Prova com Gab - 3ºEE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA 2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2012
17 de Outubro de 2012
TURMAS Q3 – Q5 – Q7.
1a Questa˜o: Considere a func¸a˜o f : R→ R, perio´dica de per´ıodo 2, que no intervalo (−1, 1] e´ definida
por f(x) = 1− |x|.
(a) Calcule SF[f ](x), a se´rie de Fourier de f , determinando em que valores de x a soma
desta se´rie coincide com f(x). (2,0 pts)
Resoluc¸a˜o:
y = 1− |x|
−1−1 0 1
y = f(x)
−2 −1 0 1 2
Como f tem per´ıodo 2L=2, a se´rie de Fourier de f e´ da forma
SF [f ](x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos (npix) + bn sen (npix)] ,
onde an =
∫ 1
−1 f(x) cos (npix) dx, para n ∈ N ∪ {0}, e bn =
∫ 1
−1 f(x) sen (npix) dx,
para n ∈ N. Sendo f uma func¸a˜o par, podemos concluir que cada bn e´ nulo
e an = 2
∫ 1
0 (1 − x) cos(npix) dx. Assim, apo´s os ca´lculos destas integrais, obte-
mos a0 = 1 e an =
{
0 , n = 2k
4
n2pi2
, n = 2k + 1
, para n ≥ 1. Logo SF [f ](x) = 1
2
+
4
pi2
∞∑
k=0
cos((2k + 1)pix)
(2k + 1)2
. Ale´m disso, como f e´ cont´ınua, segue do teorema de Fourier
que SF [f ](x) = f(x) para todo x ∈ R.
(b) Use o Teorema de Fourier para calcular
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
(−1)n+1an. (1,0 pts)
Como SF [f ](x) = f(x) para todo x ∈ R, em particular temos que
(i) para x = 0, f(0) = SF [f ](0) = a02 +
∑∞
n=1 an. Substituindo a0 = f(0) = 1
temos que
∞∑
n=1
an =
1
2
.
(ii) para x = 1, f(1) = SF [f ](1) = a02 +
∑∞
n=1 an cos(npi). Substituindo a0 =
1, f(1) = 0 e cos(npi) = (−1)n temos que
∞∑
n=1
(−1)nan = −1
2
⇒
∞∑
n=1
(−1)n+1an = 1
2
.
(c) Use a Identidade de Parseval para calcular
∞∑
n=1
a2n. (1,0 pts)
Pela Identidade de Parseval temos que
∫ 1
−1 f(x)
2 dx = 12 +
∑∞
n=1 a
2
n. Calculando esta
integral obtemos
∑∞
n=1 a
2
n =
2
3 − 12 = 16 .
Observac¸a˜o: Nos itens (b) e (c) na˜o e´ necessa´rio calcular os an.
2a Questa˜o: Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor: (3,0 pt)
4uxx = ut, 0 < x < 2pi, t > 0
ux(0, t) = 0, ux(2pi, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) =
{
1, 0 < x < pi,
0, pi ≤ x < 2pi
Resoluc¸a˜o:
Sabemos que a soluc¸a˜o deste problema e´ da forma u(x, t) = a02 +
∑∞
n=1 ane
−n2t cos
(
nx
2
)
,
onde an =
1
pi
∫ 2pi
0 u(x, 0) cos
(
nx
2
)
dx. Assim,
a0 =
1
pi
∫ pi
0
dx = 1 e an =
1
pi
∫ pi
0
cos
(nx
2
)
dx =
2
npi
sen
(npi
2
)
.
Observando que sen
(
npi
2
)
= 0 quando n e´ par e alterna entre 1 e -1 quando n e´ ı´mpar,
segue que a soluc¸a˜o e´
u(x, t) =
1
2
+
2
pi
∞∑
k=0
(−1)k
2k + 1
e−(2k+1)
2t cos
(
(2k + 1)x
2
)
.
3a Questa˜o: Resolva o problema da corda vibrante: (3,0 pt)
uxx = utt, 0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 2 sen(3pix)− sen(5pix), 0 < x < 1,
ut(x, 0) = 0.
Resoluc¸a˜o:
A soluc¸a˜o deste problema e´ da forma u(x, t) =
∞∑
n=1
cn cos(npit) sen(npix). Usando a condic¸a˜o
u(x, 0) = 2 sen(3pix)− sen(5pix), temos que
∞∑
n=1
cn sen(npix) = 2 sen(3pix)− sen(5pix), ou
seja, cn =

2, se n = 3
−1, se n = 5
0, se n 6= 3, 5
. Assim, a soluc¸a˜o e´
u(x, t) = 2 cos(3pit) sen(3pix)− cos(5pit) sen(5pix).