P3 Calc4 2016 2 gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2016 
Terceiro Exercício Escolar de Cálculo 4 - 30/11/2016 
ATENÇÃO: 
• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
• Não esqueça de justificar as respostas. 
• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
• Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
1ª Questão: Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação do calor com extremos 
mantidos a diferentes temperaturas: 
� �� � ��������������������������������������� 	 
 	 ������ 
� � ��� ���� 
� � ������������
 � ����
� �� � ��
��������������������������� 	 
 	 �� 
onde ���� � ��� ���� � ��� 
a) [2,0 pontos] Determine a parte estacionária da solução; 
b) [2,0 pontos] Determine a parte transitória da solução; 
c) [1,0 ponto] Determine a solução do problema para �� � ��� �� � �������
� � ����
� � ���� 
Note. Só considere estas expressões explicitas para a função ��
������� �� no terceiro item. 
 
Resposta. a) Tomando ��
� 
� � ��
� � ��
� 
�� onde ��
� 
� � � �� bem como todas suas derivadas, 
quando 
 � �� obtemos, substituindo nas equações acima e tomando o limite: 
� � � ������ 	 
 	 ������ � ���������� � ��� 
! ��
� � "
 � #�� ! �����
� � �� � �� $ ��� 
� 
 b) Logo o PVIF se torna: 
��� � ������������������������������������������������������ 	 
 	 ������ 
� � �� ���� 
� � �������������������������
 � ����
� �� � ��
� $ ��
��������������������������� 	 
 	 �� 
Por separação de variáveis, obtemos 2 EDOs independentes: % �
� $ &%�
� � �� ' �
� $ &' � �� 
A 1ª equação só admite soluções não-nulas para & � $(� ��� ! �� %) � *) ��� (
�� A 2ª equação se torna, 
então:�' �
� � (�' � ��� ! ')�
� � +)�,-).� ��� ! �)�
� 
� � /),-).� ��� (
 �������
� 
� � ∑ �)�
� 
��1)2� 
Satisfazendo a condição inicial: ��
� �� � ∑ /) ��� (
1)2� � ��
� $ ��
� 
�! �/) � 3� 4 5��
� $ ��
�6 ��� (
 �7
�8 �� 
 c) Se ��
� $ ��
� � ����
� � �� $ � $ �-8� 
 � ��� 
 
! �/) � 3� 4 ��� 
 ��� (
 �7
�8 � � 9�� ( : �������������( � �� �� ! �� ���
� 
� � ,-� ��� 
� 
 
2ª Questão: Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação de onda com força externa: 
;<
=��� � ��� � >�
� 
������ 	 
 	 ������ 
� � ���� 
� � �����������
 � ����
� �� � ��
��������������� 	 
 	 �����
� �� � ?�
�� � 	 
 	 ��
 
onde ���� � ���� � ?��� � ?��� � �� 
a) [2,0 pontos] 
− Tente uma solução do tipo ��
� 
� � @ �)�
� ��� (
1)2� � 
onde �)�
� são funções a determinar. 
− Para 
 fixo, ache a expansão de Fourier em senos para >�
� 
�� 
− Substituindo na equação forçada de onda, obtenha, igualando as séries termo a termo, uma 
equação diferencial de 2ª ordem não-homogênea para �)�
�� 
 
b) [2,0 pontos] Resolva esta equação por variação de parâmetros, utilizando convolução para 
determinar a solução particular. 
 
c) [1,0] ponto] Determine a solução tomando ��
� � ��� 
 � ?�
� � �� >�
� 
� � AB� 
 ��� 
� 
 
Note. Só considere estas expressões explicitas para as funções �� ?� > no terceiro item. 
 
 
 
 
Resposta. a) 
��
� 
� � @ �)�
� ��� (
1)2� ���� ! �� ;<
=����
� 
� � @ �) �
� ��� (
1)2� �������������
� 
� � $ @ �)�
�(� ��� (
1)2� �
 
! ����
� 
� $ ����
� 
� � @ 5�) �
� � (��)�
�6 ��� (
1)2� � � @ >)�
� ��� (
1)2� �� 
onde �>)�
� � �� C >�
� 
� ��� (
 �7
�8 � Igualando termo a termo, obtemos: �) �
� � (��)�
� � >)�
�� 
 b) solução da homogênea: D� � (� � ��� ! ��D � EF√(� ! �)-HIJ�
� � *) AB� (
 � +) ��� (
� 
Para obter uma solução particular, tomamos a transformada de Laplace da EDO, lembrando que as 
condições iniciais implicam que �) ��� � �)��� � �K 
L�M)�L� � (�M)�L� � N)�L� �������� ! �������� M)�L� � N)�L�L� � (� ������ ! ����� �)-OPQ��
� � >) R �( S-� 9 (L� � (�T� >) R ��� (
( � 4 >)�L� �( ����
 $ L� 7L�8 � 
 Então 
�)�
� � *) AB� (
 � +) ��� (
 � C >)�L� �) ����
 $ L� 7L�8 � 
e portanto 
��
� 
� � ∑ U*) AB� (
 � +) ��� (
 � C >)�L� �) ����
 $ L� 7L�8 V ��� (
1)2� � 
Satisfazendo as condições iniciais, 
��
� �� � @ *)���� (
1)2� � ��
���������
� �� � @ (�+) ��� (
1)2� � ?�
�� 
!
;W<
W= �*) � 3� 4 ��
� ��� (
 �7
�8 �(�+) � 3� 4 ?�
� ��� (
 �7
��8
 
c) �*) � �� C ��� 
 ��� (
 �7
�8 � 9�����( : �������( � �� (�+) � �� 
�>)�
� � AB� 
 3� 4 ��� 
 ��� (
 �7
�8 � 9 �����( : ��AB� 
 ����( � �� �� ! � 4 AB��L������
 $ L� 7L
�
8 � 
3 ��� 
� 
 ��
� 
� � UAB� 
 � �� ��� 
V ��� 
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