Problemas de Transmissão de Energia

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Escola Polite´cnica
Departamento de Engenharia Ele´trica
Transmissa˜o de Energia
Professor: Robson Dias
Lista 2
1. As fases de uma linha de transmissa˜o idealmente
transposta esta˜o dispostas no ve´rtice de um triaˆn-
gulo equila´tero de lado igual a 3m. Os feixes de
cada fase sa˜o compostos por seis condutores maci-
c¸os dispostos nos ve´rtices de um hexa´gono regular
de lado igual a 20cm. Considerando que o raio
externo de cada subcondutor e´ igual a 2cm e que
a resisteˆncia de ca para as condic¸o˜es de operac¸a˜o
seja igual a 6× 10−5Ω/m. Desconsiderando a pre-
senc¸a do solo, calcule:
(a) Impedaˆncia longitudinal por fase por unidade
de comprimento da linha.
(b) Capacitaˆncia para o neutro por unidade de
comprimento desta linha.
2. O gra´fico abaixo mostra o mo´dulo da impedaˆn-
cia interna, de um condutor de raio externo de
1,5 cm em alumı´nio, variando com a frequeˆncia
para 4 temperaturas diferentes: 20◦C, 40◦C, 60◦C
e 80◦C.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.4
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
Frequência HHzL
ÈZÈH´
10
-
4
W
mL
As fases de uma linha de transmissa˜o trifa´sica ide-
almente transposta sa˜o compostas por esse con-
dutor e sa˜o dispostas conforme indicado na figura
abaixo (altura me´dia).
Solo
8 m 8 m
10 m
Fase 1 Fase 2 Fase 3
Supondo que para a frequeˆncia de operac¸a˜o 60 Hz
o aˆngulo da impedaˆncia seja de 20◦ e que a tem-
peratura do condutor seja de 40◦C, calcule:
(a) matriz de impedaˆncias longitudinais por uni-
dade de comprimento, considerando o solo
ideal.
(b) As impedaˆncias de sequeˆncia positiva e de
sequeˆncia zero.
(c) A matriz de capacitaˆncias por unidade de
comprimento.
3. Na questa˜o anterior se o solo na˜o fosse ideal, de
quais formas seu efeito poderia ser considerado no
ca´lculo do item a? Explique claramente cada me´-
todo.
4. Suponha que no quintal de uma casa exista um
varal em que a “corda” e´ feita de arame cujo raio
e´ de 0,5 cm e a resisteˆncia para corrente alternada
e´ de 4 Ω/km. Em paralelo a este varal, ponto P
na figura abaixo, existe uma linha de transmissa˜o
de 230 kV em que passa uma corrente 500 A por
fase. Considerando a figura abaixo, qual deve ser
o comprimento desse varal para que a tensa˜o entre
as suas extremidades seja de 50 V? Considere ape-
nas o acoplamento indutivo a uma temperatura de
50 ◦C, a resistividade do solo e´ ρ = 1000Ω·m e os
condutores de fase sa˜o 397,5 kCMIL 30/7.
Solo
5 m 5 m
2 m
10 m
Fase 1 Fase 2 Fase 3
P
8 m
5. Considere apenas a linha do problema anterior.
(a) Para o ca´lculo de capacitaˆncias transversais,
como o solo e´ representado?
(b) Calcule a matriz de capacitaˆncia por unidade
de comprimento.
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6. A figura abaixo mostra a geometria de uma linha
de transmissa˜o de 138kV idealmente transposta
operando a 60 Hz. A resisteˆncia ca dos condu-
tores e´ de 0.075 Ω/km e o rmg dos condutores e´
0.12 cm e o raio externo e´ igual a 0.15 cm. O solo
e´ plano e homogeˆneo mas na˜o ideal, sendo sua re-
sistividade igual a 1000Ω·m. Sabe-se ainda que o
espac¸amento entre as torres e´ de 300 m e que os
condutores sa˜o tensionados com uma tensa˜o hori-
zontal de 23% da carga de ruptura dos condutores,
que e´ de 11500 kgf. O peso por km do condutor e´
de 1600 kg/km. Calcule:
(a) A flecha dos condutores (pode ser aproxi-
mada).
(b) A impedaˆncia de sequeˆncia positiva conside-
rando o me´todo da profundidade complexa
para representar o solo.
(c) A capacitaˆncia de sequeˆncia positiva.
Dica: Qualquer operac¸a˜o em uma matriz diagonal
e´ igual a operac¸a˜o em seus elementos.
(3m, 16m)
(-3m, 14m)
(-3m, 18m)
7. Suponha que as fases da linha da questa˜o anterior
fossem compostas por condutores geminados de 5
subcondutores localizados em um pol´ıgono regular
de lado“0.2m”, com o efeito do solo o representado
pelo me´todo da profundidade complexa. Quais os
valores dos elementos da posic¸a˜o (1,1) das matrizes
de impedaˆncia longitudinal por unidade de com-
primento e da matriz de potencias de Maxwell?
Dica: lembrar da lei dos cossenos.
8. A figura abaixo mostra a geometria de uma linha
de transmissa˜o de um sistema transmissa˜o em cor-
rente cont´ınua. Suponha que a linha seja utili-
zada para transmissa˜o em corrente alternada em
que as tenso˜es de fase sejam defasadas de 90◦ e de
frequeˆncia igual a 60Hz. Sabe-se que a resistivi-
dade do solo e´ de 4000 Ω·m e que o comprimento
do va˜o e´ igual 500 m.
Pede-se:
(a) Calcule a matriz de impedaˆncia longitudinal
por unidade de comprimento 3× 3.
(b) Calcule a matriz de admitaˆncia transversal
por unidade de comprimento 3× 3.
(c) Calcule a matriz reduzida 2× 2 do item 8a.
Posição na 
Torre
ACSR 
Bittern
 1272 MCM
45/7
3/8" EHS
3
0
 m
8 m
0,45m
2
2
 m
9. Suponha que a matriz do item 8c da questa˜o an-
terior seja da forma z =
(
zp zm
zm zp
)
. Enta˜o,
proponha uma matriz 2 × 2 que diagonalize essa
matriz z, atrave´s da equac¸a˜o de similaridade, e in-
dique os autovalores dessa matriz baseado em sua
proposta.
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Dica: Para as duas questo˜es seguintes, consi-
dere que a impedaˆncia interna do condutor, rca +
jωLint, pode ser calculada por Bessel atrave´s da
seguinte aproximac¸a˜o:
Zint =
η · ρcond
2pir1
I0(r1η)
I1(r1η)
≈
Zint ≈ η · ρcond
2pir1
coth(0,777 r1η) +
0,356 ρcond
pir21
.
10. Considere uma linha trifa´sica com um condutor
por fase e sem cabos para-raios, como mostrado
na figura abaixo. Considere tambe´m a aproxima-
c¸a˜o de supor o solo plano e que os condutores sa˜o
filamentados, retil´ıneos, cil´ındricos e horizontais,
dispostos conforme mostrado na figura abaixo (al-
turas me´dias). Considere o raio externo dos con-
dutores igual a 10 mm e a condutividade igual a
σ = 30 106 S/m, sendo µ = µ0. O solo e´ homogeˆ-
neo com condutividade igual a σsolo = 0,001 S/m,
sendo µsolo = µ0. No ponto P, indicado na figura,
tem um condutor com as mesmas caracter´ısticas
do condutor de fase, pore´m, de raio externo de
5 mm. Sabe-se que a corrente que passa na linha
e´ de 500 A, sequeˆncia positiva, a 60 Hz. Pede-se:
(a) Calcule a matriz de impedaˆncias desse sis-
tema de condutores, considerando o fato de
que nem solo e nem os condutores sa˜o ide-
ais. Para ca´lculo das impedaˆncias internas,
utilize a aproximac¸a˜o de Bessel.
(b) Supondo que o condutor P esteja aterrado
em suas extremidades, calcule a corrente cir-
culante nesse condutor induzida por acopla-
mento indutivo.
(c) Supondo que o condutor P esteja aberto em
suas extremidades, calcule a tensa˜o induzida,
por unidade de comprimento, devido ao aco-
plamento indutivo.
(d) Calcule a matriz reduzida de impedaˆncias
(3× 3), considerando o condutor P aterrado.
Supondo a linha idealmente transposta, cal-
cule as impedaˆncias de sequeˆncia por unidade
de comprimento.
Solo
7 m 7 m 5 m
4 m
10 m
Fase 1 Fase 2 Fase 3
P
11. Considere um linha de transmissa˜o monofa´sica,
composta apenas por um u´nico condutor de fase,
conforme indicado na figura abaixo. Considere
o raio externo dos condutores igual a 15 mm e
sua condutividade igual a σ = 30 106 S/m, sendo
µ = µ0 e a flecha do condutor igual a 9 metros.
O solo e´ homogeˆneo com condutividade igual a
σsolo = 0,01 S/m, sendo µsolo = µ0. De acordo
com as informac¸o˜es apresentadas, calcule a impe-
daˆncia pro´pria da linha pela aproximac¸a˜o de Bes-
sel, representando o efeito do solo pela profundi-
dade complexa.(0 m, 18m)
12. Considere uma linha de transmissa˜o trifa´sica, con-
forme indicado na figura abaixo.
b
c
Dab
a Dca
Dbc
Prove que para a linha for idealmente transposta,
ao se desprezar a existeˆncia do solo a impedaˆncia
de sequeˆncia positiva pode ser dada por:
z1 = rca + ω
µ
2pi
Ln
(
3
√
DabDbcDca
rmg
)
Dica: Calcule considerando o solo e depois fac¸a a
distaˆncia tender para o infinito.
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13. Considere uma linha trifa´sica com um condutor
por fase e sem cabos para-raios. Qual deve ser a
configurac¸a˜o das fases para que a impedaˆncia por
unidade comprimento de sequeˆncia positiva seja a
menor poss´ıvel. Responda ra´pido e sem considerar
o solo.
14. A figura abaixo mostra uma linha de transmissa˜o
em circuito duplo. Considere as afirmativas abaixo
e indique V para verdadeiro e F para Falso.
x 
x 
 
1 
2 
3 
x 
x 
 
y/2 4 
5 
6 
y/2 
( ) As impedaˆncias pro´prias longitudinais por
unidade de comprimento de sequeˆncias sa˜o
iguais nos dois circuitos independente do es-
quema de transposic¸a˜o.
( ) O esquema de transposic¸a˜o dos circuitos afeta
apenas as impedaˆncias mu´tuas entre os cir-
cuitos.
( ) O aumento da distaˆncia ∆ diminui as impe-
daˆncias pro´prias de sequeˆncias positivas.
( ) O aumento da distaˆncia ∆ aumenta a impe-
daˆncia pro´pria de sequeˆncia zero.
15. Considere o circuito da figura abaixo, suponha que
se deseje “eliminar” o condutor em paralelo com o
da fase a para o ca´lculo de impedaˆncia longitudi-
nal.
(a) Indique os passos, justificando-os, para que
isso seja poss´ıvel de forma que a corrente to-
tal da fase seja mantida inalterada.
(b) Para o ca´lculo da admitaˆncia transversal,
quais os passos a serem seguidos?
16. A figura seguinte mostra uma linha de transmis-
sa˜o hipote´tica, em que uma das fases e´ composta
por dois condutores e a outra fase por apenas um
condutor. Fac¸a a eliminac¸a˜o do feixe geminado,
sabendo-se que a matriz de impedaˆncia longitudi-
nal por unidade de comprimento dessa linha e´: zaa zab1 zab2zb1a zb1b1 zb1b2
zb2a zb2b1 zb2b2
 =

 0.573095 0.0606744 0.05776070.0606744 0.573095 0.278159
0.0577607 0.278159 0.573095

Solo Ideal
10 m
0,5 m
10 m
a b1 b2
17. Calcule a matriz de capacitaˆncia da linha, da fi-
gura da questa˜o anterior, utilizando o me´todo do
condutor equivalente e sabendo que o raio do con-
dutor e´ de 1,0cm.
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18. A figura seguinte mostra a torre de uma linha de
500 kV idealmente transposta. O comprimento
da linha e´ curto o suficiente para permitir que os
acoplamentos capacitivos entre fases e fases-solo
sejam desprezados. Em um trecho de 10 km, na
regia˜o central da linha, o valor eficaz da corrente
de fase que passa pela linha e´ de 1200 A de sequeˆn-
cia positiva. Pede-se:
(a) Elemento (1,1) da matriz reduzida de impe-
daˆncias longitudinais por unidade de compri-
mento.
(b) A corrente no cabo para-raio quando ele esta´
solidamente aterrado somente nas extremida-
des do trecho.
(c) A corrente no cabo para-raio quando ele fecha
uma malha de corrente no trecho atrave´s de
uma resisteˆncia de 5 Ω.
(d) As perdas ativas (trifa´sicas) nesta linha, des-
considerando o cabo para-raio.
Dica: Calcular so´ o que interessa para resolver o
problema.
(-14.4, 43.41) 
(15.8, 34.41m) 
0.45 m 
0.45 m 
0.50 m 
 Flecha: 
 Condutor de fase: 21.41m 
 para-raio:14.52 m 
 Resistividade do solo: 1000 .m 
(0,0) 
Tabela 1: Dados dos Condutores
Condutor Fase PR
rca (Ω/km) 0.045 4.58
rmg (m) 0.016 0.0036
19. A matriz de capacitaˆncias de uma LT a circuito
duplo e´ fornecida a seguir. A LT tem 100 km de
comprimento. Pede-se:
(a) Sabendo que os dois circuitos, fases a, b, c e
a′, b′ e c′ esta˜o operando em paralelo, desen-
volva, considerando as condic¸o˜es de contorno
pro´prias para esta condic¸a˜o operacional, a ex-
pressa˜o literal para o calculo da matriz de ca-
pacitaˆncia Ceq(3x3) desta LT a circuito duplo.
Calcule Ceq:
(b) Calcule as capacitaˆncias de sequencias posi-
tiva e zero desta LT.
(c) Suponha agora que os dois circuitos esta˜o
operando de maneira independente um do ou-
tro. O circuito a, b, c esta´ operando nor-
malmente, com tenso˜es de sequencia positiva,
138 kV, enquanto que o circuito a′, b′ e c′
esta´ desativado para manutenc¸a˜o, aberto nas
duas extremidades. Desenvolva uma expres-
sa˜o matricial literal e, em seguida, calcule as
tenso˜es induzidas por acoplamento capacitivo
nas fases a′, b′ e c′.
Matriz (sime´trica) de capacitaˆncias considerando
os 6 condutores de fase, na ordem:
a b c a′ b′ c′
a 13,8 -1,29 -0,55 -0,45 -1,20 -2,45
b 14,43 -1,88 -1,14 -1,95 -0,87
c 13,93 -2,38 -1,12 -0,44
a′ 13,34 -1,63 -0,54
b′ 13,79 -1,66
c′ 13,30
nF/milha
20. Ainda com a matriz do exerc´ıcio anterior, mas
agora com comprimento de 50 km, considerando
apenas sequeˆncia positiva, qual deve ser o valor de
um reator trifa´sico (reataˆncia indutiva por fase) a
ser conectado a` barra da linha para que a corrente
de carregamento seja nula para o sistema?
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21. Considere a linha apresentada abaixo para todas
as questo˜es da prova. Sabe-se que as flechas dos
condutores de fase sa˜o de 12 metros e a do cabo
para-raio e´ de 9 metros. A resistividade do solo e´
de 200 Ω·m. Suponha que a frequeˆncia de opera-
c¸a˜o da linha seja de 60 Hz.
Posição na 
Torre
ACSR 
Bittern
 1272 MCM
45/7
3/8" EHS
3
0
 m
8 m
0,45m
2
2
 m
(a) Calcule a matriz de impedaˆncia longitudinal
por unidade de comprimento 3 × 3, conside-
rando o me´todo do condutor equivalente para
o feixe e supondo o solo ideal.
(b) Calcule a matriz de impedaˆncia longitudinal
reduzida por unidade de comprimento 3× 3,
considerando o me´todo do condutor equiva-
lente para o feixe e supondo o solo ideal.
(c) Indique a matriz de impedaˆncia longitudinal
por unidade de comprimento considerando
efeito do solo pela profundidade complexa.
(d) Indique os passos para a eliminac¸a˜o dos feixes
juntamente com o cabo para-raio, caso na˜o
fosse utilizado o me´todo do condutor equiva-
lente no item anterior.
(e) Indique a matriz de impedaˆncia longitudinal
por unidade comprimento, representando o
solo pelo me´todo De.
(f) Calcule a matriz de capacitaˆncias transver-
sais por unidade de comprimento 3× 3, con-
siderando o me´todo do condutor equivalente
para o feixe.
(g) Indique os passos e as matrizes para calcu-
lar a matriz de capacitaˆncias transversais por
unidade de comprimento por eliminac¸a˜o de
feixe e cabo para-raio.
(h) Considere uma linha ideˆntica paralela a esta
linha, distante 20 metros. Considerando o
me´todo do condutor equivalente. Calcule o
elemento mu´tuo da matriz de potenciais de
maxwell entre a fase 1 do circuito #1 e a
fase 2 do circuito #2.
————————————————
Dados:
ε0 = 8.854× 10−12 (F/m),
µ0 = 4pi × 10−7 (H/m),
p = 1√
jωσµ
(m),
De = 658.368
√
ρ
f (m),
rsolo = 9.88× 10−4 × f (Ω/km)