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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III – 2012/1
Segunda Prova (P2): 18/06/2012
Versa˜o: A
Formula´rio
I =
∫
S
J · nˆ dA , J = nqv , F = qE + qv ×B , dF = Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , dB =
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma espira retangular, condutora, se move numa regia˜o de
campo magne´tico gerado por um fio retil´ıneo muito longo,
transportando uma corrente estaciona´ria, como mostra a fi-
gura. A espira percorre a trajeto´ria 1 → 2 → 3 → 4. De-
termine o sentido da corrente induzida ao longo da espira em
cada uma das partes da trajeto´ria.
(a) hora´rio, na˜o ha´ corrente, anti-hora´rio, na˜o ha´ cor-
rente.
(b) anti-hora´rio, na˜o ha´ corrente, hora´rio, na˜o ha´ cor-
rente.
(c) na˜o ha´ corrente, hora´rio, na˜o ha´ corrente, anti-
hora´rio.
(d) na˜o ha´ corrente, anti-hora´rio, na˜o ha´ corrente,
hora´rio.
(e) hora´rio, na˜o ha´ corrente, na˜o ha´ corrente, anti-
hora´rio.
(f) anti-hora´rio, na˜o ha´ corrente, anti-hora´rio, na˜o ha´ cor-
rente.
2. Um capacitor de placas paralelas e circulares esta´ inicialmente
descarregado. A partir de um certo instante, ele comec¸a a
ser carregado por uma corrente na˜o estaciona´ria. Durante
tal processo de carga, considere as seguintes afirmativas: (I) o
campo ele´trico entre as placas e´ diferente de zero; (II) o campo
magne´tico entre as placas e´ zero, e (III) o campo magne´tico
fora das placas e´ diferente de zero. Indique a alternativa que
registra qual(is) dessas afirmac¸o˜es e´(sa˜o) correta(s).
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II e III.
(h) Nenhuma.
3. Um acelerador de part´ıculas e´ projetado para desviar um
pro´ton de massa M e carga e, que incide com velocidade
vi = v0xˆ e que devera´ ser defletido para sair com uma nova
velocidade vf = −v0yˆ, conforme mostra a figura. Determine
o vetor campo magne´tico B para que isso acontec¸a.
(a) B = −
Mv0
ed
zˆ.
(b) B =
Mv0
ed
zˆ.
(c) B = −
Mv0
eL
zˆ.
(d) B =
Mv0
eL
zˆ.
(e) B = −
Mv0
e(d+ L)
zˆ.
(f) B =
Mv0
e(d+ L)
zˆ.
1
4. Considere uma espira retangular pela qual passa uma corrente
ele´trica estaciona´ria de intensidade I. O sistema de eixos foi
escolhido de modo que a espira se encontra no plano XZ e o
sentido da corrente na espira esta´ indicado na figura.
Sabe-se que o campo magne´tico na regia˜o onde a espira se en-
contra e´ dado por B(r) = By(x) yˆ, tal que o gra´fico de By(x)
contra x esta´ mostrado a seguir.
Com respeito a forc¸a magne´tica resultante sobre a espira, e´
correto afirmar que
(a) Ela aponta no sentido de xˆ.
(b) Ela aponta no sentido de yˆ.
(c) Ela aponta no sentido de zˆ.
(d) Ela aponta no sentido de −xˆ.
(e) Ela aponta no sentido de −yˆ.
(f) Ela aponta no sentido de −zˆ.
(g) Ela e´ nula.
5. Considere as seguintes treˆs afirmativas: (I) num dado circuito,
a forc¸a eletromotriz auto-induzida e´ sempre de sentido oposto
ao da corrente total existente; (II) para um indutor dado, fixo,
o trabalho realizado para estabelecer uma corrente de intensi-
dade final I atrave´s dele, desde um valor inicial nulo, e´ linear-
mente proporcional a I, e (III) se, num dado ponto do espac¸o,
simplesmente invertermos o vetor campo magne´tico, a densi-
dade de energia associada ao campo magne´tico em tal ponto
sera´ quadruplicada. Qual(is) de tais afirmac¸o˜es esta´(esta˜o)
correta(s)?
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II e III.
(h) Nenhuma.
6. Considere treˆs ane´is circulares muito finos: (I) um condutor;
(II) um isolante, e (III) um com metade condutora e me-
tade isolante. Eles sa˜o colocados, em repouso, separadamente,
numa regia˜o de campo magne´tico na˜o estaciona´rio, uniforme,
perpendicular ao plano do anel. Em que casos, surge uma
forc¸a eletromotriz ao longo do anel?
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II e III.
(h) Nenhum deles.
7. Considere um circuito oˆhmico, com capacitaˆncia e auto-
indutaˆncia desprez´ıveis. Atrave´s de uma superf´ıcie fixa de-
limitada por tal circuito, o fluxo do campo magne´tico varia no
tempo como mostra a figura abaixo.
Indique a alternativa que melhor representa a correspondente
corrente induzida ao longo do circuito.
(a)
(b)
(c)
(d)
2
8. Considere dois fios retil´ıneos, longos, paralelos, separados por
uma distaˆncia a, pelos quais passam correntes estaciona´rias
I e 2I, no mesmo sentido. E´ correto afirmar que o campo
magne´tico resultante sera´ nulo em uma reta coplanar com os
fios e paralela aos mesmos que esteja localizada
(a) a uma distaˆncia a/2 de cada um dos fios.
(b) a uma distaˆncia 2a/3 do fio com corrente 2I e a/3 do
fio com corrente I.
(c) a uma distaˆncia a/4 do fio com corrente 2I e 3a/4 do
fio com corrente I.
(d) a uma distaˆncia a/4 do fio com corrente I e 3a/4 do
fio com corrente 2I.
(e) O campo magne´tico resultante devido aos dois fios na˜o
sera´ nulo em ponto algum.
9. Considere o circuito da figura abaixo, constitu´ıdo por segmen-
tos retil´ıneos (I, III, V e VI) e segmentos de arco de c´ırculos
(II, IV e VII) conceˆntricos com o ponto C, percorridos por
uma corrente estaciona´ria I, com o sentido assinalado. Indi-
que quais de tais segmentos da˜o uma contribuic¸a˜o na˜o nula
para o campo magne´tico resultante no ponto C.
(a) II, III, IV, V e VII.
(b) I, III, V e VI.
(c) II, IV e VII.
(d) I, II, IV, VI e VII.
(e) Todos criam campo magne´tico na˜o nulo em C.
10. Considere uma espira circular, de raio a, na presenc¸a de um
campo magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio) B =
B0zˆ, como mostra a figura. O vetor unita´rio nˆ, perpendicular
ao plano da espira, forma um aˆngulo θ com o vetor unita´rio zˆ.
Atrave´s da espira, circula uma corrente estaciona´ria de inten-
sidade I, no sentido anti-hora´rio. Determine o fluxo do campo
magne´tico atrave´s da espira, o mo´dulo da forc¸a magne´tica e o
mo´dulo do torque resultantes sobre ela.
‘
(a) ΦB = 0, F = 0, τ = IBπa
2sen θ.
(b) ΦB = Bπa
2, F = 0, τ = IBπa2.
(c) ΦB = Bπa
2 cos θ, F = 0, τ = IBπa2.
(d) ΦB = Bπa
2, F = 2IaB, τ = 0.
(e) ΦB = Bπa
2 cos θ, F = 0, τ = IBπa2sen θ.
(f) ΦB = Bπa
2sen θ, F = 0, τ = IBπa2 cos θ.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos]
(a) Determine o (vetor) campo magne´tico Br a uma distaˆncia r de um
fio retil´ıneo longo percorrido por uma corrente ele´trica estaciona´ria de
intensidade i. [0,8 ponto]
(b) Determine o (vetor) campo magne´tico Bc no centro de uma espira
circular de raio a percorrida por uma corrente ele´trica estaciona´ria de
intensidade i. [0,9 ponto]
(c) A figura mostra um fio retil´ıneo longo, paralelo ao eixo Z que e´
percorrido por uma corrente ele´trica estaciona´ria i e apresenta uma
dobra circular de raio a, pertencente ao plano XY . Sabendo que o fio e´
recoberto por um esmalte isolante, utilize os resultados obtidos nos itens
anteriores para determinar o campo magne´tico B resultante no centro
da dobra circular. [0,8 ponto]
Justifique toda sua argumentac¸a˜o.
3
2. [2,5 pontos] Um soleno´ide ideal, com n voltas por unidade de compri-
mento (axial) e sec¸a˜o transversal circular de raio rs, e´ percorrido por
uma corrente ele´trica cuja intensidade varia no tempo de acordo com
i(t) = bt (b = const > 0). Dentro do soleno´ide, em um plano perpendi-
cular ao seu eixo, com raio re, coloca-se uma espira circular condutora
de resisteˆncia R. A auto-indutaˆncia da espira e a indutaˆncia mu´tua en-
tre essa e o soleno´ide sa˜o desprez´ıveis. Considere, ademais, que a lei de
Ampe´re usual possa seraplicada.
(a) Determine o (vetor) campo magne´tico B dentro do soleno´ide, produ-
zido pela corrente i(t). [0,5 ponto]
(b) Qual e´ a intensidade da corrente induzida na espira? [0,5 ponto]
(c) Qual e´ o sentido de tal corrente induzida? [0,5 ponto]
(d) Determine o (vetor) campo ele´trico E induzido na espira. [1,0 ponto]
Justifique toda a sua argumentac¸a˜o.
corte lateral 
corte superior 
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (f)
4. (d)
5. (h)
6. (g)
7.
(c)
8. (b)
9. (a)
10. (e)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,8 ponto] O campo magne´tico produzido pela corrente ele´trica que percorre um fio retil´ıneo muito longo pode ser obtido
usando as leis de Biot e Savart ou de A`mpere. Pela lei de Biot e Savart teremos que
~B =
µoi
4π
∫
C
d~ℓ × ~r
r3
onde, para o nosso caso, os vetores ~dℓ e ~r esta˜o ilustrados na figura 1a.
1
Considerando a aplicac¸a˜o desta lei na avaliac¸a˜o do campo magne´tico para um ponto que esteja a uma distaˆncia R do fio podemos
assumir que d~ℓ = dz zˆ e ~r = R xˆ− z zˆ enta˜o
d~ℓ× ~r = dz zˆ × (R xˆ− z zˆ) = Rdz yˆ .
Por sua vez, observando que
tan (π − θ) = − tan θ = z/R =⇒ z = −R tan θ =⇒ dz = R sec2 θ dθ
ale´m do fato de que
r2 = R2 + z2 = R2(1 + tan2 θ) = R2 sec2 θ ,
podemos obter a expressa˜o para o campo magne´tico devido ao fio atrave´s de
~Bf =
µoi
4π
∫ pi
0
R2 sec2 θ
R3 sec3 θ
dθ yˆ =
µoi
4πR
∫ +pi
2
−
pi
2
cos θ dθ yˆ =
µoi
4πR
{
sen θ
∣∣∣∣
+pi
2
−
pi
2
}
yˆ =
µoi
4πR
(1 + 1) yˆ
o que resulta em
~Bf(R) =
µoi
2πR
yˆ .
No caso do uso da lei de Ampe`re, teremos que ∮
~B.d~ℓ = µoi .
Levando em conta que cada portador de carga no fio produz um campo dado por ~Bo =
µo
4pi
(~v × ~r)/r3 e sendo o fio retil´ıneo,
concluimos que o produto vetorial nesta expressa˜o fornecera´ ~v × ~r = vR θˆ. Ou seja, sempre apontara´ no sentido de θˆ o que nos
remete a` conclusa˜o de que o campo deve apresentar simetria axial em relac¸a˜o ao fio resultando em ter ~Bf = Bf(r) θˆ . Em virtude
desta simetria podemos escolher como circuito amperiano c´ırculos conceˆntricos ao fio orientados no sentido anti-hora´rio e contidos
no plano XY (vide figura 1b). Com isso teremos que d~ℓ = r dθ θˆ e a aplicac¸a˜o da lei de A`mpere resultara´ em∮
~Bf .d~ℓ =
∫ 2pi
0
Bf(r) θˆ . r dθ θˆ = Bf(r) r
∫ 2pi
0
dθ = 2πr B(r) = µo i
2
e assim
~Bf(r) =
[
µo i
2πr
]
θˆ .
Para obtermos o resultado definitivo devemos observar que, no caso do problema proposto, r = R e θˆ = yˆ, resultando em ter
~Bf(R) =
[
µo i
2πR
]
yˆ .
�
b) [0,9 ponto] Devemos obter o campo magne´tico produzido no centro de uma espira circular de raio a quando esta for percorrida
por uma corrente ele´trica i usando a lei de Biot e Savart
~B =
µoi
4π
∫
C
d~ℓ × ~r
r3
onde, neste caso, os vetores ~dℓ e ~r esta˜o ilustrados na figura 1c. Portanto, nestas condic¸o˜es teremos que d~ℓ = a dθ θˆ e ~r = −a rˆ
de forma que
d~ℓ× ~r = −a2 dθ θˆ × rˆ = a2 dθ zˆ .
Utilizando, agora, estas relac¸o˜es na expressa˜o para a lei de Biot e Savart, encontraremos que
~Bc(a) =
µoi
4π
∫ 2pi
0
(
a2 dθ
a3
)
zˆ =
µoi
4πa
∫ 2pi
0
dθ zˆ =
µoi
4πa
2π zˆ =⇒ ~Bc(a) =
[
µoi
2a
]
zˆ
�
c) [0,8 ponto] Neste caso, devido ao fio estar recoberto pelo verniz isolante, o campo magne´tico produzido pela corrente ele´trica i
no centro da volta circular de raio a sera´ obtido pela soma vetorial
~B(a) = ~Bc(a) + ~Bf(a) .
3
Portanto, usando os resultados obtidos nos dois itens anteriores teremos que
~B(a) =
µo i
2πa
(yˆ + πzˆ) .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Como o campo magne´tico fora do solenoide e´ nulo, e como o campo e´ constante e uniforme em seu interior, a curva Amperiana
adequada e´ um retaˆngulo de lados L (ao longo do solenoide) e altura h.
O campo magne´tico pode ser escrito como
~B = B kˆ.
Pela lei de Ampe`re, o u´nico pedac¸o que contribui para a integral de linha e´ o pedac¸o de comprimento L no interior do solenoide,
desta forma ∮
~B · d~l =
∫
L
~B · d~l =
∫ L
0
Bdz = BL = µ0 IintL = µ0 i(t)N,
onde N e´ o nu´mero de fios dentro do comprimento L. Podemos agora definir a quantidade n = N/L, que e´ o nu´mero de fios por
unidade de comprimento, e chegamos a
~B(t) = µ0 n i(t) kˆ.
�
(b) Pela lei de Faraday temos
E = −
dΦB
dt
,
e precisamos calcular o fluxo magne´tico atrave´s da espira de raio re. Como o campo e´ uniforme sobre a espira, este fluxo sera´ dado
por
ΦB(t) =
∫∫
espira
~B(t) · nˆ dA = B(t)
∫∫
espira
dA = B(t)A = B(t)πr2e
Assim a f.e.m. induzida sera´
E = −
dΦB
dt
= −πr2e
dB(t)
dt
= −πr2eµ0n
di(t)
dt
= −πr2eµ0nb.
A corrente induzida sera´ enta˜o
Iind =
πr2eµ0nb
R
.
�
(c) O sentido da corrente fica determinado pela lei de Lenz. Como o fluxo atrave´s da espira esta´ aumentando, a corrente induzida
sera´ no sentido hora´rio (contra´rio ao sentido das correntes no solenoide).
�
(d) Da lei de Faraday podemos ainda escrever ∮
C
~E · d~l = −
dΦB
dt
= −πr2eµ0nb,
onde a curva C esta´ orientada positivamente. Como o fluxo esta´ aumentando, fica claro que o produto escalar ~E · d~l deve ser
negativo, e o campo ~E estara´ na direc¸a˜o de −ϕˆ. Para calcular seu mo´dulo, lembramos que∮
C
~E · d~l = −E2πre = −
dΦB
dt
= −πr2eµ0nb,
ou seja,
E =
re
2
µ0nb
na direc¸a˜o de −ϕˆ, ou, de maneira vetorial
~E = −
re
2
µ0nb ϕˆ.
�
4