Prova com gabarito - final

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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II 2015.2
GEOMETRIA ANALI´TICA PROVA FINAL GABARITO
1aQuesta˜o(2, 0) Sobre os vetores
→
u,
→
v e
→
w, sabe-se que ‖→u‖= 2, ‖→v‖= 3, →w e´ unita´rio,
→
u · →v= 3, →u · →w=→v · →w= 1. Calcule o comprimento do vetor →u + →v − →w.
Soluc¸a˜o: ‖→u + →v − →w‖2= (→u + →v − →w) · (→u + →v − →w)
‖→u + →v − →w‖2 = →u · →u + →u · →v − →u · →w + →v · →u + →v · →v − →v · →w + →w · →u + →w · →v − →w · →w
= ‖→u‖2 +2 →u · →v −2 →u · →w + ‖→v‖2 −2 →v · →w + ‖→w‖2
= 4 + 6− 2 + 9− 2 + 1
= 16
Portanto, ‖→u + →v − →w‖= 4
2aQuesta˜o(2, 0) Dados os pontos O = (0, 0, 0), A = (2, 2, 1) e B = (−1, 0, 1), ve´rtices de
um triaˆngulo. Determine o comprimento da altura relativa ao ve´rtice O e calcule a a´rea
do triaˆngulo OAB.
Soluc¸a˜o 1: A altura h relativa ao ve´rtice O e´ o comprimento do vetor
→
AO −Proj
→
AO
→
AB
.
→
AO= (−2,−2,−1),
→
AB= (−3,−2, 0) e Proj
→
AO
→
AB
=
→
AO·
→
AB
→
AB·
→
AB
→
AB= 10
13
(−3,−2, 0).
→
AO −Proj
→
AO
→
AB
= (−2,−2,−1)− 10
13
(−3,−2, 0) = ( 4
13
,− 6
13
,−1)
Logo, h = 1
13
√
16 + 36 + 169 = 1
13
√
321.
A a´rea S do triaˆngulo OAB e´ 1
2
‖
→
AB‖ ·h = 1
2
√
13 · 1
13
√
321 = 1
2
√
13 · 1
13
√
13 · √17
Portanto S = 1
2
√
17.
Soluc¸a˜o 2: A a´rea S do triaˆngulo OAB e´ 1
2
‖
→
OA ∧
→
OB‖
→
OA ∧
→
OB=
∣∣∣∣∣∣∣
→
i
→
j
→
k
2 2 1
−1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 2
→
i −3
→
j +2
→
k ⇒ S = 1
2
√
17
Como S = 1
2
‖
→
AB‖ ·h, temos h =
√
17√
13
= 1
13
√
321
3aQuesta˜o(2, 0) Na figura sa˜o dadas as retas
r : X = (0, 2, 1) + λ(1, 1, 1) e s : x+ 1 = y − 1 = z + 2
3
e o plano pi : 2x− y + z − 1 = 0. Determine as coordenadas dos pontos A, B e C.
b C
b
A
b
B
rs
pi
Soluc¸a˜o: A = r ∩ pi,B = s ∩ pi,C = r ∩ s
r ∩ pi : 2λ − (2 + λ) + 1 + λ − 1 = 0 ⇒ 2λ − 2 = 0 ⇒
λ = 1⇒ A = (1, 3, 2)
s∩pi : 2(−1+ t)− (1+ t)+(−2+3t)−1 = 0⇒ 4t−6 =
0⇒ t = 3
2
⇒ B = (1
2
, 5
2
, 5
2
)
r ∩ s : λ = −1 + t ⇒ 2 + (−1 + t) = 1 + t ⇒ 1 = 1 e
1+(−1+ t) = −2+3t⇒ t = 1⇒ λ = 0⇒ C = (0, 2, 1)
4aQuesta˜o Identifique a qua´drica Ω : 200x2−25y2+4z2+200y = 0 e esboce a intersec¸a˜o
de Ω com o plano pi : z + 10 = 0, determinando o centro e os focos da coˆnica Ω ∩ pi.
Soluc¸a˜o: Completando os quadrados em y:
200x2 − 25(y2 − 8y + 16) + 400 + 4z2 = 0⇒ 200x2 − 25(y − 4)2 + 4z2 = −400
−x
2
2
+
(y − 4)2
16
− z
2
100
= 1 E´ um HIPERBOLO´IDE DE 2 FOLHAS
Ω ∩ pi : −x
2
2
+
(y − 4)2
16
− 100
100
= 1⇒ −x
2
2
+
(y − 4)2
16
= 2⇒ −x
2
4
+
(y − 4)2
32
= 1
A coˆnica Ω ∩ pi e´ uma hipe´rbole com
paraˆmetros geome´tricos a =
√
32, b = 2 e
c2 = a2 + b2 = 36 ou c = 6. Como ela
esta´ no plano z = −10 temos o centro em
C = (0, 4,−10) e os focos F1 = (0, 10,−10)
e F2 = (0,−2,−10).
Esboc¸o de Ω ∩ pi no plano z = −10
2
4
6
8
10
12
−2
−4
2 4 6−2−4 x
b
F1
b
F2