GeometriaBasica Aula1 Volume1

Prévia do material em texto

Noc¸o˜es elementares
MO´DULO 1 - AULA 1
Aula 1 – Noc¸o˜es elementares
Objetivos
• Criar os alicerces para que o aluno possa acompanhar todo o restante
da disciplina.
• Introduzir elementos primitivos e alguns axiomas ba´sicos da Geometria
Euclidiana.
Introduc¸a˜o
Geometria
Geometria significa medida
da terra. A palavra
geometria vem do grego geo,
terra, e metrein, medir, que
remonta a` origem da
Geometria, nascida da
necessidade pra´tica de medir
o tamanho das propriedades
agr´ıcolas. Desenvolveu-se,
incialmente, no Egito, onde
as cheias do rio Nilo
cancelavam as divisas entre
as glebas. As primeiras
noc¸o˜es geome´tricas surgiram
quando o homem teve
necessidade de realizar
medidas; como por exemplo,
comparar distaˆncias e
determinar dimenso˜es de
corpos que estavam a` sua
volta. Mas o que se tem de
mais interessante ao se
estudar a histo´ria, e´ que os
primeiros passos no estudo
da Geometria foram dados
com base numa hipo´tese
falsa: acreditava-se que a
Terra era plana. Todas as
pesquisas foram feitas
segundo essa crenc¸a, mas
isso na˜o impediu o
desenvolvimento da
Geometria.
“O estudo profundo da natureza e´ a mais fecunda fonte de descobertas
matema´ticas”
Joseph Fourier (1768-1830)
Fig. 1: A. Zelsing, Leipzig, Alemanha, 1854.
7 CEDERJ
Noc¸o˜es elementares
Os elementos ba´sicos do estudo da Geometria sa˜o as ide´ias de ponto,
reta e plano. No nosso dia-a-dia usamos essas palavras em diversas ocasio˜es,
e com diversos significados diferentes, tais como:
- A que ponto chegamos!
- Estamos na reta final do trabalho.
- Eu tenho um plano!
Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras teˆm sig-
nificados muito espec´ıficos. Contudo, apesar de serem conceitos importantes
e intuitivos, sa˜o dif´ıceis de definir. Tente dar uma definic¸a˜o de um deles:
- O que e´ reta?
- E´ uma “coisa” que na˜o e´ curva.
- O que e´ curva?
- Ah, e´ uma “coisa” que na˜o e´ reta. Opa!
O ponto, a reta e o plano na˜o existem no mundo real, sa˜o instrumentos
que usamos para modelar a natureza. Um gra˜o de areia, uma vareta ou um
tampo de mesa nos da˜o a ide´ia de ponto, reta e plano, mas nunca vimos um
gra˜o de areia que na˜o tenha volume (mesmo pequeno), uma vareta que na˜o
tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que
se prolongue em todas as direc¸o˜es...
Podemos, pore´m, imaginar esses elementos e estudar suas proprieda-
des. Indo mais ale´m, podemos imaginar partes desses elementos (semi-retas,
segmentos, semiplanos, etc.), composic¸o˜es dessas partes (aˆngulos, triaˆngulos,
circunfereˆncias, etc.) e estudar suas propriedades.
Fig. 2: Elementos do mundo real na Geometria.
CEDERJ 8
Noc¸o˜es elementares
MO´DULO 1 - AULA 1
Em nosso estudo da Geometria, na˜o definiremos ponto, reta e plano:
esses sera˜o elementos primitivos. Usaremos letras maiu´sculas (A, B, C, etc.)
para designar pontos, letras minu´sculas (a, b, c, etc.) para designar retas, e
letras do alfabeto grego (α, β, γ, etc.) para designar planos.
Veja na figura 3 como sera˜o representados no papel os elementos pri-
mitivos ponto, reta e plano.
A
r
 α
Fig. 3: Ponto, reta e plano representados no papel.
Para evoluir em nosso estudo da Geometria Euclidiana precisamos es-
tabelecer algumas relac¸o˜es entre os elementos primitivos, relac¸o˜es que cha-
maremos de axiomas. Axiomas sa˜o verdades primitivas, aceitas a priori, e
que refletem propriedades observa´veis dos objetos do mundo real que esta-
mos modelando. Mais a frente voceˆ entendera´ mais sobre o significado dos
axiomas.
A partir dos elementos primitivos, ponto, reta e plano e das verda-
des intuitivas, os axiomas, usamos argumentos logicamente consistentes para
decidirmos se novas propriedades sa˜o verdadeiras ou falsas.
Justamente porque pontos, retas e planos sa˜o modelos abstratos do
mundo real e os axiomas verdades auto-evidentes, e´ importante sermos ex-
tremamente criteriosos na escolha dos axiomas. Eles devem, a princ´ıpio,
serem de fa´cil aceitac¸a˜o como verdades evidentes.
Felizmente, estamos estudando uma disciplina que tem mais de 2.400
anos de existeˆncia. A fase criativa mais importante da Geometria Euclidiana
ocorreu no se´culo IV a.C., onde foram enunciados a quase totalidade dos
axiomas na impressionante obra “Os Elementos” de Euclides.
Escolher um axioma e´ longe de ser tarefa fa´cil. Temos que usar a
intuic¸a˜o e nosso conhecimento do mundo. No entanto, e´ preciso sermos muito
criteriosos. Frequ¨entemente, nossos sentidos, nosso bom senso, nos levam a
concluso˜es equivocadas, como voceˆ experimentara´ nos exemplos a seguir.
9 CEDERJ
Noc¸o˜es elementares
Exemplo 1
Observe a figura 4 e responda se as linhas que ligam M a N e P a Q sa˜o
linhas retas.
M
 N
P
 Q
Fig. 4: Ilusa˜o de o´tica?
Exemplo 2
Na figura 5, qual das linhas e´ maior: a horizontal ou a vertical ?
Confira as respostas com sua re´gua.
Fig. 5: Qual e´ a maior linha?
Bom, se por um lado na˜o podemos confiar apenas no bom senso e na
intuic¸a˜o, por outro lado eles sa˜o muito importantes.
Como ja´ lhe contamos, o estudo da Geometria comec¸a por admitir
como propriedades verdadeiras apenas algumas afirmac¸o˜es simples, chamadas
axiomas ou postulados, que sa˜o bastante intuitivas. A partir dos axiomas
e´ poss´ıvel provar (ou demonstrar) outras afirmac¸o˜es. A essas afirmac¸o˜es,
que sera˜o provadas, daremos o nome de proposic¸o˜es ou teoremas. O que
entendemos por provar ficara´ mais claro ao longo do curso.
CEDERJ 10
Noc¸o˜es elementares
MO´DULO 1 - AULA 1
Veja, a seguir, alguns dos axiomas da Geometria plana, chamados
axiomas de incideˆncia:
Axiomas de incideˆncia:
• Existem infinitos pontos no plano.
• Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma u´nica
reta.
• Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e
infinitos pontos fora dela.
E´ correto afirmar que o
plano e´ constitu´ıdo de
pontos e que as retas sa˜o
subconjuntos de pontos do
plano.
Axioma
Chama-se axioma ou
postulado toda afirmac¸a˜o
aceita sem demonstrac¸a˜o.
Usando a forma de representar utilizada na figura 3, podemos repre-
sentar esses axiomas no papel. E´ claro que na˜o podemos desenhar infinitos
pontos, mas, ao buscar colocar as ide´ias no papel, desenvolvemos nossa visa˜o
geome´trica.
Para indicar que um ponto esta´ em uma reta, plano, etc., usaremos
o s´ımbolo ∈ (pertence). Assim a expressa˜o A ∈ r significa que o ponto A
pertence a` reta r, ou esta´ na reta r. Nesse caso, diz-se tambe´m que r passa
pelo ponto A. A reta que passa pelos pontos A e B sera´ denotada por
←→
AB.
Para indicar que uma reta esta´ contida em um plano, usaremos o s´ımbolo ⊂.
Assim a expressa˜o r ⊂ α significa que a reta r esta´ contida no plano α.
B
A
C
Fig. 6: A, B e C sa˜o pontos na˜o-colineares.
O segundo axioma acima diz que, dados dois pontos distintos A e B,
sempre existe uma (u´nica) reta que passa pelos dois. Se forem dados treˆs
pontos, ao inve´s de dois, pode ser que na˜o exista uma reta que passe pelos
treˆs, como e´ o caso dos pontos A, B e C na figura 6. Pontos A, B, C como
tais sa˜o chamados de pontos na˜o-colineares.
Me´todo dedutivo
O me´todo de provar (ou
demonstrar) resultados a
partir de axiomas utilizando
apenas o racioc´ınio lo´gico e´
chamado me´todo dedutivo e
e´ atribu´ıdo aos gregos.
Atrave´s dele, os gregos
levaram a Geometria a um
esta´gio bem avanc¸ado.
Geometria Euclidiana
Existem va´rias geometrias
distintas, dependendo do
conjunto de axiomas fixado.
A Geometria que estamos
estudando e´ chamada de
Geometria Euclidiana, em
homenagem a Euclides.
11 CEDERJNoc¸o˜es elementares
Voceˆ deve ter observado que os axiomas anteriores parecem bastante
razoa´veis, no sentido de que parecem verdadeiros e indiscut´ıveis. Justamente
por causarem essa impressa˜o, foram escolhidos como axiomas. A busca de
axiomas, no entanto, na˜o foi sempre uma tarefa fa´cil. Em diversos momentos
da Histo´ria, os geoˆmetras (e tambe´m outros grupos de matema´ticos) tiveram
discusso˜es acaloradas sobre esse assunto.
Na leitura desta primeira aula, na˜o se preocupe em fixar ou decorar
axiomas. O mais importante, por enquanto, e´ formar uma boa ide´ia de ponto,
reta e plano e do que esta´ sendo dito a respeito deles. Ao ler os axiomas,
procure desenhar figuras, fazer imagens mentais, discutir com outras pessoas
e se convencer de que fazem sentido.
Dadas duas retas no plano, ha´ treˆs possibilidades: elas se intersectam
em um u´nico ponto (retas concorrentes), elas na˜o se intersectam (retas para-
lelas) ou elas teˆm todos os pontos em comum (retas coincidentes). Observe
na figura 7 esses treˆs casos.
r
 s
r
s
r
 s
Fig. 7: Retas coincidentes, retas concorrentes e retas paralelas.
• Retas paralelas: Nenhum ponto em comum.
• Retas concorrentes: Apenas um ponto em comum.
• Retas coincidentes: Mais de um ponto em comum.
CEDERJ 12
Noc¸o˜es elementares
MO´DULO 1 - AULA 1
Segmentos de reta, semi-retas e semiplanos
Euclides de Alexandria
325-265 (?) a.C.
Matema´tico grego. E´ um dos
mais famosos matema´ticos
da antigu¨idade. Na˜o se sabe
ao certo o local e nem as
datas de seu nascimento e de
sua morte, e quase nada se
sabe sobre sua vida. E´
poss´ıvel que tenha recebido
ensinamentos dos primeiros
disc´ıpulos de Plata˜o. A
u´nica certeza e´ que fundou
em Alexandria, durante o
reinado de Ptolomeu I (323
a.C.-285 a.C.), a primeira
escola de Matema´tica. No
tempo de Euclides (cerca de
300 a.C.), a Geometria
alcanc¸ou um esta´gio bem
avanc¸ado. Do conhecimento
acumulado, Euclides
compilou Os elementos, um
dos mais nota´veis livros ja´
escritos. Ale´m de ser uma
exposic¸a˜o sistema´tica da
Geometria elementar, Os
Elementos tambe´m conteˆm
tudo que era conhecido na
e´poca sobre Teoria dos
Nu´meros.
Consulte:
http://www-groups.dcs.
st-nd.ac.uk/~history/
Mathematicians/Euclid.
html
Definic¸a˜o 1 (Pontos colineares)
Se um determinado conjunto de pontos esta´ contido em uma mesma reta,
dizemos que esses pontos sa˜o colineares.
Nosso objetivo, agora, e´ introduzir a noc¸a˜o de ordem para pontos de
uma mesma reta. Para isso, considere uma reta r e sobre ela treˆs pontos
distintos A, B e C (veja figura 8). Observe que o ponto B encontra-se entre
A e C. Ale´m disso, existem outros pontos entre A e C (ale´m de B); so´
na˜o esta˜o destacados na figura e na˜o designamos letras para eles. Existem
tambe´m pontos que na˜o esta˜o entre A e C.
A
B
C
r
Fig. 8: B entre A e C.
Esses fatos sa˜o bastante intuitivos e fazem parte do que chamamos
axiomas de ordem:
Axiomas de ordem:
• Dados treˆs pontos colineares e distintos dois a dois, um deles,
e apenas um, esta´ entre os outros dois.
• Dados dois pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C
que esta´ entre A e B, e um ponto D tal que A esta´ entre D e B.
Enfatizamos que a noc¸a˜o de ordem e´ para pontos que esta˜o sobre uma
mesma reta. Assim, quando dizemos que B esta´ entre A e C, em particular,
estamos afirmando que A, B e C sa˜o colineares e diferentes. Ale´m disso,
dizer que B esta´ entre A e C e´ o mesmo que dizer que B esta´ entre C e A.
Com a noc¸a˜o de ordem que acabamos de introduzir, podemos definir
alguns subconjuntos ou partes de uma reta que sa˜o muito importantes.
13 CEDERJ
Noc¸o˜es elementares
Definic¸a˜o 2 (Segmento de reta)
Chamamos segmento de reta AB ao conjunto formado por A, B e todos os
pontos que esta˜o entre A e B, ou seja, o “pedac¸o” da reta que comec¸a em
A e termina em B (ou que comec¸a em B e termina em A). Veja a figura 9.
Dizer que os pontos A , B e
C sa˜o distintos dois a dois
significa que A 6= B, A 6= C
e B 6= C.
A
B
Fig. 9: Segmento de reta AB.
Com o intuito de definir outros elementos importantes para nosso es-
tudo (semiplano e semi-reta), introduzimos mais um axioma:
• Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano
que na˜o pertencem a r em dois conjuntos, α
′
e α
′′
, tais que:
− α′ e α′′ sa˜o disjuntos (na˜o teˆm elementos em comum).
− Se A ∈ α′ e B ∈ α′′ , enta˜o AB intersecta r (o segmento
AB e a reta r teˆm um elemento em comum).
− Se A e B esta˜o ambos em α′ (ou em α′′), enta˜o o segmento
AB na˜o intersecta a reta r.
Definic¸a˜o 3 (Semiplano)
Os conjuntos α
′
e α
′′
referidos anteriormente sa˜o chamados semiplanos de-
terminados pela reta r.
Na figura 10, A e B pertencem a um mesmo semiplano, pois o segmento
AB na˜o intersecta r. Dizemos que A e B esta˜o em um mesmo lado de r. Os
pontos C e D esta˜o em semiplanos opostos, pois CD intersecta r. Dizemos
que C e D esta˜o em lados opostos de r.
A
B
C
D
r
Fig. 10: A e B pertecem a um mesmo semiplano. C e D esta˜o em semiplanos opostos.
CEDERJ 14
Noc¸o˜es elementares
MO´DULO 1 - AULA 1
Da mesma forma, um ponto pertencente a uma reta separa essa reta
em dois conjuntos. Mais precisamente, se A esta´ entre B e C e r e´ a reta
que conte´m esses treˆs pontos, o ponto A separa a reta r em duas partes, uma
contendo o ponto B e outra contendo o ponto C.
Definic¸a˜o 4 (Semi-reta)
As partes da reta, referidas acima, sa˜o chamadas semi-retas determinadas
pelo ponto A.
A semi-reta que conte´m o ponto B e´ denotada por
−→
AB (veja a figura
11), e a que conte´m o ponto C e´ denotada por
−→
AC. Dizemos que a semi-reta−→
AC e´ oposta a` semi-reta
−→
AB (e vice-versa).
A
B
C
Fig. 11: Semi-retas
→
AB e
→
AC .
As notac¸o˜es utilizadas para
semi-reta e para reta sa˜o
bastante sugestivas. A seta
em apenas uma direc¸a˜o em−→
AB significa que a semi-reta
tem comec¸o e na˜o tem fim.
A seta nas duas direc¸o˜es em←→
AB significa que a reta na˜o
tem comec¸o nem fim.
Definic¸a˜o 5 (Aˆngulo)
Aˆngulo e´ uma figura formada por duas semi-retas distintas e na˜o-opostas
com a mesma origem.
Se
−→
AB e
−→
AC sa˜o semi-retas definindo um aˆngulo, diz-se que A e´ o ve´rtice
do aˆngulo. Para designar esse aˆngulo, usa-se a notac¸a˜o BAˆC, ou apenas Aˆ,
se na˜o houver mais de um aˆngulo sendo considerado com ve´rtice em A. As
semi-retas
−→
AB e
−→
AC sa˜o os lados do aˆngulo.
A
B
C
Fig. 12: Representac¸a˜o do aˆngulo BAˆC.
15 CEDERJ
Noc¸o˜es elementares
Definic¸a˜o 6 (Interior de um aˆngulo)
Dado um aˆngulo BAˆC, define-se o interior de BAˆC como o conjunto de
todos os pontos que pertencem a` intersec¸a˜o entre o semiplano determinado
por
←→
AB que conte´m C e o semiplano determinado por
←→
AC que conte´m B.
(Veja a figura 13).
A
B
C
Fig. 13: Interior do aˆngulo BAˆC.
Resumo
Nessa aula voceˆ aprendeu...
• Que ponto, reta e plano sa˜o elementos primitivos da Geometria Eucli-
diana.
• Que axioma ou postulado e´ uma afirmac¸a˜o aceita sem prova.
• O enunciado de alguns axiomas.
• As definic¸o˜es de aˆngulo, segmento de reta, semiplano, semi-reta e inte-
rior de um aˆngulo.
Exerc´ıcios
1. Retorne ao in´ıcio do texto da aula e releia apenas os axiomas.
2. Diga se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa.
• Por um ponto passam infinitas retas.
• Por treˆs pontos dados passa uma reta.
• Quatro pontos dados, todos distintos, determinam duas retas.
• Se dois pontos distintos A e B pertencem a`s retas r e s, enta˜o
r = s.
• Duas retas distintas que teˆm um ponto em comum sa˜o concorren-
tes.
• Quatro pontosdistintos, sendo apenas treˆs deles colineares, deter-
minam quatro retas.
CEDERJ 16
Noc¸o˜es elementares
MO´DULO 1 - AULA 1
3. Dados treˆs pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos
eles determinam?
4. Dados dois pontos distintos A e B, quantos segmentos ha´ com extre-
midades A e B? Quantos segmentos ha´ que passam pelos pontos A e
B?
5. Fac¸a um desenho onde constem pontos A, B, C, D e E, e retas r e s,
satisfazendo ao mesmo tempo os itens a seguir:
• r e s na˜o sa˜o coincidentes,
• A ∈ r e A ∈ s,
• B ∈ r e C ∈ r,
• B e C esta˜o em semiplanos opostos com respeito a s,
• D e E esta˜o em semiplanos opostos com respeito a r, e nenhum
dos dois pontos pertence a s.
Existem va´rios desenhos poss´ıveis com essas propriedades. Entretanto,
todos teˆm algumas coisas em comum. Por exemplo, em todos os de-
senhos poss´ıveis, r e s na˜o sa˜o paralelas, e se voceˆ trac¸ar a reta
←→
DE,
esta sera´ concorrente com r. Se
←→
DE sera´ concorrente ou na˜o com s, vai
depender do desenho que voceˆ fizer. Desenhe as duas possibilidades.
6. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a intersec¸a˜o de AB e CD e´
o conjunto vazio, mas
←→
AB e
←→
CD teˆm um ponto em comum.
7. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a intersec¸a˜o de AB e CD e´
o conjunto vazio, mas
←→
AB =
←→
CD.
8. Escreva o que significa dizer que treˆs pontos na˜o sa˜o colineares.
17 CEDERJ