P3 Calc4 2017 1 gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2017 
Terceiro Exercício Escolar de Cálculo 4 - 28/06/2017 
ATENÇÃO: 
• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
• Não esqueça de justificar as respostas. 
• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
• Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
1ª Questão: [2,0 pontos] Considere o seguintes PVI com condições iniciais nulas: 
��� � � � ��� � 	 
Obtenha a soluções utilizando transformadas de Laplace (tabela disponível no verso da prova) e 
convolução. 
 
Resposta. 
���� � �� � 
���� ��
������� � ����� � ����� � �������� � ������� ������� � ���� � ��� � � ��� � 
� ������� � � ����� � �� ��� � ��� ! � � "# �� ��� �$ 
 
 
 
2ª Questão: [2,0 pontos] Considere o seguintes PVI com condições iniciais nulas: 
��� � � � %��� 	 
onde %����é a função (distribuição) delta de Dirac. Obtenha as soluções utilizando transformadas de 
Laplace (tabela disponível no verso da prova). 
 
Resposta. 
���� � �� � 
�&����
������� � ����� � ����� � �������� � "��' � "� ��� � ������ � ��� �$ 
 
 
 
3ª Questão: Seja os problemas de valor inicial e de fronteira (PVIFs) relativo à equação do calor 
( � ())
�������� * + * ,
���� - �$ 
 
a) [3,0 pontos] com extremos mantidos a diferentes temperaturas e condição inicial dada por: 
.
(��
 �� � �
 (�,
 �� � "
���������������������� - �
(�+
 �� � ����+� � +, 
������������������������� * + * ,$ 
i. Determine a parte estacionária da solução; 
ii. Determine a parte transitória da solução; 
iii. Determine a solução do PVIF. 
 
b) [3,0 pontos] com as extremidades isoladas e condição inicial dada por: 
 
/ 
()��
 �� � �
 ()�,
 �� � �
���������������������� - �
(�+
 �� � ��� + 
��������������������������������������� * + * ,$ 
 
i. Resolva o problema de fronteira associado; 
ii. Resolva o problema do valor inicial associado; 
iii. Determine a solução do PVIF. 
 
 
Resposta. 
a) Tomando (�+
 �� � ��+� � 0�+
 ��
 onde 0�+
 �� � 1 �
 bem como todas suas derivadas, quando � 1 2
 
obtemos, substituindo nas equações acima e tomando o limite: 
3 ��� � �
���� * + * ,
���� � �
�����,� � "$ 
� ��+� � 4+ � 5�� � �����+� � +,$ 
 Logo o PVIF se torna: 
60 � 0)) 
�������������������������������������������������� * + * ,
0��
 �� � �
 0�,
 �� � �
������������������������ - �
0�+
 �� � ��� + 
�������������������������������������� * + * ,$ 
Por separação de variáveis, obtemos 2 EDOs independentes: 7���+� � 87�+� � �
 9���� � 89 � �$ 
A 1ª equação só admite soluções não-nulas para 8 � �:' ��� � �� 7; � <; ��� :+$� A 2ª equação se torna, 
então:�9���� � :'9 � ��� � 9;��� � =;�>?;� ��� � (;�+
 �� � @;>?;� ��� :+ 
����(�+
 �� � ∑ (;�+
 ��$B;C� 
Satisfazendo a condição inicial: 0�+
 �� � ∑ @; ��� :+B;C� � ��� + 
�� ��� @; � #, � ��� + ��� :+ ��+D! � E"
���������: � "
�
 : F "$ ��� � ����� (��+
 �� � >? ��� +$ 
 
b) Por separação de variáveis, obtemos novamente 2 EDOs independentes: 
3 7�� � 87 � �
7´��� � �
���7´�G� � �
����� H �$ 
A constante k, como antes, é arbitrária, resultando da independência das variáveis livres x, t. Soluções não 
triviais são obtidas apenas para os valores 8 � �:'
����: � �
 "
 I , que levam as soluções 
correspondentes: 
7;�+� � @; ��� :,+$ 
Passando ao problema do valor inicial associado: 
9���� � �:'�9��� � ����� � ���� 9;��� � =;>?�;� 
���: � �
 "
 I 
Logo: 
(;�+
 �� � <;>?�;� ��� �:+$ 
A solução formal do problema será: 
(�+
 �� � <J# � K <;>?�;� ��� :+
B
;C� $ 
Satisfazendo à condição inicial: 
(�+
 �� � ��� + � <J# � K <; ��� :+
B
;C� 
������ * + * ,$ 
Logo: 
<; � #, � ��� + ���� :+ ��+D! 
���: � �
 "
 I � E"
 : � "
�
�������: F "$ 
Temos então a solução final do PVIF: 
 
(�+
 �� � >?� ��� +$ 
 
 
�