DIDÁTICA-DA-ÁLGEBRA

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DIDÁTICA DA ÁLGEBRA 
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Sumário 
 
NOSSA HISTÓRIA .......................................................................................... 2 
A HISTÓRIA DA ÁLGEBRA. ........................................................................... 3 
Álgebra elementar e abstrata 5 
A álgebra na antiguidade ................................................................................. 5 
Quais conteúdos questionar, quais saberes construírem .............................. 10 
1. Estimule as noções de divisão................................................................... 26 
2. Trabalhe com o material dourado .............................................................. 27 
3. Nunca diga que matemática é um bicho de 7 cabeças ............................. 28 
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................. 30 
Educação Matemática - Uma (Nova) Introdução, Silvia Dias Alcântara Machado, O 
Ensino de Matemática Hoje, Patricia Sadovsky, 112 págs., Ed. Ática, 
Documento Actualización Curricular para 7º Grado, da Secretaria de Educação. ... 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em 
atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. 
Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais 
em nível superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no 
desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de 
promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem 
patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou 
outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável 
e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. 
Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta 
de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor 
do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A HISTÓRIA DA ÁLGEBRA. 
 
 INTRODUÇÃO 
 
Vamos estudar nessa unidade a função da álgebra e qual a sua importância no 
processo de ensino aprendizagem. O objetivo geral da disciplina é promover entre os 
professores em formação uma melhor compreensão sobre as questões referentes ao 
ensino e à aprendizagem da álgebra e das funções na escola básica brasileira. Mais 
especificamente, pretende-se: 
1) aprofundar o conhecimento que o futuro professor já tem de suas vivências 
anteriores sobre álgebra e funções, visando à preparação para a docência na escola 
básica; 
2) abordar aspectos referentes ao pensamento algébrico e à linguagem algébrica 
em vínculo com o ensino e a aprendizagem da álgebra na escola básica; 
3) focalizar aspectos históricos do desenvolvimento da álgebra e de seu ensino, 
relacionando-os às questões do ensino e aprendizagem escolares; 
4) estudar as dificuldades em relação à aprendizagem da álgebra escolar, com 
atenção aos principais erros usualmente encontrados entre os alunos de diferentes níveis 
de ensino. As questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem do tema aqui focalizado, 
extremamente relevante nas propostas curriculares para os ensinos fundamental e médio 
no Brasil, são, simultaneamente, diversas e complexas. Considerando-se o espaço 
disponível para contemplá-las no curso, precisamos realizar escolhas que, sabemos, são 
insuficientes para prover o futuro professor dos conhecimentos que lhe serão necessários 
no exercício da docência sobre os tópicos algébricos. Procuramos, então, selecionar 
alguns assuntos cujo estudo possa ser um ponto de partida para futuros aprofundamentos 
por parte do docente1 . Os assuntos escolhidos para compor o presente texto referem-se 
a um escopo vasto: tivemos a intenção de contemplar, entre outros, as várias concepções 
de álgebra e papéis das letras ou “variáveis”; dimensões históricas da álgebra e de seu 
ensino no Brasil; perspectivas atuais para o trabalho pedagógico com a álgebra na escola 
básica; pensamento algébrico e linguagem algébrica; erros em álgebra. Organizamos o 
livro em quatro unidades, sendo cada uma delas composta por um texto e um conjunto 
de atividades a ele relacionadas. 
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Vamos entender primeiramente o que é álgebra? Trata-se do ramo da Matemática 
que testa e comprova as operações básicas e as relações entre conjuntos 
numéricos. Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa 
que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, 
multiplicação, divisão 
E AFINAL, QUAL É A SUA IMPORTÂNCIA? 
 
Nesse sentido, um dos ramos da matemática que se pode destacar é 
a Álgebra que também é de extrema importância para a humanidade, uma vez que esse 
ramo permite manipular equações que são vistas em muitas aplicações 
no nosso cotidiano, como: confiabilidade de produtos, crescimento populacional e etc. 
 
Diferentemente da aritmética que apenas trabalha com números e suas devidas 
operações, a álgebra proporciona a possibilidade de trabalhar com símbolos no lugar dos 
números, além disso, ela apresenta três repercussões muito importantes para o campo 
da matemática. 
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Em primeiro lugar permite que equações aritméticas simples possam ser generalizadas 
de forma que possam constituir uma lei. Por outro lado, permite também referenciar 
números que não se conhecem, mas que podem descobrir-se através de uma formulação 
e da resolução das equações. E finalmente, a álgebra nos dá à possibilidade de 
estabelecer relações matemáticas entre quantidades. 
Álgebra elementar e abstrata 
A álgebra pode ser dividida em dois ramos bem diferenciados: a elementar e a abstrata. 
A primeira inclui os conceitos mais básicos da matemática, enquanto que a abstrata 
estuda as estruturas algébricas. 
A álgebra na antiguidade 
 
Da mesma maneira que acontece com a história da matemática em geral, a origem da 
álgebra se encontra nas antigas civilizações da Babilônia e do Egito. Estes foram os 
primeiros lugares que puderam resolver as equações quadráticas e lineares, além das 
equações indeterminadas por múltiplas incógnitas (no caso dos babilônios). 
Para muitos estudiosos, o matemático alexandrino Diofante é considerado o pai da 
álgebra. Ele uniu a tradição egípcia e babilônica ampliando e melhorando-a em seu livro 
“As Aritméticas”, da qual apresenta muitas soluções para as equações indeterminadas 
que ainda até hoje são surpreendentes. 
A partir daí o estudo da álgebra chegou ao mundo islâmico terminando de aprimorar o 
que chamavam de ciência da redução, impulsionando definitivamente a álgebra como 
parte essencial dos estudos matemáticos. 
A constatação definitiva destes avanços se consolidaria a partir do momento que os 
matemáticos árabes desenvolveram conceitos fundamentais da álgebra moderna como 
os binômios e os polinômios. 
Matemática: a definição de álgebra 
Você sempre ouviu falar de álgebra sem realmente saber o significado desse 
termo? Estamos aqui para explicar o que este ramo da matemática significa! 
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A álgebra pode ser como chinês para uma pessoa que ainda não a dominou. No 
entanto, as soluções costumam ser muito mais simples do que imaginamos! 
Tomando emprestada sua etimologia da língua árabe, a álgebra tem sido usada há 
séculos pelos maiores pensadores do mundo, como o matemático e astrônomo do século 
IX Al-Khwarizmi. Desde a antiguidade, e particularmente no Egito e no Oriente Médio, as 
pessoas começaram a resolver problemas mais ou menos complexos para lidarcom 
certas situações cotidianas. 
No entanto, será necessário aguardar o ano 1000 para que o zero faça sua primeira 
aparição graças aos pesquisadores e matemáticos indianos. Até o século XVII, a álgebra 
ainda era vista como uma extensão da aritmética e não como uma disciplina com área 
própria. 
Mas é realmente durante o século XX que o termo álgebra tomou todo o seu 
significado. A partir de então, os matemáticos começaram a substituir as figuras usuais 
por objetos. Foi também durante este período contemporâneo que a álgebra linear se 
desenvolveu, um ramo matemático interessado em espaços vetoriais e transformações 
lineares. 
A álgebra é agora considerada como o ramo matemático da resolução de um 
problema por meio de símbolos precisos, a fim de generalizar os resultados matemáticos. 
Então, por que não mergulhar na história da matemática para entender melhor o 
interesse do cálculo algébrico? 
 
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As regras básicas da álgebra 
Não há necessidade de ser um grande matemático como Euclides para 
compreender as regras básicas da álgebra: estas são facilmente memorizadas com um 
pouco de prática! 
O cálculo algébrico difere da aritmética, já que abstrações são usadas aqui, como 
letras para significar figuras cujo valor é desconhecido. Usar essas letras pode, às vezes, 
fazer com que o exercício pareça muito mais complicado do que realmente é. Na verdade, 
a álgebra está lá para facilitar o trabalho de matemáticos de nível iniciante ou avançado. 
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É fundamental que o educando consiga assimilar os conceitos básicos da 
aritmética e as primeiras regras da álgebra: 
 Analisar objetos simples e objetos complexos, 
 Realizar bem a subtração, 
 Multiplicação, com produtos simples, números complexos, fatoração, 
 A divisão euclidiana, 
 Aprender a reduzir uma expressão, desenvolver uma expressão e fatorar uma 
expressão, 
 Várias regras, como polinômios e produto. 
O educador deve orientar o seu aluno que têm conceitos matemáticos que é 
necessário o processo de memorização, por exemplo, a regra de prioridades, que é 
essencial para resolver um problema algébrico. Os parênteses sempre têm prioridade 
sobre todos os outros cálculos; Em seguida vêm as chaves, depois os colchetes, os 
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produtos e os quocientes e, finalmente, as somas e as diferenças. Se o aluno seguir todas 
essas regras, ele será capaz de superar os problemas mais complexos da matemática, 
além disso, é necessário ensinar ao aluno a prática de conferência, ensinando sempre a 
tirar a prova dos caçulos, fazendo a revisão dos mesmos. 
O ensino da álgebra 
Para que a introdução à álgebra seja natural, é preciso questionar conhecimentos 
aritméticos e mostrar como eles são usados nas equações 
Durante os primeiros anos da Educação Básica, a garotada está acostumada a 
estudar Matemática com problemas aritméticos que envolvem as quatro operações, 
trabalhadas numa complexidade crescente de números grandes, frações e racionais. 
Letras são usadas somente para representar grandezas, como "m" para metro, "g" para 
grama e "l" para litro. Imagine, então, o susto dos alunos ao chegar ao 6º ou 7º ano e dar 
de cara com uma questão do tipo 2a + 13 = 33. Não bastasse saber somar, subtrair, dividir 
e multiplicar, agora eles precisam desvendar o valor das letras. Mas como fazê-lo se a 
"conta" aparentemente já está resolvida? Afinal, ao contrário do que acontecia até esse 
momento, tem um número depois do sinal de igual. 
 
 
O estranhamento na cabeça das crianças é natural. "Elas sentem a perda de 
sentido do que já sabem e julgam as dificuldades operatórias difíceis de serem 
superadas", diz Ivone Domingues, coordenadora pedagógica da área de Matemática da 
Escola da Vila, em São Paulo. De fato, a compreensão da álgebra - a parte da disciplina 
que estuda leis e operações com entidades abstratas, geralmente utilizando letras para 
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representar valores desconhecidos - exige que a turma repense saberes que funcionavam 
bem com as operações aritméticas. A pesquisadora argentina Patricia Sadovsky defende 
que seu papel, professor, é fundamental para apresentar a passagem da aritmética à 
álgebra como continuidade e não como ruptura. 
De acordo com Patrícia Sadoysky, percebemos a necessidade de se fazer o ensino 
de matemática de forma mais natural, leve e prazerosa. Infelizmente o que se vê na 
grande maioria das escolas um fracasso acentuado dos alunos do 6º e 7º anos, 
principalmente na matemática. As razões para isso acontecer justamente essa ruptura do 
conhecimento, além de todos os processos biológicos que o adolescente passa nessa 
fase, ele se depara na escola com uma forma totalmente diferente, abstrata, fria e longe 
para se aprender a matemática. Outro fato a observar é que a maioria dos educadores, 
lamentavelmente, dá seqüência no conteúdo normal, sem perceber ou às vezes 
ignorando se a turma está ou não acompanhando o seu raciocínio, muitas vezes esse 
educador não tem paciência para esperar o educando ou até mesmo para voltar no 
conteúdo prévio para que a turma realmente se alinhe pedagogicamente. O mais 
conflitante, que têm ocorrido, é que a maioria dos adolescentes chega nessa fase sem 
dominar os conceitos básicos da aritmética, as quatro operações básicas, isso sim, 
compromete todo o processo de ensino aprendizagem, uma vez, que na maioria desses 
casos, o aluno vai necessitar não somente de um professor sensível e paciente, mas sim 
de um apoio pedagógico extra –turno tanto na escola como em casa. 
Quais conteúdos questionar, quais saberes construírem 
A chave é mostrar que tudo que se aprendeu nas séries iniciais segue sendo válido. Mas 
que, quando se trata de resolver equações, alguns procedimentos precisam ser 
modificados. A sequência de operações é um deles. Durante o trabalho aritmético, as 
crianças costumam lidar com problemas que pedem resultados com base em dados 
previamente estabelecidos, que se caracterizam pela importância da obtenção de 
informações intermediárias. Como o que ocorre em "Tenho 200 bonequinhos e comprei 
mais 50. Depois, dei 30 para meu amigo. Com quantos fiquei?". O mais usual, em 
situações como essa, é realizar as operações em sequência (primeiro, somam-
se 200 e 50. Depois, subtrai-se 30 desse total). No fim, chega-se ao resultado - quase 
sempre, um número "de verdade". 
 
 A álgebra opera por uma lógica diferente. Considere o seguinte exemplo: 
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"Sabendo que o produto de dois números é 5.542, qual será o resultado se 
somarmos 1 ao primeiro dos números e depois o multiplicarmos pelo segundo?" Perceba 
que o passo a passo aritmético não funciona nesse caso. Aqui, a tradução para a 
linguagem matemática tem de envolver, de uma vez só, todas as informações, gerando 
duas equações: a x b = 5.542 e (a + 1) x b = c, sendo "a" e "b" os dois 
números multiplicados e "c" o valor pedido no enunciado. 
 
Ilustrações: Beto Uechi 
Outra diferença importante - dessa vez, relacionada a um conceito - diz respeito ao 
sinal de igual. A turma pode ter se acostumado a entender que o que está do lado 
esquerdo da igualdade são as parcelas da conta e o que vem do lado direito, logo depois 
do "=", é o resultado, geralmente expresso por um único número. Equações do tipo 7a + 
7 = 4a + 19 questionam essa interpretação (nesse exemplo e nos próximos, consideramos 
que expressões do tipo "7a" e "4a" e "ab" indicam multiplicações entre o primeiro e o 
segundo elemento, como 7 x a e 4 x a e a x b). Sua tarefa, aqui, é mostrar que, mais do 
que um indicar resultado, o sinal de igual serve para mostrar uma equivalência. O paralelo 
com a aritmética ajuda: indique que 144 + 50 não somente "é igual a" 194 mas também 
equivale a 194, da mesma maneira como 130 + 64 ou então 200 - 6, entre outras 
possibilidades. 
 
Em seguida, é preciso construir novos conhecimentos. É fundamental explicar o que 
significam os tais "a", "b" e"c" que aparecem nas operações. Não basta dizer que são 
"números desconhecidos": dependendo do contexto matemático, as letras podem se 
comportar como incógnitas (valores fixos) ou variáveis (que podem assumir diversos 
valores). Uma boa maneira de sublinhar essa diferença é pela comparação de problemas. 
Suponhamos que um primeiro busque o número de triciclos e bicicletas numa garagem, 
explicitando que há 100 rodas no total. A resposta, então, é 3t + 2b = 100, com muitos 
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valores possíveis para a quantidade de triciclos ("t") e bicicletas ("b"). Isso ocorre porque 
faltam elementos que determinem a situação: se tenho oito triciclos, serão 
necessariamente 38 bicicletas (3 x 8 + 2b = 100; 24 + 2b = 100; 2b = 100 - 24; 2b = 76; b 
= 38). 
 
 A segunda proposta tem os mesmos dados e busca encontrar o número de 
bicicletas. No entanto, revela que há 10 triciclos. Assim, resta somente uma variável (o 
número de bicicletas), que, por estar envolvida com outros elementos fixos (3 x 10 + 2b = 
100), é uma incógnita, um número determinado: se 10 triciclos somam 30 rodas, 
as 70 restantes são divididas pelas bicicletas, resultando 35. 
 
As boas estratégias didáticas incluem etapas de generalização 
Agora que já sabemos o que fazer, vamos discutir como apresentar esses 
conteúdos à garotada. Uma coisa é certa: os especialistas não recomendam despejar, 
logo de cara, um caminhão de algoritmos repleto de letras. "A generalização, algo 
essencial para o entendimento dos conceitos algébricos, não nasce do acúmulo de 
evidências pontuais em exemplos", afirma Ivone. Em vez disso, é mais adequado propor 
atividades em que a própria turma identifique essas regularidades partindo das operações 
já conhecidas. 
 
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Uma possibilidade é o seguinte exemplo: "Sabendo que o produto de dois números 
é 9.876, é possível conhecer o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo?" Com 
o apoio da aritmética, é natural que os alunos, primeiro, pensem em diversos valores para 
alcançar 9.876, algo mencionado no início do enunciado. Eles podem chegar a diferentes 
pares de números: 9.876 e 1 e 4.938 e 2, por exemplo. Com esses dados, conseguem 
terminar o problema. Com o primeiro par, temos 9.876 x 2 = 19.752 e 1 x 3 = 3, que 
multiplicados entre si resultam em 59.256. Com o segundo, 4.938 x 2 = 9.876 e 2 x 3 = 6, 
que multiplicados resultam, de novo, em 59.256. 
 
 Com as sucessivas tentativas, a garotada vai concluir que o resultado que 
buscamos (o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo) independe dos fatores 
em questão. Aí, sim, é hora de mostrar que a Matemática possui uma maneira de escrever 
esse tipo de raciocínio generalizado, simplificando o processo (no exemplo, ab = 9.786 e c 
= 2a x 3b = 6ab = 6 x 9.786 = 59.256, sendo "c" o número pedido no enunciado). A notação 
obtida pela aplicação de propriedades multiplicativas (comutativa e associativa, 
aprendidas no estudo da aritmética) aponta que a resposta esperada (o "c") é seis vezes 
o resultado inicial, sem que seja necessário descobrir "a" e "b". 
Desafios com conceitos geométricos também colaboram na construção da generalização. 
Por exemplo, uma sequência de bolinhas que forme quadrados perfeitos. A primeira 
sequencia de bolinhas figura tem uma bola: 
 
FIGURA 1 
 
 
A segunda leva duas bolinhas na base e duas na altura, totalizando 4: 
 
FIGURA 2 
 
 
 
 
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A terceira tem três na base e três na altura, somando 9: 
 
FIGURA 3 
 
 
 Desafie a classe a descobrir quantas bolinhas terá a figura 5. Observando os 
quadrados anteriores, alguns alunos vão notar que o total de bolinhas é dado pelo número 
da figura multiplicado por ele mesmo. Outros argumentarão que o resultado pode ser 
obtido multiplicando o número de bolinhas da base pelo da altura. Os dois caminhos estão 
certos. 
 
 Com base nessas observações, a garotada concluirá que, para a quinta figura, o 
total é 25. Nesse momento, você pode propor a sistematização matemática da descoberta 
ao mostrar uma fórmula do tipo t = n X n, sendo "t" o total de bolinhas e "n" o número de 
bolinhas da base e da altura ou o número da figura. 
 
 Por meio dessas estratégias, os estudantes compreendem que a elaboração de 
fórmulas é a forma convencional de generalizar um raciocínio. Aprendendo a montar 
algoritmos e equações e sabendo o significado das letras que representam incógnitas e 
variáveis, eles entendem melhor a lógica que estrutura a álgebra e comprovam sua 
utilidade. 
Essa forma prática e concreta de aplicar as operações matemáticas é 
fundamental para que a criança construa os conceitos de forma operatória, ou seja, ela 
participando do processo, elaborando e reelaborando as hipóteses, através de desafios 
lançados pelo professor. Com essa base construída o aluno conseguirá compreender e 
raciocinar de forma lógica, abstrata e conclusiva diante dos problemas ou desafios 
matemáticos. 
 
 
 
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Álgebra desde cedo 
Mesmo nas séries iniciais, as crianças já são capazes de resolver problemas 
algébricos usando tabelas e até equações para organizar seu raciocínio. O ensino 
tradicional da Matemática prevê que, nos primeiros anos da Educação Básica, o aluno 
resolva problemas aritméticos com níveis de dificuldade crescente. Depois, quando 
estiver no 6º e no 7º ano, ele vai ser apresentado ao uso das letras para a resolução de 
problemas de álgebra. Esse modo de organizar o ensino é bastante praticado e permite 
bons resultados. Porém a pesquisadora argentina Bárbara Brizuela, radicada há 15 anos 
nos Estados Unidos e docente da Faculdade de Educação da Universidade de Tufts, em 
Boston, indica outro caminho possível, tomando como base suas investigações com 
crianças norte-americanas de 7 a 9 anos. Segundo ela, é possível ensinar álgebra desde 
cedo e permitir aos pequenos que usem notações - representações por escrito de suas 
ideias - para ajudar a construir o raciocínio (veja ao longo desta reportagem respostas de 
alunos para alguns problemas propostos pela pesquisadora para o ensino do uso de 
tabelas e equações e a análise feita por ela com base nesse material). 
 
 
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Pensamento ordenado 
 
Ao colocar numa folha o que pensa e como pensa, a criança reflete sobre seu modo de 
raciocinar e pode alterar sua prática 
 
Problema 
Objetivo: uso de tabelas 
 
Dia 1: Três irmãos guardavam em cofres o dinheiro recebido da avó. Um dia, contaram 
quanto cada um tinha: Jessica tinha 7 dólares, Daniel, 4 dólares, e Leslie, nada. Mostre 
quanto dinheiro cada um tem. 
Dia 2: A avó deu a cada criança 2 dólares. Com quanto dinheiro ficou cada um? 
Dia 3: A avó visitou novamente as crianças e deu 3 dólares para os netos. Mostre em 
uma tabela com quanto dinheiro ficou cada um, representando as situações do dia 1, 2 e 
3. 
 
LÓGICA PESSOAL Mesmo tendo visto uma tabela convencional, o aluno optou por 
não criar uma coluna para cada nome de criança, mas usar as iniciais 
Ilustração baseada na resposta de Joey (7 anos, aluno de 2º ano) 
Fotos: Paulo Vitale 
A partir dessas pesquisas podemos concluir que as crianças muito pequenas são 
capazes de usar tabelas para resolver problemas, muito interessante não? Cada uma 
interage ativamente com o objeto de estudo em questão (as tabelas). Existe uma lógica 
por trás das decisões e das respostas que devemos nos dedicar a compreender. 
Também é possível observar que as crianças conseguem fazer uma coerência no que 
inicialmente poderia parecer um erro. Por exemplo, repetir a letra inicial do nome das 
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crianças antes do valor em dinheiro (como no exemplo acima). 
A maneira de organizar a informação tem um impacto na forma como compreendemos (e 
eventualmente reorganizamos) um problema. Cada representação ressalta certos 
aspectos dele enquanto esconde outros. 
Percebemos que ensinar álgebra nos primeiros anosda escolaridade não é 
precoce. "As crianças pequenas não sabem falar e, nem por isso, os adultos deixam de 
conversar com elas. Elas não escrevem e não leem, mas sabe-se que é preciso ler para 
elas e deixar que tentem escrever." 
A mesma coisa nos acontece ao aprender uma língua estrangeira: "Não é 
necessariamente mais fácil aprender inglês ou espanhol quando se tem mais idade". Por 
isso, suas análises fazem questionamentos sobre por que não se propõem problemas 
algébricos também para os pequenos e por que se acredita que seja melhor esperar as 
crianças ficarem mais velhas para, então, apresentar-lhes letras representando números. 
 
 Outra constatação indica que há alternativas às didáticas habituais. De acordo com 
o estudo, não é essencial ensinar o uso de tabelas, gráficos e equações com base em 
referências prontas e acabadas: "O uso da linguagem convencional não importa em um 
primeiro momento. A aprendizagem algébrica deve ser vista como um processo. Nem 
automático nem rápido, mas que depende de um trabalho intelectual genuíno das crianças 
para que se apropriem das representações. Em uma das atividades apresentadas aos 
alunos, era solicitada a criação de uma tabela. Eles não eram avisados, mas, na última 
folha do exercício, havia uma tabela pronta. Curiosamente, o único aluno que descobriu 
a referência, mesmo copiando o que via, produziu uma tabela diferente daquela 
convencional. 
As representações em papel são o próprio raciocínio 
 
 Em estudos realizados sobre a aquisição dos conhecimentos observamos alguns 
teóricos que se destacam com essa análise, como Barbara. Que o aluno deve é capaz 
desde pequeno de construir seus conceitos, desde que seja bem monitorado e estimulado 
pelo educador. Na palestra que fez na Semana da Educação, organizada pela Fundação 
Victor Civita (FVC) de 14 a 16 de outubro, em São Paulo (leia mais sobre o programa do 
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evento no quadro acima), ela mostrou como suas ideias se baseiam em estudos de uma 
série de pesquisadores renomados, como Gérard Vergnaud (que diz que as 
representações simbólicas ajudam os pequenos a resolver problemas), Claude Lévi-
Strauss (que as chama de ferramentas amplificadoras e diz que elas permitem o controle 
de recursos dentro da cultura) e Lev Vygostky (1896-1934), que analisa o impacto do uso 
das ferramentas para as transformações intelectuais do indivíduo. 
 
 No Brasil, essa preocupação tem ligação com o que se denomina 
tratamento da informação. Esse é um dos blocos de conteúdo de Matemática descritos 
nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) para o Ensino Fundamental. O 
documento diz que o "trabalho a ser desenvolvido a partir de coleta, organização e 
descrição de dados possibilita aos alunos compreenderem as funções de tabelas e 
gráficos, usados para comunicar esses dados: a apresentação global da informação, a 
leitura rápida e o destaque dos aspectos relevantes". 
 
Problema 2 
Objetivo: uso de tabelas 
Raymond tem certa quantidade de dinheiro. Sua avó lhe oferece duas opções. A 
primeira: duplicar seu dinheiro. A segunda: triplicar seu dinheiro e, em seguida, tirar 7 
dólares. Qual a melhor opção para Raymond? Existe alguma opção sempre melhor? 
Mostre seu trabalho na folha de papel. 
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SIMPLES E DIRETO A aluna não precisou construir uma tabela para resolver o 
problema. Em vez disso, ela desenhou uma escala de valores para indicar as melhores 
opções 
Ilustração baseada na resposta de Jennifer (8 anos, aluna de 3º ano) 
 
 A partir desse exemplo, observa-se que os sistemas de representação 
externos (tabelas formuladas de acordo com regras convencionais) podem se tornar 
objetos de reflexão para os estudantes. É preciso dar importância ao equilíbrio entre 
apresentar às crianças representações convencional e aceitar as que fazem 
espontaneamente (como no exemplo acima). Percebeu-se também que a interação 
entre diferentes sistemas de representação é muito importante para o desenvolvimento 
do pensamento matemático dos pequenos. 
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 Fica evidente que as anotações são instrumentos fundamentais para as crianças 
aprenderem quaisquer conteúdos. E a importância dessas representações fica bem 
clara nos resultados do projeto Álgebra desde Cedo (Early Algebra, no original em 
inglês). No projeto, a aritmética e a álgebra não são estudadas de modo estanque, mas 
desde as séries iniciais. "Dessa forma, quando as crianças chegam aos 13 ou 14 anos, 
não estranham que haja incógnitas ou variáveis nos problemas e conseguem resolvê-los 
com propriedade", explica. E faz um alerta: "A maioria dos alunos tem problemas com 
Matemática nessa faixa etária. A deficiência não deve ser deles, mas infelizmente pode 
ser nossa, porque muitas vezes o educador fica procurando quem é o culpado do aluno 
não conhecer esse ou aquele conhecimento prévio, mas se esquece de assumir o seu 
próprio papel de professor que intervém e assume o processo de aprendizagem do seu 
aluno. 
BOM SABER 
 
Problema 3 
Objetivo: uso de equações 
Duas alunas vão à frente da sala e recebem diferentes quantidades de doces. São elas: 
Briana: 2 tubos, 1 caixa e 7 doces soltos 
Susan: 1 tubo, 1 caixa e 20 doces soltos 
Sabe-se que: 
a) Cada caixa contém a mesma quantidade de doces. 
Desde 1998, a pesquisadora investiga os efeitos da aprendizagem de álgebra por 
crianças menores. Bárbara e uma equipe, que inclui a brasileira Ana Lúcia Schliemann, 
lecionam em uma escola pública norte-americana na periferia da cidade de Boston. O 
trabalho deles é propor atividades algébricas durante uma hora, uma ou duas vezes 
por semana. As mesmas turmas são acompanhadas durante três anos, e os avanços, 
as dúvidas e as mudanças de estratégias são identificadas nas produções e em 
entrevistas e atividades filmadas. Com esse acompanhamento, é colocado em análise 
o impacto do contato das crianças com a álgebra ao longo da escolaridade. Ao 
conversar com os pequenos enquanto eles "escrevem Matemática", como diz Bárbara, 
ela percebe como estão inventando e examinando símbolos para fazer e compreender 
a disciplina. 
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b) Cada tubo contém a mesma quantidade de doces. 
c) Cada aluno tem a mesma quantidade total de doces. 
 
MENTE EM AÇÃO Mesmo sem a solicitação de uso de equação, o aluno montou 
a igualdade, fez rabiscos para simplificar o cálculo e relacionou dados para chegar à 
solução 
Ilustração baseada na resposta de Albert (9 anos, aluno de 4º ano) 
Conclusões sobre a pesquisa: 
- A maioria das crianças representou o problema com desenhos. Um terço delas incluiu 
uma equação no trabalho escrito e mais de um terço usou uma letra para representar 
um ou mais desses valores (como no exemplo acima). 
- Elas podem tanto usar equações como letras para representar variáveis e incógnitas 
enquanto resolvem problemas algébricos. Essas notações são intrínsecas à álgebra e, 
por isso, devem ser levadas em conta ao abordar o ensino e a aprendizagem desse 
conteúdo. 
- A possibilidade de usar equações e letras para representar variáveis ou incógnitas 
pode facilitar a resolução de problemas algébricos. 
As formas convencionais de representar os problemas algébricos são solicitadas pelos 
profissionais desde o primeiro dia de aula e as crianças passam a se apropriar dessa 
linguagem específica. Enquanto algumas preferem desenhar para expressar suas ideias, 
outras constroem tabelas e gráficos ou, ainda, usam pontos de interrogação ou letras para 
sinalizar incógnitas e variáveis. Nem todos os tipos de notação colaboram para todos os 
problemas a resolver. Porém cada representação facilita alguns processos. Aos poucos, 
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os alunos vão aprendendo a elegê-las e usá-las. Nesse processo, é importante que as 
crianças construam entendimentos e façam interpretações. 
 
No livro Desenvolvimento Matemático na Criança: Explorando Notações, o único 
de Bárbaratraduzido para o português, ela explica que "o fazer e o conceber matemáticos 
são mediados por sistemas de escrita importantes e, muitas vezes, complicados, de modo 
que a Matemática também é um tipo particular de discurso escrito". Na obra, ela cita 
também as experiências de seus vários alunos em sala de aula durante o processo de 
aprendizagem. Com base na análise dos registros deles, fica claro como é importante 
considerar as representações de cada um. Elas são mostras valiosas do modo de 
construção do conhecimento. 
 
De acordo com a Teoria do Desenvolvimento de Piaget, os quatro estágios 
cognitivos do desenvolvimento infantil são: 
 Fase sensório-motora: Nascimento até cerca de 2 anos. ... 
 Fase pré-operacional: De 2 a 7 anos. ... 
 Estágio operacional concreto: 7 a 11 anos. ... 
 Estágio operacional formal: 11 anos ou mais. 
 
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1ª Feira de matemática – Vale do rio Doce. 
Estudando cada fase e principalmente o estágio operacional- concreto (7 a11 anos) 
e o estágio operacional formal, observa-se que no estágio operacional concreto a criança 
já utiliza a lógica para solucionar problemas, mas só os concretos, como questões 
matemáticas ou relacionadas a objetos físicos. O abstrato ainda é difícil para eles. Daí 
entende-se porque a necessidade de se trabalhar concretamente, com situações 
problemas reais, próximos do cotidiano do aluno, nessa fase a manipulação de objetos e 
jogos matemáticos é fundamental para o desenvolvimento do raciocínio lógico da criança. 
Percebe-se que daí surge muitos problemas futuros para o aluno se ele não 
conseguir sistematizar e concretizar o conhecimento matemático, considerando que esse 
conhecimento é prévio e básico para que a criança possa se desenvolver nas etapas 
posteriores da matemática. 
Pode-se observar que é a faixa etária do 2º ao 5ºano, aproximadamente, fase esta 
em que os conteúdos são operacionais e podem ser transportados para o aspecto 
concreto e real da criança. 
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Já na fase do Operacional-formal, a criança já está atravessando para 
adolescência, e justamente nessa fase, se constrói o pensamento lógico formal, aos 
alunos, com desenvolvimento dentro do esperado para sua faixa etária, é capaz de 
abstrair, analisar, elaborar e reelaborar seus pensamentos, por isso é chamado de 
operacional formal ou operacional abstrato. Baseado nessa teoria do desenvolvimento de 
Piaget percebe-se que não é coincidência que a álgebra seja trabalhada a partir dos 10 
ou 11 anos, especificamente no 6º ano escolar. Porque é a fase que o aluno terá 
condições e capacidade de maturação biológica, neurológica e psicossocial para assimilar 
conhecimentos mais abstratos e complexos. Lembrando que, se esse aluno não tiver 
dominado os conteúdos básicos de aritmética, provavelmente o mesmo terá muita 
dificuldade para assimilar os conceitos e conteúdos mais complexos como a álgebra. 
 
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O 6º ano do fundamental marca uma mudança gigantesca no aprendizado de 
matemática de uma criança de 11-12 anos. Este é o momento em que a tal 
da Aritmética das continhas de mais e de menos começa a dar lugar à Álgebra. 
A Álgebra é muito importante por ser a generalização da Aritmética. Tudo o que 
fazemos com números podemos fazer identicamente com letras. E se podemos, fazemos. 
A Álgebra também se destaca por ser o pilar de desenvolvimento de raciocínios 
analíticos mais avançados, que permitem o estabelecimento e avanço de grandes áreas 
do conhecimento humano, tais como as engenharias, a estatística, a física, a matemática, 
a economia, dentre outras que dependem do formalismo matemático para sustentar seus 
resultados. 
No entanto, é uma pena que a Álgebra das letrinhas x, y, z, w, k, j, i, etc. sejam 
lembradas com tanto terror pelos estudantes. Se você, mãe ou pai, identifica que seus 
filhos talvez “não gostem de matemática”, pergunte-se se o problema não é a Álgebra. 
É comum os alunos terem dificuldades em aprender a Álgebra porque ela é uma 
área que depende diretamente do bom domínio da Aritmética. Vemos cotidianamente 
estudantes que não sabem fazer contas de 10 menos 5 sem o auxílio de uma calculadora. 
Então, se nem essa habilidade ele desenvolveu, não há surpresas quando não conseguir 
dominar os conceitos da Álgebra. 
Portanto, os educadores devem se apropriar de metodologias específicas, 
criativas e concretas para que seu aluno realmente aprenda a aritmética e a álgebra. 
Estimulá-los a desenvolverem uma noção concreta da matemática e, especialmente, das 
relações aritméticas: 
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1. Estimule as noções de divisão 
O educador pode utilizar de vários instrumentos de contagem como palitos de picolés, de 
varetas, tampinhas, até mesmo os lápis de cores. Os alunos devem experimentar, contar, 
manusear esses materiais, de preferência se for coloridos, para chamar mais atenção. A 
partir daí o professor deve elaborar probleminhas e desafios que fará o aluno pensar, 
raciocinar, podendo manusear os objetos para fazer as divisões. Depois de ele conseguir 
se apropriar do processo é interessante que se agrupem os alunos de dois ou de quatro, 
para eles dividirem entre si os objetos, e assim por diante. O aluno vai perceber que 
algumas divisões serão exatas e outras não. Mas todo esse processo deve ser mediado, 
monitorado e estimulado pelo educador, no momento certo, o professor deve fazer as 
intervenções necessárias. 
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2. Trabalhe com o material dourado 
Já ouviu falar do material dourado? Ele é um instrumento riquíssimo para ensinar aos 
alunos a diferença das ordens de grandeza entre as unidades, as dezenas, as centenas 
e o milhar. Com ele você pode realizar operações de adição, subtração, divisão, 
multiplicação – e até brincar de Lego. Esse é um material que a criança pode conhecer 
desde a Educação Infantil, com o intuito de brincar e contar. E em qualquer ano escolar 
ele pode ser muito aproveitado, desde que o educador consiga elaborar as atividades de 
acordo com o conteúdo e com os seus objetivos. 
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3. Nunca diga que matemática é um bicho de 7 cabeças 
É uma fala que ouvimos muito, principalmente vindo dos pais. Então é importante 
conscientizar os pais também, para auxiliarem nas atividades de casa e conscientizarem 
seus filhos que eles são capazes de aprender a matemática sim. 
Até mesmo entre nós educadores, é uma frase remota. Se você já tiver dito isso, repense, 
respire fundo e troque o discurso. O valor depreciativo dado pelos pais e educadores à 
matemática gera uma percepção depreciativa da matemática pelas próprias crianças. 
Trabalhando didaticamente essa matemática, podemos perceber que qualquer pessoa é 
capaz de aprender matemática, esquecer traumas antigos e começar a utilizar a 
matemática no dia-a-dia sem medo. 
A única barreira que não conseguimos destravar até hoje foi a da motivação interna. 
Pessoas que têm uma forte crença de que a “matemática é difícil demais”, ou de que 
“nunca vou aprender matemática”, geram uma profecia que se auto cumpre. Pessoas 
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que pensam a matemática como um bicho de 7 cabeças impossível de ser encarado criam 
uma mentalidade fixa e, adivinhem… não avançam na matemática. 
Portanto, você como educador, pode ajudar a quebrar esse ciclo vicioso. Reforce a 
importância da matemática, sem desculpas. Diga que a matemática é possível de ser 
aprendida por qualquer um que abra seu coração para ela (porque ela é possível de ser 
aprendida, sim!), diga que é uma matéria rica e exuberante e que abre horizontes para 
quem a domina. Isso ajudará a criar em seus alunos uma mentalidade de crescimento 
para encarar a matemática com perseverança e esperança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
 
Educação Matemática - Uma (Nova) Introdução, Silvia Dias Alcântara Machado, 
O Ensino de Matemática Hoje, Patricia Sadovsky, 112 págs., Ed. Ática, 
Documento Actualización Curricular para7º Grado, da Secretaria de Educação.