Lista 4 2016 - Sequências: Teorema da Convergência Monótona, Subsequências

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UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Ana´lise Real - Quarta Lista de Exerc´ıcios - Rio, 17/05/2016
Sequeˆncias: Teorema da Convergeˆncia Mono´tona, Subsequeˆncias
1. Verifique que cada sequeˆncia a seguir satisfaz o teorema da convergeˆncia mono´tona e calcule o limite
em cada caso.
(a) x1 = 8; xn+1 =
1
2
xn + 2
(b) x1 > 1; xn+1 = 2− 1xn
(c) x1 = 1; xn+1 =
1
4
(2xn + 3)
(d) x1 = 1; xn+1 =
√
2xn
(e) x1 = 1, xn+1 =
√
2 + xn
2. Estabelec¸a a convergeˆncia e encontre os limites das sequintes sequeˆncias
(a)
((
1 + 1
n
)n+1)
(b)
((
1 + 1
n+1
)n)
(c)
((
1 + 1
n
)2n)
(d)
((
1− 1
n
)n)
3. Obtenha uma aproximac¸a˜o de
√
10 e de
√
21 com precisa˜o de 10−5, usando o me´todo de aproximac¸a˜o
decorrente do Teorema da Convergeˆncia Mono´tona.
4. Use a calculdora para obter valores de en =
(
1 + 1
n
)n
, quando n = 102, 103, 104, 105, 106.
5. Deˆ um exemplo de uma sequeˆncia ilimitada que tem uma subsequeˆncia convergente.
6. Mostre que as sequeˆncias a seguir divergem.
(a)
(
1− (−1)n + 1
n
)
(b)
(
sen npi
4
)
7. Suponha que toda subsequeˆncia de X = (xn) tem uma subsequeˆncia que converge para 0. Mostre
que lim(xn) = 0.
8. Se xn =
(−1)n
n
, encontre uma subsequeˆncia de (xn) constru´ıda na forma em que foi constru´ıda a
sequeˆncia na segunda demonstrac¸a˜o do teoream de Bolzano-Weierstrass, considerando I = [−1, 1].
9. Para cada um dos conjuntos a seguir, defina uma sequeˆncia que tenha como conjunto de valores de
adereˆncia o conjunto
(a) A = {1, 2, 3}
(b) B = N
(c) C = [0, 1]
10. Quais sa˜o os valores de adereˆncia da sequeˆncia (xn) tal que x2n−1 = n e x2n = 1n? Esta sequeˆncia
converge?
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