Transformadas: Tempo Contínuo e Discreto - Aula 2

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TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
 
Caros alunos! 
Na aula passada foi possível definir a Série de Fourier de uma função 𝒇(𝒙) 
que atendia as condições de Dirichlet. Vimos que algumas funções possuem 
Séries de Fourier mais simples, como as funções pares e ímpares, os quais 
apresentam Séries de Fourier com termos apenas de senos ou cossenos, 
respectivamente. 
O objetivo desta aula 2 é compreender o método de integração e 
derivação para uma função escrita na forma de uma Série de Fourier, além de 
compreender a forma complexa da Série de Fourier e a Identidade de Parseval. 
Também serão discutidas aplicações das Séries de Fourier na resolução 
de algumas Equações Diferenciais específicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
TEMA 1: INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER 
Encontrar uma Série de Fourier de uma função 𝒇(𝒙) nos permite 
encontrar, também, outras Séries para funções integráveis ou diferenciáveis de 
𝒇(𝒙). Seja a Série de Fourier da função 𝒇(𝒙) dada pela equação 1. 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 (1) 
Ao integramos ambos os lados da equação 1, obtemos: 
∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ [
𝑎0
2
+∑[𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)+ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Como a integral possui a propriedade distributiva, podemos escrever a 
integral termo a termo, obtendo: 
∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫
𝑎0
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+∑ [∫ 𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 + ∫ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
]
∞
𝑛=1
 
Isso significa que, para obter a Série de Fourier de uma integral de uma 
função dada, podemos encontrar a integral de cada termo isoladamente. 
Veja também, que ao derivarmos a equação 1, sob as condições que a 
derivada existe, obtemos: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑎0
2
+∑[𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)+ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
] 
Como a derivada também possui a propriedade distributiva, podemos 
escrever a derivada termo a termo, obtendo: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑎0
2
) +∑ [
𝑑
𝑑𝑥
(𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
))]
∞
𝑛=1
 
Vejamos como esse resultado nos auxilia ao encontrar uma Série de 
Fourier para o problema descrito pela equação 2. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2, 0 < 𝑥 < 2 (2) 
 
 
4 
 Inicialmente, encontraremos uma Série de Fourier para a equação 
𝒈(𝒙) = 𝒙, − 𝟐 < 𝒙 < 𝟐.Como 𝒈(𝒙) é uma função ímpar, sua Série de Fourier é 
dada por: 
{
 
 
 
 𝑔(𝑥) = ∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑔(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
 
Portanto, 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑔(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
2
0
= −
4
𝑛𝜋
. (−1)𝑛 
Como visto na aula passada. Neste caso, sua Série de Fourier é dada por: 
𝑔(𝑥) =
4
𝜋
∑
(−1)𝑛
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
A partir de 𝒈(𝒙), iremos calcular 𝒇(𝒙). Para isso, devemos determinar uma 
relação entre 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙). Veja que 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 2. 𝑔(𝑥) 
Como conhecemos a Série de Fourier de 𝒈(𝒙), podemos escrever que 
𝑓(𝑥) = 2∫ 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥
2
0
 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 2.∫
4
𝜋
∑
(−1)𝑛
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
∞
𝑛=1
𝑥
0
 
𝑓(𝑥) =
8
𝜋
∑
(−1)𝑛
𝑛
.∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥 
𝑥
0
∞
𝑛=1
 
Podemos resolver a integral para cada 𝒏, obtendo: 
𝑓(𝑥) =
8
𝜋
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
.
2
𝑛𝜋
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
𝑥
∞
𝑛=1
 
𝑓(𝑥) =
16
𝜋2
∑
(−1)𝑛+1
𝑛2
∞
𝑛=1
. [cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)− cos(0)] 
𝑓(𝑥) =
16
𝜋2
∑
(−1)𝑛+1
𝑛2
. [cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)− 1]
∞
𝑛=1
 
 
 
5 
As Séries de Fourier, além de serem integradas, podem ser derivadas. 
Vejamos como isso pode ser feito para obtermos a Série de Fourier do problema 
descrito pela equação 3. 
𝑓(𝑥) = {
−1, −2 ≤ 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 < 2
 
(3) 
Para isso, determinaremos a Série de Fourier da função Onda Triangular, 
definida como 
𝑔(𝑥) = {
−𝑥, −2 ≤ 𝑥 < 0
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 2
 
A importância desse exemplo é em verificar a veracidade da derivada da 
Série. O leitor perceberá que é mais fácil determinar a Série de Fourier de 𝒇(𝒙) 
diretamente, do que por intermédio da função 𝒈(𝒙). O caso da função 𝒈(𝒙) é de 
uma função par e portanto, sua Série de Fourier é: 
{
 
 
 
 
 
 𝑔(𝑥) =
𝑎0
2
+∑𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑎0 =
2
𝐿
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑔(𝑥). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
 
Vamos calcular o coeficiente 𝒂𝟎: 
𝑎0 =
2
𝐿
∫ 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑥. 𝑑𝑥
2
0
= 2 
Vamos calcular os coeficientes 𝒂𝒏: 
𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑥. cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑥. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥
2
0
= −
4
𝑛2𝜋2
[(−1)𝑛 − 1] 
Como foi visto na aula anterior. Sua Série de Fourier é dada por: 
𝑔(𝑥) = 1 −
4
𝜋2
∑
[(−1)𝑛 − 1]
𝑛2
. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
Para encontrarmos a Série de Fourier de 𝒇(𝒙) a partir de 𝒈(𝒙) precisamos 
encontrar a relação entre 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙). Veja que 
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
Portanto, 
𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[1 −
4
𝜋2
∑
[(−1)𝑛 − 1]
𝑛2
. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
] 
 
 
6 
𝑓(𝑥) =
4
𝜋2
∑
[(−1)𝑛 − 1]
𝑛2
.
𝑑
𝑑𝑥
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
𝑓(𝑥) =
4
𝜋2
∑
[(−1)𝑛 − 1]
𝑛2
.
𝑛𝜋
2
.−𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
𝑓(𝑥) =
2
𝜋
∑
[1 − (−1)𝑛]
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
Veja que a Série de Fourier obtida é uma Série de senos, o que indica que 
a função 𝒇(𝒙) é uma função ímpar, o que é o caso. Vamos determinar, 
diretamente, a Série de Fourier da equação 2 para confrontar os resultados. 
Como a função é ímpar, temos: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) = ∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Vamos calcular os coeficientes 𝒃𝒏: 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
2
0
=
−2
𝑛𝜋
. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
2
 
𝑏𝑛 = −
2
𝑛𝜋
. [cos(𝑛𝜋)− cos(0)] = −
2
𝑛𝜋
. [(−1)𝑛 − 1] =
2
𝑛𝜋
[1 − (−1)𝑛] 
Portanto, a sua Série de Fourier é dada por: 
𝑓(𝑥) =
2
𝜋
∑
[1 − (−1)𝑛]
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
que é o mesmo resultado obtido pela derivação da expressão dada. 
 
 
TEMA 2: FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER 
Pode-se escrever a Série de Fourier de uma forma ainda mais simplificada 
se for utilizada a Identidade de Euler. 
𝑒𝑖𝜃 = cos(𝜃) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 
 
7 
A demonstração desse resultado pode ser verificada em (RUDIMAR, 
2007). Nesse caso, obtemos a Série de Fourier na forma complexa dada por: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) = ∑𝑐𝑛𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑛=1
𝑐𝑛 =
1
2𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑒−
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
 Essa expressão é equivalente a Série de Fourier dada pela equação 1, 
com a vantagem de que seus coeficientes podem ser escritos em termos de 
apenas uma integral. Vejamos como essa forma da Série de Fourier pode ser 
utilizada para encontrar a Série dada pela equação 4. 
𝑓(𝑥) = 𝑥, −2 < 𝑥 < 2 (4) 
Nesse caso, iremos determinar os coeficientes 𝐜𝐧: 
𝑐𝑛 =
1
2𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑒(−
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥 =
1
2.2
∫ 𝑥. 𝑒(−
𝑖𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
2
−2
𝐿
−𝐿
 
𝑐𝑛 =
1
4
∫ 𝑥. [cos (
𝑛𝜋𝑥
2
) − 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)] 𝑑𝑥
2
−2
 
Como 𝐱. 𝐜𝐨𝐬 (
𝐧𝛑𝐱
𝟐
) é uma função ímpar, sua integral zera. Como 
𝐱. 𝐬𝐞𝐧 (
𝐧𝛑𝐱
𝟐
) é par, podemos simplificar a integral, como visto na aula anterior. 
Neste caso, 
𝑐𝑛 =
2
4
∫ (−𝑖). 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥
2
0
= −
𝑖
2
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥
2
0
 
Essa integral que restou pode ser integrada utilizando-se o método de 
integração por partes. Nesse caso, usa-se uma mudança de variáveis 
evidenciando que 𝐮 = 𝐱, 𝐝𝐯 = 𝐬𝐞𝐧 (
𝐧𝛑𝐱
𝟐
)𝐝𝐱 e por conseqüência 𝐝𝐮 = 𝐝𝐱, 𝐯 =
−
𝟐
𝐧𝛑
𝐜𝐨𝐬 (
𝐧𝛑𝐱
𝟐
). Assim 
𝑐𝑛 = −
𝑖
2
[−
2
𝑛𝜋
𝑥. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
2
+∫
2
𝑛𝜋
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
2
0
] 
𝑐𝑛 =
𝑖
𝑛𝜋
[2. cos(𝑛𝜋)] +4
𝑛2𝜋2
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
2
 
𝑐𝑛 =
2𝑖
𝑛𝜋
(−1)𝑛 
 
 
8 
Dessa forma, podemos escrever a Série de Fourier da função dada em 
sua forma complexa: 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑛=1
=
2𝑖
𝜋
∑
(−1)𝑛
𝑛
. 𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
2
∞
𝑛=1
 
Repare que essa forma é equivalente ao exercício resolvido na aula 
anterior, desde que usemos a Identidade de Euler para reverter a transformação. 
Para fixar esse aprendizado, vamos encontrar a Série de Fourier na forma 
complexa da função dada pela equação 5. 
𝑓(𝑥) = {
10, 𝑠𝑒 − 5 < 𝑥 < 0
−10, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 5
 
(5) 
Vamos determinar seus coeficientes 𝐜𝐧: 
𝑐𝑛 =
1
2𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑒−
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
2.5
[∫ 10. 𝑒−
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 𝑑𝑥
0
−5
−∫ 10. 𝑒−
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 𝑑𝑥
5
0
] 
Veja que as duas integrais que devem ser solucionadas são idênticas, 
com exceção de seus limites de integração. Vamos resolver separadamente: 
∫10. 𝑒−
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 𝑑𝑥 = 10.∫𝑒−
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 𝑑𝑥 = −
10.5
𝑖𝑛𝜋
𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 =
50𝑖
𝑛𝜋
𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 
Veja que nessa passagem simplificamos a integral multiplicando ambos o 
numerador e o denominador da fração por 𝐢. Utilizando essa integral para o 
cálculo de 𝐜𝐧 obtemos: 
𝑐𝑛 =
1
10
[(
50𝑖
𝑛𝜋
𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 )|
−5
0
− (
50𝑖
𝑛𝜋
𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
5 )|
0
5
] 
𝑐𝑛 =
1
10
. [(
50𝑖
𝑛𝜋
−
50𝑖
𝑛𝜋
𝑒−𝑖𝑛𝜋) − (
50𝑖
𝑛𝜋
𝑒𝑖𝑛𝜋 −
50𝑖
𝑛𝜋
)] 
𝑐𝑛 =
1
10
. [
100𝑖
𝑛𝜋
−
50𝑖
𝑛𝜋
(𝑒−𝑖𝑛𝜋 + 𝑒𝑖𝑛𝜋)] 
Como 
𝑒−𝑖𝑛𝜋 + 𝑒𝑖𝑛𝜋 = 2. cosh(𝑖𝑛𝜋) 
Então 
𝑐𝑛 =
1
10
. [
100𝑖
𝑛𝜋
−
100𝑖
𝑛𝜋
. cosh(𝑖𝑛𝜋)] 
𝑐𝑛 =
50𝑖
𝑛𝜋
[1 − (−1)𝑛] 
Assim, sua Série de Fourier na forma complexa é dada por: 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑛=1
=
50𝑖
𝜋
∑
[1 − (−1)𝑛]
𝑛
. 𝑒
𝑖𝑛𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑛=1
 
 
 
 
9 
 
TEMA 3: APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER – EQUAÇÃO DO CALOR 
As próximas três temáticas que serão discutidas nessa aula dizem 
respeito ao uso da Série de Fourier para a resolução de Equações Diferenciais 
Parciais (EDPs) específicas. Como o enfoque nessa disciplina não é a resolução 
em si das EDPs, mas sim a utilização da Série de Fourier na aplicação das 
condições de contorno, os métodos de resolução das EDPs e as suas 
simplificações serão escolhidas sem o intuito de generalizar para diversas EDPs. 
A primeira equação a qual discutiremos a resolução é a Equação do Calor, 
o qual explica como se ocorre a propagação de calor em uma barra 
unidimensional ao longo do tempo. Na Equação do Calor, 𝐮(𝐱, 𝐭) descreve a 
temperatura da barra ao longo de sua posição 𝐱 e do tempo 𝐭. Podemos 
descrever, matematicamente, o problema pela equação 6. 
{
 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑘.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(2, 𝑡) = 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥
 
(6) 
As condições 𝐮(𝟎, 𝐭) = 𝐮(𝟐, 𝐭) = 𝟎 são consideradas condições de 
contorno e a condição 𝐮(𝐱, 𝟎) é uma condição inicial. A primeira simplificação 
que consideraremos na resolução dessa EDP é de que sua solução é da forma 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) 
que nos diz que as variáveis posição e tempo são independentes uma da 
outra. Se essa suposição não for verdadeira, devemos considerar a forma com 
que essas variáveis estão relacionadas para adicionarmos ao nosso modelo. 
Entretanto, como argumentado no início dessa temática, nosso objetivo não é 
ampliarmos as possibilidades de resolução dessa EDP. Sendo 𝐱 e 𝐭 variáveis 
independentes, podemos escrever: 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑘.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 
𝜕𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑘.
𝜕2𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡)
𝜕𝑥2
 
𝑋.
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝑘. 𝑇.
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
 
 
 
10 
1
𝑘𝑇
.
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
1
𝑋
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
= −𝜆2 
Dessa forma, podemos reescrever essa equação como o seguinte 
sistema de equações: 
{
1
𝑘𝑇
.
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= −𝜆2
1
𝑋
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
= −𝜆2
 
Equivalente a: 
{
𝜕𝑇
𝜕𝑡
+ 𝑘𝜆2𝑇 = 0
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
+ 𝜆2𝑋 = 0
 
Usando a equação característica, encontramos, independentemente, a 
solução para 𝐓(𝐭) e para 𝐗(𝐱). 
{
𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒−𝑘𝜆
2𝑡
𝑋(𝑥) = 𝐴1 cos(𝜆𝑥) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)
 
E podemos escrever a solução geral da Equação do Calor, supondo 𝐭 e 𝐱 
variáveis independentes, como mostrado na equação 7. 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑘𝜆
2𝑡. [𝐴2 cos(𝜆𝑥) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)] 
 
(7) 
Vamos substituir as condições de contorno para determinar os 
coeficientes 𝛌, 𝐀𝟐𝐞 𝐁𝟐 que geram a solução particular do problema dado. Veja 
que foi dado que 𝐮(𝟎, 𝐭) = 𝟎. Substituindo essa informação na equação 7, 
obtemos: 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑒−𝑘𝜆
2𝑡. [𝐴2 cos 0 + 𝐵2𝑠𝑒𝑛 0] = 𝑒
𝑘𝜆2𝑡. 𝐴2 = 0 
Nesse caso, 𝐀𝟐 = 𝟎 e podemos simplificar a equação 7, escrevendo-a na 
forma da equação 8: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑘𝜆
2𝑡. 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 
 
(8) 
Temos como condição de contorno, também, 𝐮(𝟐, 𝐭) = 𝟎. Substituindo 
essa informação na equação 8, obtemos: 
𝑢(2, 𝑡) = 𝑒−𝑘𝜆
2𝑡. 𝐵2. 𝑠𝑒𝑛(2𝜆) = 0 
 
 
11 
Nesse produto de funções que resulta em zero, temos três possibilidades. 
Ou 𝐞−𝐤𝛌
𝟐𝐭 = 𝟎, o que não é o caso, pois a função exponencial nunca retorna zero. 
Ou 𝐁𝟐 = 𝟎 o que gera a solução trivial 𝐮(𝐱, 𝐭) = 𝟎. Ou 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝛌) = 𝟎 que nos indica 
que 𝟐𝛌 = 𝐧𝛑. Assim, podemos reescrever a equação 8, escrevendo-a na forma 
da equação 9: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑘𝜆
2𝑡. 𝐵2𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) 
 
(9) 
Veja que essa condição de contorno nos fornece infinitas soluções para 
𝐮(𝐱, 𝐭) diferenciadas pelos diferentes valores de 𝐧. Pelo princípio da 
sobreposição, podemos escrever que a solução particular dessa equação é dada 
por: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐵𝑛𝑒
−𝑘𝜆2𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
Como 𝐮(𝐱, 𝟎) = 𝐱, podemos escrever 
𝑢(𝑥, 0) = ∑𝐵𝑛𝑒
0𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
= ∑𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
= 𝑥 
Repare que a forma com que essa equação foi apresentada é a Série de 
Fourier da função 𝐟(𝐱) = 𝐱. Nesse caso, podemos determinar os coeficientes 𝐁𝐧 
como sendo: 
𝐵𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
𝐿
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
Como visto na aula anterior, podemos escrever que 
𝐵𝑛 =
4
𝑛𝜋
(−1)𝑛+1 
Nesse caso, a solução particular da Equação do Calor é dada por: 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
4
𝜋
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
𝑒−𝑘𝜆
2𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
 
 
12 
 
TEMA 4: APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER – EQUAÇÃO DA ONDA 
Outra EDP que merece ser analisada é a Equação da Onda. Nesse caso, 
a amplitude de onda pode ser modelada de acordo com a equação diferencial 
descrita matematicamente na equação 10. As condições de contorno são dadas 
junto ao problema. 
{
 
 
 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑘.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝑑𝑡
(𝑥, 0) = 0
 
(10) 
Utilizaremos a mesma simplificação utilizada na resolução da Equação do 
Calor, ou seja, 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) 
que nos diz que as variáveis posição e tempo são independentes uma da 
outra. Sendo 𝐱 e 𝐭 variáveis independentes, podemos escrever: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑘.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 
𝜕2𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡)
𝜕𝑡2
= 𝑘.
𝜕2𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡)
𝜕𝑥2
 
𝑋.
𝜕2𝑇
𝜕𝑡2
= 𝑘. 𝑇.
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
 
1
𝑘𝑇
.
𝜕2𝑇
𝜕𝑡2
=
1
𝑋
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
= −𝜆2 
Dessa forma, podemos reescrever essa equação como o seguinte 
sistema de equações: 
{
 
 
1
𝑘𝑇
.
𝜕2𝑇
𝜕𝑡2
= −𝜆2
1
𝑋
𝜕2𝑋
𝜕𝑥2
= −𝜆2
 
 
 
13 
Equivalente a: 
{
 
 
𝜕2𝑇
𝜕𝑡2
+ 𝑘𝜆2𝑇 = 0
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
+ 𝜆2𝑋 = 0
 
Usando a equação característica, encontramos, independentemente, a 
solução para 𝐓(𝐭) e para 𝐗(𝐱). 
{
𝑇(𝑡) = 𝐴1 cos(𝜆√𝑘𝑡) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆√𝑘𝑡)
𝑋(𝑥) = 𝐴2 cos(𝜆𝑥) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)
 
E podemos escrever a solução geral da Equação da Onda, supondo 𝐭 e 𝐱 
variáveis independentes, como é mostrado na equação 11. 
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝐴1 cos(𝜆√𝑘𝑡) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆√𝑘𝑡)]. [𝐴2 cos(𝜆𝑥) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)] (11) 
Vamos substituir as condições de contorno para determinar os 
coeficientes 𝛌, 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐀𝟐𝐞 𝐁𝟐 que geram a solução particular do problema dado. 
Veja que foi dado que 𝐮(𝟎, 𝐭) = 𝟎. Nesse caso, substituindoessa informação na 
equação 11. 
𝑢(0, 𝑡) = [𝐴1 cos(𝜆𝑡) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑡)]. [𝐴2 cos(0) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(0)] = 0 
𝑢(0, 𝑡) = [𝐴1 cos(𝜆𝑡) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑡)]. 𝐴2 = 0 
Assim, obtemos que 𝐀𝟐 = 𝟎 e nossa solução particular considerando a 
primeira condição de contorno é dada por: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝐴1 cos(𝜆𝑡) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑡)]. 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 
Também sabemos que 𝐮(𝐋, 𝐭) = 𝟎. Portanto, 
𝑢(𝐿, 𝑡) = [𝐴1 cos(𝜆𝑡) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑡)]. 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝐿) = 0 
Nesse caso, podemos afirmar que 𝐬𝐞𝐧(𝛌𝐋) = 𝟎 e portanto 𝛌𝐋 = 𝐧𝛑. 
Assim, podemos escrever a solução particular considerando as duas primeiras 
condições de contorno: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝐴1 cos (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
)]𝐵2𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝐴3 cos (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
) + 𝐵3𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
)] . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 
 
 
14 
A terceira condição particular diz respeito a derivada parcial da função 
𝐮(𝐱, 𝐭): 
𝛛𝐮
𝐝𝐭
(𝐱, 𝟎) = 𝟎. 
Derivando 𝐮(𝐱, 𝐭) em relação a 𝐭, obtemos: 
𝜕𝑢
𝑑𝑡
= 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) . [
𝐵3𝑛𝜋
𝐿
. cos (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
) −
𝐴3𝑛𝜋
𝐿
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
)] 
Aplicando em (𝐱, 𝟎), obtemos: 
𝜕𝑢
𝑑𝑡
(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) . [
𝐵3𝑛𝜋
𝐿
. cos(0) −
𝐴3𝑛𝜋
𝐿
. 𝑠𝑒𝑛(0)] = 0 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) .
𝐵3𝑛𝜋
𝐿
= 0 
E portanto, 𝐁𝟑 = 𝟎. Assim, a solução particular considerando as três 
primeiras condições de contorno é dada por: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 
Utilizando o princípio da superposição das soluções, podemos escrever 
que 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
A última condição de contorno afirma que 𝐮(𝐱, 𝟎) = 𝐟(𝐱). Assim temos: 
𝑢(𝑥, 0) = ∑𝐴𝑛 cos(0) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
= ∑𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
= 𝑓(𝑥) 
Veja que a expressão encontrada se refere a Série de Fourier da função 
𝐟(𝐱) que, quando é dada pode ser determinada por: 
𝐴𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
 
Nesse caso, podemos escrever a solução particular da Equação de Onda 
considerando todas as condições de contorno como sendo: 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
2
𝐿
∑ [∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
] . cos (
𝑛𝜋𝑡
𝐿
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
 
 
 
 
15 
 
TEMA 5: APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER – EQUAÇÃO DE LAPLACE 
Para concluirmos a temática de aplicações de Série de Fourier, veremos 
como resolver a Equação de Laplace. Sua problemática pode ser descrita, 
matematicamente, pelo seguinte problema enunciado pelo sistema de equações 
12: 
{
 
 
 
 𝜕
2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0
𝑢(0, 𝑦) = 𝑢(1, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 0) = 0
𝑢(𝑥, 1) = 𝑢1 = 𝑓(𝑦)
 
(12) 
Utilizaremos a mesma simplificação utilizada na resolução da Equação do 
Calor e na equação da Onda, ou seja, 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥). 𝑌(𝑦) 
que nos diz que as variáveis 𝐱 e 𝐲 são independentes uma da outra. Sendo 
assim, podemos escrever: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 
𝜕2𝑋(𝑥). 𝑌(𝑦)
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑋(𝑥). 𝑌(𝑦)
𝜕𝑦2
= 0 
−𝑋.
𝜕2𝑌
𝜕𝑦2
= 𝑌.
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
 
−
1
𝑌
.
𝜕2𝑌
𝜕𝑦2
=
1
𝑋
𝜕2𝑋
𝜕𝑥
= −𝜆2 
Dessa forma, podemos reescrever essa equação como o seguinte 
sistema de equações: 
{
 
 
 
 𝜕
2𝑋
𝜕𝑥2
= −𝜆2𝑋
−
1
𝑌
𝜕2𝑌
𝜕𝑦2
= −𝜆2
 
 
 
16 
Equivalente a: 
{
 
 
 
 𝜕
2𝑋
𝜕𝑥
+ 𝜆2𝑋 = 0
𝜕2𝑌
𝜕𝑦2
− 𝜆2𝑌 = 0
 
Usando a equação característica, encontramos, independentemente, a 
solução para 𝐘(𝐲) e para 𝐗(𝐱). 
{
𝑌(𝑦) = 𝐴1 cosh(𝜆𝑦) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦)
𝑋(𝑥) = 𝐴2 cos(𝜆𝑥) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)
 
E podemos escrever a solução geral da Equação de Laplace, supondo 𝐲 
e 𝐱 variáveis independentes, como é mostrado na equação 13. 
𝑢(𝑥, 𝑡) = [𝐴1 cosh(𝜆𝑦) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦)]. [𝐴2 cos(𝜆𝑥) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)] (13) 
Vamos substituir as condições de contorno para determinar os 
coeficientes 𝛌, 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐀𝟐𝐞 𝐁𝟐 que geram a solução particular do problema dado. 
Veja que foi dado que 𝐮(𝟎, 𝐲) = 𝟎. Nesse caso, substituindo essa informação na 
equação 13. 
𝑢(0, 𝑦) = [𝐴1 cosh(𝜆𝑦) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦)]. [𝐴2 cos(0) + 𝐵2𝑠𝑒𝑛(0)] = 0 
𝑢(0, 𝑦) = [𝐴1 cos ℎ(𝜆𝑦) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦)]. 𝐴2 = 0 
Assim, obtemos que 𝐀𝟐 = 𝟎 e nossa solução particular considerando a 
primeira condição de contorno é dada por: 
𝑢(𝑥, 𝑦) = [𝐴1 cosh(𝜆𝑦) + 𝐵1𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦)]. 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 
𝑢(𝑥, 𝑦) = [𝐴3 cosh(𝜆𝑦) + 𝐵3𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦)]. 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 
Também sabemos que 𝐮(𝐱, 𝟎) = 𝟎. Portanto, 
𝑢(𝑥, 0) = [𝐴3 cosh(0) + 𝐵3𝑠𝑒𝑛ℎ(0)]. 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) = 0 
E portanto, 𝐀𝟑 = 𝟎. Assim, podemos escrever a solução particular 
considerando as duas primeiras condições de contorno: 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐵3𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦). 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) 
Temos também que 𝐮(𝟏, 𝐲) = 𝟎. Nesse caso, 
𝑢(1, 𝑦) = 𝐵3𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑦). 𝑠𝑒𝑛(𝜆) = 0 
E portanto 𝛌 = 𝐧𝛑. Nesse caso, a solução particular considerando as três 
primeiras condições de contorno são dadas por: 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐵3𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋𝑦). 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥) 
 
 
17 
Nesse caso, cada valor de 𝐧 gera uma possível solução. Pelo princípio da 
superposição, a solução particular é a combinação linear de todas essas infinitas 
soluções, ou seja: 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋𝑦). 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=1
 
Veja ainda, que a última condição de contorno afirma que: 
𝑢(𝑥, 1) = ∑𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋). 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=1
= 𝑢1 
Veja que essa é a Série de Fourier da função fornecida 𝐮𝟏. Nesse caso, 
podemos calcular os coeficientes de uma Série de Fourier de senos: 
𝐵𝑛. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋) =
2
𝐿
∫ 𝑢1. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
 
Veja que, portanto, 
𝐵𝑛 =
2
𝐿
. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋).∫ 𝑢1𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
 
Assim, podemos escrever a Solução particular da Equação de Laplace 
considerando todas as condições de contorno: 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑
2
𝐿
[∫ 𝑢1𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
𝐿
0
] 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋). 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑛𝜋𝑦). 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=1
 
 
FINALIZANDO 
 
Caros alunos! 
Com essas duas aulas foi possível definir a Série de Fourier de uma 
função f(x) e entender algumas das aplicações que a Série possui. Com a Série 
de Fourier podemos definir a transformada de Fourier e suas propriedades. 
 
 
 
 
 
 
18 
 
REFERÊNCIAS 
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DINIZ, Paulo R., DA SILVA, Eduardo B., NETTO, Sergio L. Processamento 
Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas, 2ª edição. Bookman, 
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ÇENGEL, Yunus A., PALM III, William J. Equações Diferenciais. AMGH, 
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ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael .Matemática Avançada para Engenharia - 
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J., ROBERTS. M. Fundamentos de Sinais e Sistemas.ArtMed, 09/2010. 
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