 4x− z = 0}.
Determinar as dimenso˜es de: S + T , S ∩ T , T + U , T ∩ U .
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