3c2aa prova alglin ecivil1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
A´lgebra Linear - 3a Prova - 14 de Setembro de 2016
Eng. Civil - Prof. E.T.Galante
1. (2,0 pontos) Determinar os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o linear T :
M(2, 2)→M(2, 2), dada por T (A) = At, onde A ∈M(2, 2).
2. (2,0 pontos) Determinar os autovalores e autovetores de T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (x+ 2y+ 3z, y+ 2z, z). T e´ diagonaliza´vel? Justifique sua resposta. Em
caso afirmativo, exiba uma base β de autovetores e a matriz diagonal [T ]ββ.
3. (2,0 pontos) Determinar os autovalores e autovetores da matriz abaixo. Ela e´
diagonaliza´vel? Justifique sua resposta. Em caso afirmativo, exiba uma base β de
autovetores e a matriz diagonal [T ]ββ.
A =

1 3 −3
0 4 0
−3 3 1
 .
4. (2,0 pontos) Sejam (x1, y1) e (x2, y2) dois vetores em R2. O produto interno usual
em R2 pode ser escrito como:
< (x1, y1), (x2, y2) >=
[
x1 y1
]  1 0
0 1
 x2
y2
 = x1x2 + y1y2.
Prove que a fo´rmula abaixo tambe´m define um produto interno em R2:
< (x1, y1), (x2, y2) >=
[
x1 y1
]  2 −1
−1 1
 x2
y2
 .
5. (2,0 pontos)
(a) Sabendo que | < u, v > | ≤ ||u||.||v||, prove que
||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v||.
(b) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Seja S ⊂ V . Prove que S⊥ e´
subespac¸o de V .
S⊥ = {v ∈ V |v⊥s,∀s ∈ S} = {v ∈ V | < v, s >= 0,∀s ∈ S}.
1