2c2aa prova alglin ecomp

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
A´lgebra Linear - 2a Prova - 11 de Agosto de 2016
Eng. Comp. - Prof. E.T.Galante
1. (2,0 pontos) Defina base e depois determine uma para o subespac¸o
W = [(−1,−2, 7), (−1,−2, 3), (1, 2,−2)].
2. (2,0 pontos) No espac¸o vetorial R4 consideremos os seguintes sub-
espac¸os vetoriais:
W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4|x+ y = 0 e z − t = 0};
W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y − z + t = 0}.
Determinar uma base para W1 ∩W2. Determinar se W1 +W2 = R4.
3. (2,0 pontos) Prove que Ker(F ) = {o} ⇔ F e´ injetora. Depois consi-
dere F : R2 → R3 linear dada por F (x, y) = (x, y, x + y) e determine
as dimenso˜es de Ker(F ) e de Im(F ). Determine tambe´m [F ]CanCan.
4. (2,0 pontos)
(a) Seja T : R3 → R3 linear tal que T (x, y, z) = (x − 2y, z, x + y).
Mostre que T e´ um isomorfismo e determine T−1(x, y, z).
(b) Seja T : R2 → R3 linear tal que T (1, 1) = (1,−1,−1) e T (0, 1) =
(0, 9, 3). Determine T (x, y) e [T ]βCan, onde β = {(1, 1), (0, 1)}.
5. (1,0 ponto) Determine a aplicac¸a˜o A que representa uma expansa˜o
de 2 seguida de uma rotac¸a˜o anti-hora´ria de 30◦.
6. (1,0 ponto)
Seja F : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear e B = {(1, 0), (1, 4)} uma
base de R2. Se
[F ]BB =
 1 1
5 1

determinar [F ]CanCan, onde Can = {(1, 0), (0, 1)}.
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