Prova Álgebra Linear - UFRJ 2011

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A´LGEBRA LINEAR - 2011 - Lista 2
Prof. Fla´vio Dickstein
1a Questa˜o - Determine o nu´cleo e a imagem das transformac¸o˜es lineares abaixo. Verifique, em cada caso,
que vale o Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
(i) T : R5 ⇒ R3, Tx = Ax, onde  1 1 1 1 11 0 1 0 1
2 1 2 1 2
 .
(ii) T : P5 ⇒ P3, Tp = p′′.
(iii) T : P5 ⇒ R2, Tp = (p(1), p′(1)).
2a Questa˜o - Considere a transformac¸a˜o T de R3 dada pela matriz
1
5
(−3 4
4 3
)
.
Sejam v1 = (1, 2), v2 = (2,−1) e β = {v1, v2}. Calcule a matriz que representa T na base β. O que voc pode
dizer sobre T? Se eu pegar um vetor v e fizer T 20v, onde ele vai parar?
3a Questa˜o - Determine as seguintes transformac¸o˜es lineares.
(i) projec¸a˜o sobre a reta y = 2x.
(ii) reflexa˜o atrave´s da reta y = 3x.
(iii) reflexa˜o em R3 atrave´s da reta r gerada pelo vetor (1, 2, 2).
(Sugesta˜o: v1 =
1
3
(1, 2, 2), v2 =
1
3
(2, 1,−2),v3 = 13(2,−2, 1) formam uma base ortonormal do espac¸o.)
(iv) projec¸a˜o em R3 sobre o plano x+ 2y + 2z = 0. (Use a sugesta˜o anterior.)