Aula 27

= 5, em ú S = { 2 }.
(b) 2x2 – 3 = 5 em ÷ S = { 2, –2}.
(c) 5 – x > 4, em ú S: 1 > x.
(d) x2 > 4 em ù S: x > 2, onde x é natural.
(e) x2 > 4, em ú S: x > 2, onde x é real.
ATIVIDADE
Conjectura 3 – Os alunos aplicam o modelo da proporcionalidade em 
funções não-lineares. 
Um caso muito comum de erro no estudo das funções, no Ensino 
Médio e no Ensino Superior, é aplicar o modelo de linearidade em funções 
não-lineares. Em termos matemáticos, é aplicar a propriedade f (x + y) 
= f(x) + f(y), sem qualquer cuidado!
Esta propriedade, nas funções reais, é válida somente na 
função linear, dada pela lei f(x) = ax, que é o modelo matemático para 
proporcionalidade. A noção de proporcionalidade é provavelmente a 
idéia mais difundida na cultura de todos os povos e seu uso universal 
data de milênios. Isto não signifi ca que seja uma justifi cativa para tal 
uso sem qualquer investigação por parte dos alunos. Pode ser também 
pela facilidade e rapidez de aplicação de tal propriedade.
Veja o que acontece com a função f(x) = x. 
Aplicando a propriedade f(x + y) = f(x) + f(y), temos:
f(x + y) = x + y e f(x) + f(y) = x + y.
Para x = 9 e y = 4, temos: 9 + 4 = 13 e 9 + 4 = 3 + 2 = 5.
Esta propriedade não é válida para esta função, pois você viu, por 
meio de um exemplo, que 13 ≠ 5.
O mesmo acontece com a função quadrática f(x) = x2. 
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Veja: f(x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e f(x) + f(y) = x2 + y2.
Ao observar a forma geral, você já percebeu que os resultados não 
são iguais, mas como é freqüente os alunos usarem equivocadamente 
(x + y)2 = x2 + y2, vamos pegar um exemplo para x = 2 e y = 3. Observe 
que (2+3)2 = 52 = 25 e 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Uma estratégia para minimizar esses erros é confrontá-los com os 
mesmos e utilizar valores numéricos para encontrar contra-exemplos. 
É importante que o professor, ao perceber esses erros, atue de forma 
efetiva, pois é comum os alunos carregarem alguns desses erros durante 
sua vida escolar.
6. Aplique a propriedade f(x + y) = f(x) + f(y) nas funções a seguir e verifi que 
sua validade para os valores numéricos dados para x e y. 
(a) f(x) = sen x x = y = π
2
.
(b) f(x) = log x x = 2 e y = 8.
(c) f(x) = |x| x = –5 e y = 5.
ATIVIDADE
Conjectura 4 - As operações com frações não funcionam da mesma forma 
que as operações com números naturais.
Muitos erros são cometidos por alunos nas operações com 
números. A adição de frações é um bom exemplo disso. Freqüentemente, 
vemos os alunos fazendo a adição:
a
b
 + c
d
 = a + c
b + d
.
Nesse caso, o aluno não vê cada uma das frações representando 
um número. Eles consideram que o numerador e o denominador são 
dois números naturais independentes. 
Um fato que reforça essa idéia é que isso acontece na multiplicação 
de frações, ou seja, multiplicamos os numeradores e os denominadores. 
Por exemplo: 1
2
 . 1
3
 = 1
6
.
Esses erros persistem, pois há falta de construção de signifi cado das 
operações com frações. Geralmente, é enfatizado o uso de regras, e os alunos 
também têm a tendência de generalizar as regras mais fáceis.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Álgebra! Porque tantos erros?
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ATIVIDADE FINAL
Responda às perguntas.
a. Se p lápis custam c centavos, quantos lápis se podem comprar com r reais?
b. Dado que 2x = 8y + 1 e 9y = 3x – 9, ache o valor de x + y.
CONCLUSÃO
Não é tarefa fácil mergulhar nos erros dos alunos e transformá-
los num aliado para a aprendizagem. As práticas pedagógicas, de 
maneira geral, baseiam-se nos acertos dos alunos, o que, sem dúvida, é 
mais simples. Mas se seu objetivo é transformar e interferir de maneira 
signifi cativa na formação do seu aluno, aguce a sensibilidade, questione, 
ouça e discuta sobre os erros. Levante suas conjecturas a respeito do 
erros de seus alunos e invista em soluções criativas. 
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Para que ocorra o aprendizado no ensino da álgebra nos Ensinos Fundamental e 
Médio, é necessário trabalhar em uma perspectiva de construção de signifi cado. 
O excesso de manipulação puramente técnica faz com que os alunos cometam 
muitos erros com freqüência.
De acordo com a conjectura 1, alguns erros algébricos ocorrem porque o aluno 
generaliza situações válidas na Aritmética, na Álgebra. Já na conjectura 2, temos 
a discussão das diferentes características dos conjuntos numéricos e os equívocos 
que a não-compreensão dessas diferenças podem proporcionar.
A conjectura 3 traz uma importante discussão: a necessidade de trabalhar modelos 
não-lineares, que não abordam a proporcionalidade, enquanto na conjectura 4 
discutimos as operações com números naturais e frações.
Essas quatro conjecturas categorizam os erros comuns de álgebra no Ensino 
Fundamental e Médio e dão condições para refl exão sobre as difi culdades com a 
manipulação algébrica.
R E S U M O
AUTO-AVALIAÇÃO
Nesta aula, discutimos sobre um assunto muito presente nas salas de aulas. É muito 
comum os professores de Matemática fi carem “chocados” com os erros de álgebra 
do aluno, como, por exemplo, 1
5
 + 4
7
 = 5
12
 ou 2 + x
2 + y
 = x
y
. Defendemos a idéia de que 
muito desses erros ocorrem pela falta de signifi cado com que são trabalhados.
Os erros da álgebra devem ser um assunto de refl exão a você, futuro professor 
de Matemática, que em breve estará vivenciando essas difi culdades com seus 
alunos. Fique bem atento, na Atividade 4, aos erros que são cometidos. Você teve 
difi culdade de identifi car algum deles? Se teve, discuta com seu tutor. É interessante 
que você perceba também que a apropriação de algumas técnicas não ocorre de 
um momento para outro, elas devem ser amadurecidas.
Dê uma atenção especial às Atividades 5 e 6. A Atividade 5 chama a atenção para 
a resolução de equações em diferentes conjuntos numéricos, fato pouco explorado 
no ensino. Já na Atividade 6, discutimos em que modelos aplicamos a propriedade 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
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RESPOSTAS
Atividade 3
n3 – n = n (n2 - 1) = n (n + 1) (n – 1).
Alterando a ordem dos fatores, temos (n – 1) n (n + 1); com isso, podemos dizer 
que n3 – n representa o produto de três números inteiros e consecutivos.
Atividade 4
a. 5.
b. 55.
c. r2s5.
d. a + b – 3c – 3d.
e. x – 12 + 2y
4
 .
f. 3x + 4y.
g. 3
a
 .
h. t2 + a2.
i. r + s
t + s
 .
j. –1
b – a
 .
l. a + c
bd
 .
m. ay
b
 .
n. x + y
1 + z
 .
o. i a . i b = –1 ab.
p. t > –4.
q. y
y – x
 
r. a7.
s. 81a4.
t. a
2 + b2
ab
 .
u. a2 + 8a + 16.
v. x – 6 + y
4
 .
x. b10.
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Atividade 5
(a) Errada, são duas soluções, 2 e –2, pois 2x2 = 8 → x2 = 4 → x = 2 ou x = –2.
(b) Correta, solução em (a).
(c) Correta, pois 5 – x > 4 → 5 – 4 > x → 1 > x ou x < 1.
(d) Correta, pois se um número natural ao quadrado é maior que 4, esse número 
só pode ser maior que 2.
(e) Errada, pois podemos ter como solução também números menores que –2, 
pois seus quadrados também serão maiores que 4.
Atividade 6
(a) f(x+y) = sen(x+y) e f(x) + f(y) = sen x + sen y
sen(π2 + 
π
2) = sen 
π
4
 = 2
2
 e sen π
2
 + sen π
2
 = 1 + 1 = 2.
Portanto, esta propriedade não é válida para a função seno.
(b) f(x + y) = log (x + y) e f(x) + f(y) = log x + log y
log(2+8) = log 10 = 1 e log 2 + log 8 ≅ 0,301 + 0, 903 = 1,204
Portanto, esta propriedade não é válida para a função logarítmica.
(c) f(x + y) = |x + y| e