P2 Calc4 2016 2 gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2016 
Segundo Exercício Escolar de Cálculo 4 - 17/10/2016 
ATENÇÃO: 
• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
• Não esqueça de justificar as respostas. 
• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
• Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
1ª Questão: [1,0 ponto] Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem homogênea 
com coeficientes constantes: 
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Resposta. Eq. auxiliar: 
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2ª Questão: [2,0 pontos] Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-
homogênea com coeficientes constantes: 
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Resposta. Dada a solução da eq. homogênea associada acima, tentamos então uma solução particular da 
forma �#��� � $�" �� � �� �%# � $�" & �%%# � $�" �� � �� �"�$ � $ � $� � '$�" � �" logo $ � � '⁄ e 
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3ª Questão: [3,0 pontos] Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-
homogênea com coeficientes constantes: 
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Resposta. Agora tentamos uma solução particular da forma (note que não pertence ao conjunto solução da 
equação homogênea obtida na 1ª questão). 
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Substituindo na equação: 
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Tomando � � �& obtemos 
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Substituindo na equação, que deve ser válida para qualquer �& obtemos: 
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 '�+�*0 � '*� � 1�	 
Tomando * � √'+,&���obtemos $ � 
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A solução geral, portanto, é: 
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3' ��� *� �
4
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4ª Questão: [4,0 pontos] Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea 
com coeficientes lineares, tomando ���� � �& �%��� � �	 
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Resposta. Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos: 
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