Série de Fourier 1

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / 
Cálculo IV 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
 
Série de Fourier 
 
Texto 01: Introdução. Alguns Pré-requisitos 
 
 
No curso de Cálculo III estudamos as séries de potências de ( x − a ) que aproximam uma 
função f(x), numa vizinhança de a, através de polinômios. Outro tipo de séries que servem 
para aproximar funções são as chamadas séries trigonométricas que têm como elementos 
fundamentais não potências de x ou ( x − a ), mas funções periódicas simples como senos e 
cossenos. As funções periódicas ocorrem com muita freqüência nos problemas das 
Engenharias. Elas se apresentam, no entanto, de forma um tanto complicada, em muitas 
aplicações. O que desejamos é desenvolver uma teoria que nos permita escrever tais 
funções em termos de funções periódicas mais simples, como, por exemplo, seno e 
cosseno. 
O nosso objetivo será analisar, sob que condições, dada uma função periódica f(x) ela 
poderá ser escrita como soma de senos e cossenos. Mais precisamente, na forma da série 
∑ ++=
∞
1
nn
o )sennxbnxcosa(
2
a)x(f 
 
que é chamada de série trigonométrica ou série de Fourier em homenagem ao físico e 
matemático francês Jean Baptiste Fourier ( 1768-1830), que utilizou as séries 
trigonométricas em seus estudos sobre a teoria do calor. 
As séries de Fourier desempenham papel importante no estudo dos modelos físicos que 
descrevem pequenas oscilações de uma membrana elástica, no fenômeno da condução do 
calor em uma barra, na concentração de substâncias químicas e na análise de sistemas 
mecânicos ou elétricos onde as forças envolvidas são periódicas. Além disso, será 
ferramenta importante para a resolução de equações de derivadas parciais. 
 
Vamos estabelecer alguns resultados de caráter elementar sobre as séries de Fourier. 
Inicialmente faremos algumas considerações sobre funções periódicas, funções pares e 
ímpares 
 
 
Funções Periódicas 
 
Definição: Uma função f(x) é dita periódica quando existe um número positivo T tal que 
f(x + T) = f(x) para todo x do seu domínio O menor valor positivo de T tal que 
 2 
 f(x + T) = f(x) é chamado de período mínimo, período primitivo ou simplesmente período 
da função. 
 
 
Observações: 
 
• O gráfico de uma função periódica de período T é obtido pela repetição periódica 
de seu gráfico em qualquer intervalo de comprimento T. 
• Se n é um inteiro qualquer então f( x + nT) = f(x + T) = f(x). Ou seja, se f tem 
período T, então qualquer múltiplo de T, nT ( n ≠ 0 ) é também um período de f . 
• A função constante f(x) = k tem qualquer número como período. 
 
 
Exemplos: 
 
1) As funções senx e cosx têm período 2pi 
 
sen( x + 2pi) = senx 
cos(x + 2pi ) = cosx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) As funções sen(nx) e cos(nx) têm período 
n
pi2
 
)nx(sen)pi2nx(sen))
n
pi2
x(n(sen =+=+ 
)nxcos()pi2nxcos())
n
pi2
x(ncos( =+=+ 
Observemos que 2pi é também um período de sen(nx) e cos(nx) mas não é o menor 
sen(n(x+2pi))=sen(nx +2pin)=sen(nx)cos(2pin)+sen(2pin)cos(nx)=sem(nx), uma vez que 
sem(2pin) = 0 e cos(2pin)=1 
 
3) A função tangente tem período pi. tg(x + pi) = tgx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
4) Esboçar o gráfico das seguintes funções periódicas 
 
a) 



<<
<<−
=
pix0 ;x
0xpi ;0)x(f ; 
 f periódica de período 2pi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) pixpi ;x)x(f ≤<−= ; 
f periódica de período 2pi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 



<<
<<−−
=
pix0 ;x
0xpi ;x)x(f ; 
f periódica de período 2pi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade: 
 Se f(x) é uma função periódica de período 2L, então R a ,dx)x(fdx)x(f L2a
a
L
L
∈∀∫=∫
+
−
 
 
• Esta propriedade significa que o valor da integral de uma função periódica de 
período 2L é o mesmo em qualquer intervalo de comprimento igual ao período. O 
 
 
 4 
resultado é facilmente justificado se usarmos a interpretação geométrica da integral 
definida como área de uma região. 
 
Funções Pares e Impares 
 
Definição: Uma função f(x) é dita 
• Par, se f(x) = f(−x) , para todo x do domínio 
• Impar, se f(x) = − f(−x), para todo x do domínio 
 
 
Exemplos: 
 
1. f(x) = x2 é uma função par, pois f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) 
 
 
 
 
2. f(x) = x3 é uma função ímpar, pois f(−x) = (−x)3 −x3 = − f(x) 
 
 
 
 
 
3. f(x) = cosx é par, pois cos(−x) = cosx 
4. f(x) = senx é ímpar, pois sen( −x) = −senx 
 
Observações: 
• O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo OY. 
• O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem 
 
O fato da função cosseno ser par e da função seno ser ímpar vai desempenhar um papel 
importante quando do desenvolvimento de uma função na sua série trigonométrica. 
Veremos, portanto, algumas propriedades das funções pares e ímpares que nos serão úteis. 
 
Propriedades: 
 
1. Se f e g são funções pares, então f.g é uma função par. 
 
2. Se f e g são funções ímpares, então f.g é uma função par. 
 
3. Se f é uma função par e g é uma função ímpar, então f.g é uma função ímpar. 
 
4. Se f é uma função par, então ∫ ∫=
−
a
a
a
0
dx)x(f2dx)x(f 
 
 
 5 
D] ∫+∫ −−=∫+∫−=∫+∫ ∫=
−−
− −
a
0
a
0
a
0
a
0
a
0
a
a
0
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f 
Mudando a variável na 1ª integral da última igualdade 





=⇒=
=⇒−=
=−⇒=−
0t0x
atax
dtdxtx
 obtemos 
∫=∫=∫−
− a
0
a
0
a
0
dx)x(fdt)t(fdx)x(f . Logo, ∫ ∫=
−
a
a
a
0
dx)x(f2dx)x(f 
 
5. Se f é uma função ímpar, então ∫ =
−
a
a
0dx)x(f 
D] ∫+∫−=∫+∫ ∫=
−
− −
a
0
a
0
a
0
a
a
0
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f 
Mudando a variável na 1ª integral da última igualdade 





=⇒=
=⇒−=
=−⇒=−
0t0x
atax
dtdxtx
 e usando o 
fato que f é ímpar, ou seja, f(x) = −f( −x) obtemos 
∫−=∫−∫ =−−=∫
−− a
0
a
0
a
0
a
0
dx)x(fdt)t(fdx)x(fdx)x(f . Logo, ∫ =
−
a
a
0dx)x(f 
 
Exercício: Utilizando as propriedades das funções periódicas, pares e ímpares e 
identidades trigonométricas (*), mostre que: 
 
1) ∫ =
−
pi
pi
0kxdxcosnxcos ( n ≠ k) 
 
D] 
pi
0
pi
0
pi
0
pi
pi
]
kn
x)kn(sen
kn
x)kn(sen[dx)x)kncos(x)kn(cos(
2
12kxdxcosnxcos2kxdxcosnxcos
−
−
+
+
+
=∫ −++∫ =∫ =
−
 
= 0
kn
pi)kn(sen
kn
pi)kn(sen
=
−
−
+
+
+
 
 
 
2) ∫ =
−
pi
pi
2
pidx kxcos ( k ≠ 0 ) 
D] pi]00
k2
pik2sen
pi]
k2
kx2sen
x[dx
2
kx2cos12dx kxcos pi0
pi
pi
pi
0
2
=−−+=+=∫ ∫
+
=
−
 
 
 
3) ∫ =
−
pi
pi
0dx senkx nx sen ( n ≠ k) 
 6 
D] ∫ =+−−∫ =∫ =
−
pi
0
pi
0
pi
pi
dx)]x)kncos(x)kn[cos(
2
12dx senkx nx sen2dx senkx nx sen 
0
kn
pi)kn(sen
kn
pi)kn(sen]
kn
x)kn(sen
kn
x)kn(sen[ pi0 =
+
+
−
−
−
=
+
+
−
−
−
 
 
4) ∫ =
−
pi
pi
2
pidx kxsen ( k ≠ 0 ) 
D] pi]00
k2
pik2sen
pi]
k2
kx2sen
x[dx
2
kx2cos12dx kxsen pi0
pi
pi
pi
0
2
=+−−=−=∫ ∫
−
=
−
 
 
 
5) ∫ =
−
pi
pi
0dx senkx nxcos 
D] cosseno é par e seno é ímpar, logo o produto é ímpar e portanto a integral é 0. 
 
 
Os resultados podem ser resumidos no seguinte quadro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*) Identidades trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ReferênciasBibliográficas: 
1. Boyce/ Di Prima – Equações Diferenciais Elementares LTC 
2. Dennis Zill/ Michael Cullen - Equações Diferenciais vol 2 Makron Books 
3. George B. Thomas – Cálculo vol 2 Pearson 
4. Marivaldo P Matos – Séries e Equações Diferenciais Prentice Hall 
1. ( ))qpcos()qpcos(
2
1qcospcos −++= 
2. ( ))qpcos()qpcos(
2
1
senpsenq +−−= 
3. 
2
p2cos1psen 2 −= 
4. 
2
p2cos1pcos2 += 
1. 



≠=
≠
=∫
−
0 k ek n se ;pi
k n se ;0
kxdxcosnxcos
pi
pi
 
 
2. 



≠=
≠
=∫
−
0 k ek n se ;pi
k n se ;0
dxsennxsenkx
pi
pi