lista limites e continuidade

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Ca´lculo Infinitesimal I - V01.2016- Marco Cabral
Graduac¸a˜o em Matema´tica Aplicada - UFRJ
Monitor: Lucas Porto de Almeida
Lista B - Limites e Continuidade
”Perhaps the only difference between me and other people
was that I’ve always demanded more from the sunset;
more spectacular colors when the sun hit the horizon.
That’s perhaps my only sin.”
- Joe, Nymphomaniac: Vol. I (2013)
1.
Definic¸a˜o 1. Seja f : X → R uma func¸a˜o real. Seja a ∈ X. Diremos que o nu´mero real L e´ o limite
de f(x) quando x tende para a, e escreveremos
lim
x→a f(x) = L
quando ∀� > 0, ∃δ > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < �.
Leia e releia a Definic¸a˜o 1.
(a) Prove que o limite da soma de duas func¸o˜es e´ igual a soma dos limites.
(b) Mostre que o limite, quando existe, e´ u´nico.
Dica: Suponha por contradic¸a˜o que na˜o e´ u´nico, isto e´, existem L1 e L2 diferentes que satisfazem
a condic¸a˜o e enta˜o tome � = |L1−L2|2 . Uma figura ajuda.
2. Apresentamos no in´ıcio da lista uma das 15 definic¸o˜es de limite poss´ıveis. De fato, fixado c ∈ R,
lim
x→A
f(x) = B tem sentido com A ∈ {c, c+, c−,∞,−∞} e B ∈ {c,∞,−∞}. A proposta aqui e´ adaptar
para cada caso. Vamos pedir somente dois, mas pense nos outros casos . . .
(a) Defina lim
x→c+
f(x) =∞ (utilizando δ e N).
(b) Defina lim
x→∞ f(x) = c (utilizando � e N).
(c) Prove pela definic¸a˜o que lim
x→∞
1
x
= 0.
3. Sejam os polinoˆmios p(x) =
n∑
k=0
akx
k e q(x) =
m∑
k=0
bkx
k, onde m,n ∈ N, ai ∈ R para i = 1, ..., n, bi ∈ R
para i = 1, ...,m e an, bm 6= 0. Calcule (em func¸a˜o de m,n, an, bm) os limites abaixo:
(a) lim
x→∞
p(x)
q(x)
(b) lim
x→−∞
p(x)
q(x)
(c) lim
x→0+
p(x)
q(x)
4.
Definic¸a˜o 2. Seja f : X ∈ R uma func¸a˜o real. Seja a ∈ X. Diremos que f e´ cont´ınua em a se
lim
x→a f(x) = f(a)
ou utilizando definic¸a˜o de limites, se para todo � > 0, existe δ > 0 (que depende de � e de a) tal que
para todo ∈ X que satisfac¸a |x− a| < δ, temos que |f(x)− f(a)| < �.
(a) Prove que se f, g : X → R sa˜o cont´ınuas no ponto a ∈ X enta˜o
i. f + g e´ cont´ınua em a.
ii. existe δ > 0 tal que f e´ limitada (ver definic¸a˜o nesta lista) numa vizinhanc¸a δ de a.
iii. f · g e´ cont´ınua em a.
5.
1
Definic¸a˜o 3 (Teorema do Valor Intermedia´rio). Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Se f(a) < d < f(b),
enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.
(a) Procure uma boa definic¸a˜o do que e´ uma func¸a˜o ser cont´ınua em um intervalo aberto. Procure
tambe´m para um intervalo fechado. Atenc¸a˜o na diferenc¸a.
(b) Suponha que f e´ cont´ınua em [a, b] e que f(x) ∈ Q para todo x ∈ [a, b]. Mostre que f e´ constante.
6. Leia essa passagem do romance “A Culpa e´ das Estrelas” de John Green.
“Na˜o posso falar da nossa histo´ria de amor, enta˜o vou falar de matema´tica. Na˜o sou formada em
matema´tica, mas sei de uma coisa: existe uma quantidade infinita de nu´meros entre 0 e 1. Tem o 0,1
e o 0,12 e o 0,112 e uma infinidade de outros. Obviamente, existe um conjunto ainda maior entre o
0 e o 2, ou entre o 0 e o 1 milha˜o. Alguns infinitos sa˜o maiores que outros.”
Voceˆ acha que as afirmac¸o˜es deste trecho sa˜o verdadeiras? Sera´ que existem mais nu´meros reais no
intervalo (0, 2) do que no intervalo (0, 1)? Sera´ que existem infinitos maiores que outros? Comec¸amos
com definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 4. Uma func¸a˜o f : A → B e´ chamada injetiva quando, dados x, y quaisquer em A, se
f(x) = f(y), enta˜o x = y. Uma func¸a˜o f : A → B e´ chamada sobrejetiva quando para todo y ∈ B
existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y. Quando f : A→ B e´ injetiva e sobrejetiva, chamamos
f de bijetiva.
A medida de quantidade de elementos de um conjunto e´ dita cardinalidade do conjunto. Por
exemplo, o conjunto {3, 5, 8} tem cardinalidade 3.
Definic¸a˜o 5. Dizemos que um conjunto A tem a mesma cardinalidade um conjunto B se existe uma
bijec¸a˜o entre A e B.
Exerc´ıcio 6 (a) Prove que f : R → R definida por f(x) = 5x − 2 e´ bijetiva. Prove que a func¸a˜o
determinante, definida no conjunto das matrizes 2 × 2 e´ sobrejetiva. Prove que g :
N× N→ N definida por g(a, b) = 2a3b e´ injetiva mas na˜o e´ sobrejetiva.
Exerc´ıcio 6 (b) Prove que N e Z tem a mesma cardinalidade. Sim, existem tantos naturais quanto
inteiros.
Exerc´ıcio 6 (c) Prove que existe uma bijec¸a˜o entre N e Q. E´ isso mesmo, N, Z e Q tem o mesmo
nu´mero de elementos.
Exerc´ıcio 6 (d) Agora, demonstre que na˜o existe bijec¸a˜o entre N e R e conclua que existem sim infinitos
maiores que outros. Procure sobre o argumento diagonal de Cantor.
7. Um conjunto X e´ chamado denso em R quando todo intervalo aberto (a, b) ⊂ R possui algum ponto
de X. Ou seja, ∀a, b ∈ R com a < b, ∃x ∈ X tal que a < x < b. Intuitivamente isso significa dizer que
o conjunto X esta´ bem ’espalhado’ por toda a reta.
Exerc´ıcio 7 (a) Mostre que o conjunto Q dos nu´meros racionais e´ denso em R. Dica: se comprimento
do intervalo (a, b) e´ maior que 1/N , N ∈ N, enta˜o andando em passos de tamanho
1/N vou cair no intervalo (a, b).
Exerc´ıcio 7 (b) Mostre que o conjunto R − Q dos nu´meros irracionais tambe´m e´ denso em R. Dica:
ande com passos irracionais.
E´ interessante perceber que, um conjunto pode ser denso em outro mesmo tendo cardinalidade dife-
rente, como no caso dos racionais. Voceˆ vera´ que, cedo, estes dois resultado sera˜o muito u´teis para
voceˆ.
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