Cap tulo 2 Intera o part cula fluido 2014 Sistemas Particulados

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Interação partícula-fluido
CAPÍTULO 2
Neste capítulo, estudam-se as forças envolvidas no contato entre par-
tículas e fluidos. Particularmente, tem-se interesse nos casos em que 
existe movimento relativo entre o fluido e as partículas. O conhecimento 
dessas forças é determinante para o projeto, na avaliação e nos ajustes 
operacionais de equipamentos nos quais são processados sistemas 
particulados. Note-se que as partículas sólidas típicas das operações 
unitárias a serem estudadas têm tamanhos relativamente pequenos 
quando comparados às dimensões dos equipamentos em que elas são 
processadas.
2.1  DINÂMICA
Nesse ponto, é muito importante lembrar que forças dependem de re-
ferencial e, também, que referencial é um corpo material no qual se en-
contra o observador, que analisa o movimento de outro corpo material 
das redondezas do primeiro. Em geral, o observador é um ser humano, 
provido de instrumentos de medição, tais como régua (para medir dis-
tâncias), cronômetro (para medir intervalos de tempo) e balança (para 
medir massas).
Um referencial é classificado como inercial quando nele se verificam 
as três leis de Newton (princípios da inércia, da dinâmica e da ação e 
reação). Ou seja, as leis de Newton definem o referencial inercial. Se 
um observador constata que dado corpo se move em relação a ele, em 
trajetória retilínea e sem aceleração, ou está em repouso, então, pela 
primeira lei de Newton, ele deve constatar também que a força resultante 
sobre o corpo é nula. Se isso ocorre, o observador é dito ser inercial. 
Porém, se apesar da trajetória retilínea sem aceleração ou repouso o 
referido observador verificar que existe uma força resultante agindo no 
corpo, ele é categorizado como não inercial.
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido60
Já se estabeleceu, experimentalmente, que observadores não inerciais pos-
suem aceleração em relação às chamadas “estrelas fixas”, sendo que dife-
rentes tipos de aceleração são possíveis. Ocorre que, por estarem muito dis-
tantes da Terra, e monitoradas que são há centenas de anos, as estrelas não 
têm movimento perceptível na esfera celeste, vindo daí o adjetivo “fixas”. As 
estrelas constituem o referencial mais próximo de inercial de que se dispõe.
Para validar a segunda lei de Newton em referenciais não inerciais, além 
das forças referidas como “de interação” entre o corpo analisado e outros 
corpos de sua vizinhança, faz-se necessária a introdução de outras forças 
que são, então, denominadas forças de inércia. Esse nome vem do fato 
de tais forças resultarem sempre proporcionais à massa do corpo. As 
forças de inércia violam a terceira lei de Newton, pois correspondem a 
“ações” para as quais não existem “reações” atuantes em outros corpos 
das vizinhanças do corpo sob análise. Os exemplos mais conhecidos 
de forças de inércia são as forças centrífugas e as de Coriolis, ambas as-
sociadas a movimentos de rotação do observador relativamente às “es-
trelas fixas”. Por oportuno, registre-se que, às vezes, as forças de interação 
são referidas como “reais” e as de inércia como “fictícias”, terminologia 
que não é adotada neste texto.
Para o movimento de corpos através de distâncias pequenas, compa-
rativamente ao raio da Terra, a própria Terra constitui um referencial 
suficientemente inercial para a maioria dos cálculos de engenharia. 
Entretanto, isso não é sempre verdade. Por exemplo, a Terra não é um 
referencial suficientemente inercial para se estudar o movimento de 
um obus (projétil de canhão) dirigido a um alvo situado a, por exemplo, 
30 km de distância. A não inercialidade da Terra deve-se à sua aceleração 
em relação às “estrelas fixas”. Dos vários movimentos que caracterizam 
o nosso planeta, destaca-se a rotação em torno de seu próprio eixo. 
Um observador na superfície da Terra está continuamente mudando a 
direção de sua velocidade relativamente às “estrelas fixas”, ou seja, está 
acelerado em relação a elas e, por isso, é do tipo não inercial. Assim, um 
referencial que tenha aceleração em relação a outro referencial que seja 
suficientemente inercial para a análise do movimento de dado corpo é 
um referencial não inercial para o estudo do movimento daquele corpo.
Apenas a título de curiosidade, registre-se que, em astrofísica e também 
na exploração aeroespacial, quasares (do inglês, quasi-stellar radio sources), 
e não exatamente estrelas comuns, são correntemente usados como 
2.1 Dinâmica 61
referenciais inerciais. Esses objetos astronômicos pertencem a galáxias 
vizinhas da Via Láctea e emitem ondas eletromagnéticas bem definidas, 
que podem ser captadas por antenas parabólicas aqui na Terra. Como a 
distância Terra-quasar é facilmente calculada (por exemplo, método do 
paralaxe), o triângulo formado pelo corpo cujo movimento se deseja 
estudar, pela Terra e pelo referido quasar pode ser resolvido. Assim, o 
movimento de cometas, asteróides, foguetes, cápsulas espaciais etc., 
pode ser estudado com base nas leis de Newton, como se o observador 
estivesse no quasar. Atualmente, o International Celestial Reference 
Frame (ICRF) é constituído de 212 fontes extragalácticas, em sua maioria 
quasares, cobrindo toda a esfera celeste.
Concluindo o tema, cabe esclarecer que, na prática, alguns problemas 
são resolvidos com maior simplicidade matemática, usando-se refe-
renciais não inerciais. Para tais observadores, a trajetória do corpo sob 
estudo fica mais simples, porém, aparecem novas forças que devem ser 
levadas em consideração.
Será adotada a seguinte notação para representar grandezas físicas e 
parâmetros usados no texto:
■ escalar: letra latina ou grega, tipo simples e vertical;
■ vetor: letra latina, tipo negrito e vertical;
■ tensor: letra grega, tipo negrito e vertical.
Seja o caso mais simples possível de interação entre fluido e partícu-
la, que é o de uma única partícula que se move suspensa em fluido 
em escoamento, longe de paredes, em uma região do espaço sujeita 
a um campo externo de forças. O observador que analisa a interação 
fluido-partícula pode ser inercial ou não inercial. A Figura 2.1mostra, 
esquematicamente, tal sistema em um dado instante.
O sistema fluido-partícula e o referencial usado são caracterizados con-
forme segue:
■ R, referencial/observador inercial ou não inercial;
■ r, raio vetor de um ponto genérico (fluido ou partícula);
■ m, massa da partícula;
■ V, volume da partícula;
■ Sρ , densidade da partícula;
■ v, velocidade da partícula (de seu centro de massa);
ρS
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido62
■ ρ , densidade do fluido;
■ m, viscosidade dinâmica do fluido;
■ U∞, velocidade de aproximação (ou não perturbada) do fluido;
■ u1, u2, u3, velocidades do fluido próximas a partícula;
■ b, intensidade do campo externo de forças.
Embora os eixos triortogonais indicados no desenho sugiram o uso de 
coordenadas cartesianas, com dada origem e certa orientação espacial, 
de fato, o tipo de sistema de coordenadas não foi explicitado. Tal escolha 
depende, fundamentalmente, da geometria das paredes que confinam 
o sistema, isto é, do equipamento analisado.
As linhas de corrente mostradas esquematicamente na Figura 2.1 re-
velam que o campo de velocidades do fluido nas proximidades da 
partícula é bastante complexo. Basta lembrar que linhas de corrente 
são, por definição, tangentes à velocidade do fluido em cada ponto. Fica 
claro também que o tamanho e a forma da partícula são determinantes 
da deformação das linhas de corrente nessa região. Note que, longe da 
partícula, as linhas de corrente tendem a ser paralelas.
A segunda lei de Newton aplicada à partícula se escreve:
f
d
dt
m vi
i=1
n
∑ )(= (2.1)
ρ
∑i=1nfi=ddtm v
FIGURA 2.1
Partícula suspensa em fluido em escoamento.
2.1 Dinâmica 63
em que fi representa forças exercidas sobre a partícula por corpos de sua 
vizinhançae, eventualmente, forças de inércia e t é tempo.
As aplicações práticas de interesse são tais que a massa da partícula 
pode ser considerada constante (o que exclui fragmentação, dissolução, 
precipitação, reações químicas e efeitos relativísticos), e pode-se escrever:
f m
dv
dtii=1
n
∑ = (2.2)
Nesse ponto, é extremamente importante lembrar que a velocidade da 
partícula (v) é um vetor e, portanto, a derivada de v em relação a t exis-
tirá sempre que o módulo e/ou a direção e/ou o sentido de v variarem 
com t. Variações do módulo de v com t denominam-se acelerações 
lineares (trajetórias retilíneas) ou tangenciais (trajetórias curvilíneas). 
Variações da direção de v com t denominam-se acelerações centrípetas. 
São comuns variações simultâneas no módulo e na direção de v.
As forças que agem sobre a partícula são de três tipos: (a) forças de 
campo, (b) forças de empuxo e (c) forças dinâmicas, que são analisadas 
a seguir.
a) Forças de campo (fC)
 Da Física Geral, sabe-se que:
 (2.3)
 em que C é uma constante de proporcionalidade de natureza 
escalar, cujo valor e dimensões físicas dependem do tipo de campo. 
É importante lembrar que a Equação 2.3 é do tipo empírica, vale 
dizer, de base experimental.
 Os campos de forças que têm relevância para as operações unitárias 
que envolvem sistemas particulados estão caracterizados na 
Tabela 2.1.
∑i=1nfi=mdvdt
f CbC = fC=Cb
Tabela 2.1  Campos de forças relevantes em sistemas particulados
campo intensidade C força
gravitacional g m peso
centrífugo – w × (w × r) m centrífuga
eletromagnético E + v × B q Lorentz
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido64
 em que, representando comprimento por L, massa por M, tempo 
por T e corrente elétrica por I (grandezas fundamentais de sistemas 
de unidades absolutos), tem-se:
■ g, intensidade do campo gravitacional terrestre (dimensão 
absoluta, L T–2);
■ w, velocidade angular da partícula (dimensão absoluta, T–1);
■ E, intensidade de campo elétrico (dimensão absoluta, L M T–3 I–1);
■ B, indução magnética (dimensão absoluta, M T–2 I–1);
■ q, carga elétrica (dimensão absoluta, T I).
 Os campos centrífugos de forças da Tabela 2.1 presumem que o 
observador (não inercial, no caso) tem a mesma velocidade angular 
(w) e raio vetor (r) que a partícula. Esse é um caso particular de 
referencial não inercial, e equivale a supor que o observador está fixo 
na partícula que se move com o fluido, com aceleração, em relação 
a outro referencial suficientemente inercial para o problema (por 
exemplo, a Terra). Para tal observador existe uma força centrífuga 
e também um empuxo centrífugo atuando na partícula. Como a 
força centrífuga é dada por – m w × (w × r), isto é, proporcional 
a m (como as forças de campo), tal força tem o status de força de 
campo, vindo daí a referência a campos centrífugos. Em princípio, 
esse observador também perceberia a força de Coriolis e o empuxo 
de Coriolis atuando na partícula. Entretanto, sabe-se que essas duas 
últimas forças são muito pequenas e, por isso, elas raramente são 
consideradas na prática. O sinal negativo que antecede tanto a 
expressão da intensidade do campo centrífugo quanto a da força 
centrífuga é necessário para que o sentido do duplo produto vetorial 
indicado seja centrífugo, isto é, dirigido para fora da trajetória 
curva descrita pela partícula. Isso pode ser verificado facilmente 
usando-se, por exemplo, a famosa “regra da mão direita” duas 
vezes.
b) Forças de empuxo (fE)
 Da Estática dos Fluidos sabe-se que:
 (2.4)
 Essa expressão corresponde à generalização do conceito de força 
de empuxo da Hidrostática. Assim, de acordo com a Tabela 2.1, 
tem-se três tipos de empuxos a considerar: empuxo gravitacional 
(historicamente descoberto por Archimedes de Siracusa), empuxo 
f VpbE = − ρfE=− ρ Vp b
2.1 Dinâmica 65
centrífugo (que, devido ao sinal negativo, é centrípeto) e empuxo 
eletromagnético.
c) Forças dinâmicas (fd)
A força dinâmica existe em razão do movimento relativo fluido-partícula 
e depende de características do fluido e da partícula, bem como de 
características do próprio movimento relativo fluido-partícula. O fato de a 
força dinâmica depender de um grande número de variáveis, torna seu 
estudo bastante complexo. Apenas em alguns casos muito idealizados 
é possível prever a força dinâmica que age sobre a partícula. Na maioria 
das aplicações práticas de interesse tem-se que recorrer a correlações 
empíricas, sempre sujeitas a restrições de “faixas experimentais” dos 
dados em que elas se baseiam.
É conveniente decompor a força dinâmica conforme segue:
f f fd D L= + (2.5)
em que
fD é paralela a U∞ e denomina-se força de arraste
e
fL é perpendicular a U∞ e denomina-se força de sustentação.
Experimentalmente, já se estabeleceu que fD é fortemente dependente da 
área da superfície da partícula, enquanto que fL depende principalmente 
da forma da partícula.
Ocorre que as partículas comumente encontradas nas operações unitá-
rias são tais que, na prática, se tem:
f 0L ≅ (2.6)
Ou seja, com boa aproximação, pode-se escrever para tais partículas que:
f fd D≅ (2.7)
Cumpre comentar brevemente dois casos em que a força de sustentação 
(fL ) não é desprezível: partículas com perfil de aerofólio e partículas 
com rotação intrínseca. Esses casos dificilmente ocorrem nas operações 
unitárias.
■ Partículas com perfil de aerofólio
fd=fD+fL
fL≅0
fd≅fD
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido66
A Figura 2.2 mostra a secção transversal de uma partícula com perfil de 
aerofólio e o campo uniforme de velocidades de aproximação do fluido 
(U∞). Tal partícula assemelha-se a uma asa de avião, estando sujeita a 
forças de arraste (fD) e de sustentação (fL) de magnitudes semelhantes, 
conforme indicado.
Essas partículas, quando orientadas em relação a U∞, conforme mostra a 
Figura 2.1, induzem baixas velocidades e altas pressões na parte inferior do 
aerofólio e altas velocidades e baixas pressões na parte superior do aerofólio. 
Assim, associado ao movimento relativo fluido-partícula, aparece uma força 
de sustentação (fL), de baixo para cima, de magnitude não desprezível.
No caso de aviões, essa é a força que os mantém no ar, razão pela qual o 
fenômeno é conhecido como “efeito asa”. No caso de carros de corrida, 
inverte-se o aerofólio, produzindo assim uma força de sustentação (fL) di-
rigida para baixo, o que aumenta a aderência dos pneus ao chão, evitando 
ou diminuindo as derrapagens em curvas. Em geral, carros de corrida são 
providos de dois aerofólios invertidos: um na frente e outro na traseira.
A equação de Bernoulli ajuda a explicar o aparecimento da força de sus-
tentação em aerofólios. A referida equação é válida para o escoamento 
em regime permanente, de fluidos incompressíveis e ideais (ou invís-
cidos), ao longo de uma linha de corrente, e pode ser escrita como:
p u
2
g z constante
2
ρ
+ + = (2.8)
em que p é pressão no fluido, ρ é densidade do fluido, u é velocidade 
do fluido, g é aceleração da gravidade local e z é a cota do ponto consi-
derado, medida de baixo para cima, isto é, no sentido oposto a g.
pρ + u22 + g z = constante
ρ
FIGURA 2.2
Escoamento de fluido sobre partícula com perfil de aerofólio.
2.1 Dinâmica 67
Experimentos em “túneis de vento” usando traçadores (por exemplo, 
fumaça) permitem visualizar as linhas de corrente no escoamento de ar 
sobre aerofólios, conforme mostra a Figura 2.3.
Transversalmente ao escoamento, tem-se:
a) antes do aerofólio, as linhas de corrente são equidistantes;
b) na parte de cima do aerofólio, as linhas de corrente se 
aproximam;
c) na parte de baixo do aerofólio, as linhas de corrente mantêm a 
separação original.
Observe-se que, na prática, a própria existência de linhas de corrente 
garante que o fluido não escoe tranversalmentea elas. É como se o espaço 
entre duas linhas de corrente fosse uma passagem hermética para o fluido. 
Assim, fica claro que o fluido que vai de A para B, escoando entre duas 
linhas de corrente e por cima do aerofólio, aumenta de velocidade, pois, 
como mostra o desenho, a área transversal de escoamento diminui ao 
longo desse percurso. Já o fluido que vai de A para B escoando entre duas 
linhas de corrente e por baixo do aerofólio não modifica sua velocidade, 
uma vez que a área transversal de escoamento é a mesma ao longo do 
percurso. Então, pela equação de Bernoulli, e desprezando o termo g z 
(razoável para gases), conclui-se que de A para B, por cima, a velocidade (u) 
FIGURA 2.3
Linhas de corrente acima e abaixo de um aerofólio.
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido68
aumenta enquanto que a pressão (p) diminui. Já de A para B, por baixo, a 
velocidade (u) e a pressão (p) não se modificam. Assim, a pressão abaixo 
do aerofólio será maior que acima, resultando na força de sustentação.
■ Partículas com rotação intrínseca
Diz-se que um corpo possui rotação intrínseca quando o eixo em torno 
do qual o corpo gira intercepta o próprio corpo.
A Figura 2.4 mostra a seção transversal de uma partícula cilíndrica que 
gira em torno de seu eixo de simetria e o campo uniforme de velocidades 
de aproximação do fluido (U∞). Tal partícula está sujeita a forças de arras-
te (fD) e sustentação (fL) de magnitudes semelhantes, conforme indicado.
Devido à chamada “condição de aderência” (também conhecida por 
condição de não deslizamento ou não escorregamento) a que se sujeitam 
fluidos em contato com superfícies sólidas, o fluido acima da metade 
superior do cilindro escoa com velocidades maiores que U∞, pois nessa 
região a rotação do cilindro “soma”, isto é, aumenta a velocidade do 
fluido que dele se aproxima. Já o fluido abaixo da metade superior do 
cilindro escoa com velocidades menores que U∞, pois nessa região a 
rotação do cilindro “subtrai”, isto é, diminui a velocidade do fluido que 
dele se aproxima. Conforme mostra a Figura 2.5, as linhas de corrente as-
sociadas ao escoamento do fluido ficam próximas umas das outras acima 
do cilindro, isso correspondendo a velocidades altas e pressões baixas. 
Abaixo do cilindro, as linhas de corrente afastam-se umas das outras, 
isso correspondendo a velocidades baixas e pressões altas. A diferença de 
pressão entre as superfícies inferior e superior do cilindro girante leva ao 
aparecimento de uma força fL que age sobre ele. Essa força é transversal à 
FIGURA 2.4
Escoamento de fluido sobre cilindro girante.
2.1 Dinâmica 69
direção principal de escoamento do fluido, ou seja, é perpendicular a U∞. 
Em homenagem a Heinrich Gustav Magnus, que explicou a origem desse 
tipo de força (1853), o fenômeno é conhecido como “efeito Magnus”.
Exatamente como no caso do aerofólio, visto anteriormente, a equação 
de Bernoulli permite explicar facilmente o aparecimento da força de 
sustentação fL em tais casos.
Uma aplicação interessante do “efeito Magnus” são os chamados rotores 
de Flettner, usados na propulsão de barcos e navios conforme mostrado, 
esquematicamente, na Figura 2.6. A invenção foi patenteada em 1922 
por Anton Flettner.
FIGURA 2.5
Linhas de corrente acima e abaixo de um cilindro girante.
FIGURA 2.6
Rotor de Flettner.
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido70
A propulsão dos rotores de Flettner, tal como a das tradicionais velas de 
pano, depende da existência de ventos, cuja velocidade está representada 
na Figura 2.-6 por U∞, no caso, perpendicular ao plano do papel e “en-
trando” nele.
Ficou famoso o caso da escuna Buchau, originalmente um barco com 
três mastros e oito velas, reformada em 1925, no estaleiro Germania, 
em Kiel (Alemanha). Ela era provida de dois rotores idênticos, que 
mediam aproximadamente 12 m de altura por 2,7 m de diâmetro. 
Os rotores eram acionados por motores elétricos de 11 kW cada, que 
alcançavam uma velocidade máxima de 120 rpm. Fotos do Buchau 
estão disponíveis na internet. Tipicamente, um vento de 30 km/h trans-
versal ao barco faz com que o mesmo se desloque a uma velocidade 
de 4 km/h.
Outra aplicação do “efeito Magnus”, não exatamente no âmbito das 
operações unitárias, é o chamado “chute de efeito”, muito usado na 
cobrança de faltas no futebol. Dependendo da curva que o jogador 
queira imprimir à bola, ele usa a parte de dentro ou a parte de fora 
do pé, que, então, se choca com a bola ligeiramente à esquerda ou 
à direita do plano vertical de simetria da bola. O resultado é que a 
bola se move através do ar na direção pretendida, ao mesmo tempo 
em que gira sobre si própria, induzindo assim uma força transversal à 
sua trajetória que então se encurva. A esse respeito, tornou-se tutorial 
de Física, disponível na internet, o belíssimo gol de falta “cobrada” 
por Roberto Carlos da Silva em jogo amistoso entre as seleções do 
Brasil e da França, realizado em 1997, na cidade de Lyon, França 
(http://physicsbuzz, 2012).
Considerando que na interação partícula-fluido típica das operações 
unitárias que envolvem sistemas particulados não estão presentes os 
efeitos “asa” e “Magnus” vistos anteriormente, pode-se escrever a segunda 
lei de Newton aplicada à partícula como:
f f f m
dv
dtC E D
+ + = (2.9)
Tendo em vista as expressões de fC e fE, respectivamente Equações (2.3) 
e (2.4), vem:
b b fC V m
dv
dtDp
− ρ + = (2.10)
fC+fE+fD=mdvdt
C b− ρ Vp b+ fD = m dvdt
2.1 Dinâmica 71
Os campos de forças mais importantes para as aplicações práticas que 
se tem em vista, são os gravitacionais e centrífugos, para os quais a 
Tabela 2.1 mostra que:
C m= (2.11)
A definição de densidade de partícula, Equação 1.1, permite escrever:
m Vs p= ρ (2.12)
Em vista desses dois últimos resultados, a segunda lei de Newton aplica-
da à partícula no caso de campos gravitacionais e centrífugos, se escreve:
b f( ) V m
dv
dtDs p
ρ − ρ + = (2.13)
Nesse ponto do desenvolvimento, uma pergunta óbvia é: de que maneira 
a força de arraste (fD) depende das variáveis envolvidas no problema?
A resposta a essa indagação só pode ser obtida em bases teóricas, isto é, 
recorrendo-se exclusivamente a leis físicas conhecidas e métodos mate-
máticos, em casos muito idealizados. O exemplo mais conhecido é a lei 
de Stokes, que, entre outras restrições, só vale para partículas esféricas, 
baixas velocidades relativas partícula-fluido e fluidos newtonianos. A lei 
de Stokes será estudada mais adiante.
Para partículas de formato irregular, a dependência de fD com as demais 
variáveis envolvidas no problema pode ser estabelecida experimentalmente. 
Nesse sentido, o primeiro passo é formar grupos adimensionais com as 
referidas variáveis, o que é feito por meio de uma metodologia conhecida 
como análise dimensional. O uso de grupos adimensionais na correlação 
de dados experimentais, de fato, economiza tempo e recursos. Tradicional-
mente, essa técnica é apresentada em cursos básicos de mecânica dos fluidos.
O primeiro passo, de fato o mais importante da análise dimensional, 
é a seleção das variáveis relevantes no problema estudado. O sucesso 
dessa escolha depende muito da base teórica e experiência prática do in-
divíduo que analisa o problema. No presente caso, são cinco as variáveis 
relevantes a serem consideradas:
■ fD (força de arraste), dimensões absolutas MLT
–2;
■ d? (tamanho de partícula), dimensão absoluta L;
■ m (viscosidade absoluta/dinâmica do fluido), dimensões 
absolutas ML–1T–1;
C=m
m=ρsVp
(ρs − ρ) Vp b+ fD = m dvdt
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido72
■ ρ (densidade do fluido), dimensões absolutas ML–3;
■ U v−
∞
 (velocidade relativa fluido-partícula), dimensões 
absolutas LT–1.
Observe-se que, no caso, interessa apenas o módulo/magnitude tanto 
da forçade arraste quanto da velocidade relativa fluido-partícula. Assim, 
deixa-se de grafar a força de arraste em negrito. Além disso, indicou-se 
o módulo/magnitude do vetor velocidade relativa pelas barras duplas 
verticais, mantendo os símbolos de velocidade em negrito.
A técnica da análise dimensional aplicada a esse problema conduz aos 
seguintes grupos adimensionais, tradicionalmente representados pela 
letra grega “pi” maiúscula.
f
d U v
1
D
?
2 2
Π =
− ρ
∞
 (2.14)
d U v2 ?
Π = µ
− ρ
∞
 (2.15)
Os grupos adimensionais obtidos são elaborados e analisados a seguir.
O grupo Π1 pode ser adequadamente “maquiado” com constantes 
adimensionais, conforme segue:
8 f
1
2
U v
d
4
1 D
2 ?
2
Π
pi
=
ρ − pi
∞
 (2.16)
Esse novo grupo adimensional recebe o nome de “coeficiente de arraste” 
e será representado pelo símbolo CD:
C
f
1
2
U v
d
4
D
D
2 ?
2=
ρ − pi
∞
 (2.17)
Note que:
1. 1
2
U v
2ρ −
∞
 é uma energia cinética por unidade de volume 
de fluido característica do sistema fluido-partícula;
2. 
d?
2
4
pi
 é uma área característica da partícula, igual à área de um 
círculo de diâmetro d?.
ρ
U∞−v
Π1=fDd?2 U∞−v
2 ρ
Π2=md? U∞−v ρ
8Π1π=fD12ρU∞−v2π d?24
CD=fD12ρU∞−v2π d?24
12ρU∞−v2
πd?24
2.1 Dinâmica 73
Vale a pena comentar que o adjetivo “característica”, empregado, antes, 
duas vezes, significa apenas que aquela “energia cinética por unidade de 
volume de fluido” e a “área do círculo” são calculadas com o emprego 
de características próprias do sistema partícula-fluido e da partícula, 
respectivamente. A área do círculo, em particular, não tem nenhuma 
interpretação geométrica tal como área da superfície da partícula ou 
área projetada da partícula em alguma direção.
O grupo Π2 possui uma estrutura bastante conhecida. Trata-se do in-
verso de um número do tipo Reynolds, dispensando qualquer tipo de 
“maquiagem”. Define-se, então, o “número de Reynolds de partícula”, 
que será representado pelo símbolo Rep:
Re
d U v
p
?
=
− ρ
µ
∞ (2.18)
Note que tanto CD quanto Rep dependem do tamanho de partícula (d?). 
Entretanto, até aqui, o tipo de tamanho de partícula não foi especificado.
Na área de sistemas particulados, convencionou-se adotar como padrão 
o diâmetro de partícula dp, definido anteriormente (item 1.4-1) como 
“diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula”. A escolha de 
dp tem a ver com o fato de que a massa da partícula, característica fun-
damental no estudo de sua dinâmica, pode ser expressa em função de 
dp e da densidade da partícula. A partir das definições de dp e Sρ é fácil 
mostrar que:
m=
d
6
p
3
spi ρ
 (2.19)
Pode-se, então, reescrever CD e Rep conforme segue:
C
f
1
2
U v
d
4
D
D
2 p
2=
ρ −
pi
∞
 (2.20)
Re
d U v
p
p
=
− ρ
µ
∞ (2.21)
A respeito da área característica da partícula presente no denominador 
de CD, convém mencionar que, em outras especializações de engenharia, 
Rep=d? U∞−v ρm
ρS
m = π dp3 ρs6
CD=fD12ρU∞−v2π dp24
Rep=dp U∞−v ρm
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido74
em que as “partículas” são prédios, pontes etc. (engenharia civil), navios, 
submarinos etc. (engenharia naval), automóveis, ônibus etc. (engenharia 
mecânica) e aviões, foguetes etc. (engenharia aeronáutica), usa-se como 
área característica a área projetada dessas “partículas” em um plano 
perpendicular à velocidade relativa fluido-partícula (U∞ – v). No caso 
específico de testes dessas “partículas” em túneis de vento, nos quais elas 
ficam paradas (v = 0), a área projetada da “partícula” é perpendicular 
a U∞ , obtido com ventiladores possantes. Do ponto de vista estrito da 
análise dimensional, não há nenhum problema com essa estratégia, 
uma vez que qualquer área relacionada à “partícula” pode ser usada.
A indagação anterior acerca das variáveis de que fD dependeria está res-
pondida com a Equação (2.20) que fornece:
f C
1
2
U v
d
4D D
2 p
2
= ρ −
pi
∞ (2.22)
Seja A a área característica da partícula, isto é:
A
d
4
p
2
≡
pi
 (2.23)
Obtém-se então para o vetor força de arraste, que age sobre a partícula, 
a clássica expressão:
f
A
2
U v C U vD D )(= ρ − −∞ ∞ (2.24)
Observe-se que o recurso matemático utilizado para dar consistência 
vetorial à expressão da força de arraste foi o de desmembrar o quadrado 
do módulo da velocidade relativa partícula-fluido em dois fatores de 
mesma magnitude, mantendo inalterado o módulo da força.
A Equação (2.24) põe em destaque um fato extremamente importante: a 
força de arraste que age na partícula tem a mesma direção e sentido que 
o vetor velocidade relativa fluido-partícula, (U∞ – v), o que é consistente 
com a lei de Stokes (veja adiante).
Finalmente, pode-se escrever a 2ª lei de Newton aplicada à partícula 
para campos gravitacionais e centrífugos como:
V b
A
2
U v C U v m
dv
dts p D
) )( (ρ − ρ + ρ − − =∞ ∞ (2.25)
fD= CD 12 ρ U∞−v2 π dp24
A≡π dp24
fD=A2ρU∞−vCDU∞−v
ρs - ρ Vp b + A2 ρ U∞−v -
 CD U∞−v = m dvdt
2.2 Velocidade terminal 75
Observe-se que, antes (Equação 2.13), o problema era fD, uma variável 
dimensional que, em princípio, não sabia-se como dependia das demais 
variáveis envolvidas no problema. Agora (Equação 2.24), a menos de um 
parâmetro adimensional (CD), sabe-se como fD depende das variáveis 
consideradas relevantes no problema.
2.2  VELOCIDADE TERMINAL
Uma expressão muito conhecida para o cálculo da chamada velocidade 
de queda livre de corpos no campo gravitacional terrestre é:
v = v + g t0 (2.26)
em que v é a velocidade do corpo no instante t, v0 é velocidade inicial 
do corpo e g é a aceleração da gravidade. O adjetivo “livre”, no caso, 
significa sem resistência. Essa expressão consta em qualquer livro texto 
de Física básica, na parte referente a Mecânica, mais especificamente em 
capítulo sobre Cinemática.
De acordo com a Equação 2.26, quando t tende para infinito, v tende 
para infinito. Todavia, isso simplesmente não se verifica quando corpos 
caem em contato com o ar. A previsão “errônea” da Equação 2.26 tem 
uma explicação muito simples: a referida equação só vale para quedas 
de corpos no vácuo, isto é, sem a presença da força de arraste, no caso, 
devida ao ar, que oferece resistência ao movimento do corpo.
O fato bem estabelecido experimentalmente é que, quando uma partí-
cula cai em um fluido sob a ação de um campo externo de forças (o que 
inclui o campo gravitacional do caso anterior), sua velocidade tende 
a um valor constante, apropriadamente denominado velocidade ter-
minal, isto é, uma velocidade que, uma vez atingida, não se modifica.
O conceito de velocidade terminal tem grande importância na área 
de sistemas particulados e corresponde, por definição, a um caso es-
pecífico de interação partícula-fluido: quedas de partículas em fluidos 
estacionários (U∞ = 0) sob a ação de um campo externo de forças. É 
claro que próximo da partícula o fluido se move lateralmente, de modo 
a dar passagem a ela.
A Figura 2.7 mostra uma partícula sólida em queda em um fluido es-
tacionário, sob a ação de um campo externo de forças de intensidade b, 
antes de atingir a velocidade terminal.
v = v0+ g t
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido76
Como, por hipótese, a massa da partícula é constante, a força de campo 
(fC) e o empuxo (fE) não variam ao longo de toda a sua queda. Já a força 
de arraste (fD), como visto anteriormente, aumenta com o quadrado do 
aumento da própria velocidade da partícula, pois no caso U∞ = 0 
(veja Equação 2.24).
Assim, com o tempo, o aumento da velocidade da partícula (vale dizer, 
sua aceleração) que ocorre no início da queda leva ao contínuoaumento 
da força de arraste. Mais detalhadamente, o que ocorre é que, no início da 
queda, a velocidade da partícula aumenta com o tempo, porém com ta-
xas de aumento cada vez menores. Ou seja, no início da queda a partícula 
está se acelerando, porém a própria aceleração diminui continuamente 
com o tempo. No momento em que a soma da força de arraste com o 
empuxo se iguala ao peso, a resultante das forças atuantes na partícula é 
nula, sua aceleração é nula e a partícula atingiu sua velocidade terminal, 
que representa-se por vt
No caso específico da queda de partículas em fluidos com velocidade 
terminal, tem-se a considerar: U∞ = 0 (fluido estacionário) e 
dv
dt
0t =
(aceleração nula)
Nesse caso, a segunda lei de Newton aplicada à partícula, Equação 
(2.25), pode ser escrita na forma escalar, como:
V b
A
2
v C v 0s p t D t) )( (ρ − ρ + ρ − − = (2.27)
dvtdt = 0
ρs − ρVp b + A2 ρ −vt 
CD − vt = 0
FIGURA 2.7
Partícula caindo em fluido estacionário sob a ação de um campo externo.
2.2 Velocidade terminal 77
Explicitando vt, obtém-se:
v =
( ) V b
A Ct
s p
D
ρ − ρ
ρ (2.28)
Lembrando que V
d
6P
P
3
=
pi
 (Equação 1.7) e que A
d
4
p
2
≡
pi
 (Equa-
ção 2.23) vem:
v =
4 d ( ) b
3 Ct
p s
D
ρ − ρ
ρ (2.29)
Tem-se dois casos importantes a considerar em detalhe: campo gravita-
cional terrestre e campo centrífugo.
■ Campo gravitacional terrestre
Nesse caso, b ≡ g e a Equação 2.28 se escreve:
v =
4 d ( ) g
3 Ct
p s
D
ρ − ρ
ρ (2.30)
No âmbito das operações unitárias, e mesmo na maioria das aplica-
ções práticas de engenharia, a aceleração da gravidade (g) pode ser 
considerada constante e igual ao seu valor padrão ao nível do mar, 
aproximadamente 9,81 m/s2. Para que se tenha uma ideia da variação 
da aceleração da gravidade com a distância à Terra, registre-se seu valor 
a 350 km acima do nível do mar: 8,81 m/s2, uma diminuição de 1 m/
s2 em relação ao valor padrão (9,81 m/s2) e correspondendo a 10,2%.
A título de curiosidade, registre-se que a velocidade terminal de um para-
quedista dito em “queda livre” (expressão incorreta, uma vez que a força 
de arraste está sempre presente se opondo ao movimento), isto é, antes da 
abertura do paraquedas, situa-se na faixa entre 180 e 200 km/h, dependendo 
do seu peso, do tipo de roupa, e da configuração de pernas e braços etc.
A Figura 2.8 mostra, esquematicamente, um diagrama log-log original de 
Lapple et al. (1951) e que consta em Perry (1984). O diagrama permite 
determinar, rapidamente, a velocidade terminal (vt) de esferas em queda 
sob a ação do campo gravitacional terrestre, em ar e água a 70° F e 1 
atm. Para tanto, basta saber seu diâmetro (D) e densidade relativa (SGs). 
De fato, conhecidas duas dessas três características da esfera (diâmetro, 
vt = (ρs − ρ) Vp bA ρ CD
VP=π dP36A≡π dp24
vt = 4 dp (ρs − ρ) b3 ρ CD
vt = 4 dp (ρs − ρ) g3 ρ CD
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido78
densidade relativa e velocidade terminal), a terceira pode ser calculada 
facilmente com o referido diagrama. 
■ Campos centrífugos
Nesse caso, b ≡ w2 r e a Equação 2.28 se escreve:
v =
4 d ( ) r
3 Ct
p s
2
D
ρ − ρ ω
ρ (2.31)
Diferentemente do campo gravitacional, cuja intensidade pode ser 
considerada constante, a intensidade do campo centrífugo varia li-
nearmente com r, que, relembrando, é o raio vetor da partícula, que, 
do ponto de vista da segunda lei de Newton, foi considerada um 
“ponto material”. Assim, o termo “velocidade terminal”, no caso, é 
vt = 4 dp (ρs − ρ) w2 r3 ρ CD
FIGURA 2.8
Velocidade terminal de esferas em queda, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em ar 
e água a 70° F e 1 atm (Lapple et al. 1951, Perry, 1984).
2.2 Velocidade terminal 79
claramente inadequado, uma vez que a velocidade fornecida pela 
Equação 2.31 depende de r, isto é, não é constante. Se a partícula muda 
continuamente de posição no campo centrífugo, a cada instante seu 
raio vetor tem um valor e, consequentemente, o campo centrífugo 
que age sobre ela irá variar também. Note que, apesar do campo de 
forças ser centrífugo, a aceleração da partícula pode ser centrífuga 
(ρs > ρ) com a partícula movendo-se “para fora” da trajetória curva, 
ou centrípeta (ρs < ρ), em que a partícula se move “para dentro” da 
trajetória curva.
Aqui há, de fato, uma complicação com o desenvolvimento anterior. 
Ocorre que, ao mudar sua posição radial no campo centrífugo, a partícu-
la está, necessariamente, se acelerando, o que invalidaria a análise feita, 
já que na Equação 2.27, da qual se originou a Equação 2.31, desprezou-se 
a aceleração. O problema é parcialmente contornado fazendo-se a hipó-
tese de que, no campo centrífugo, a partícula atinge instantaneamente a 
velocidade terminal correspondente à posição (r) em que se encontra. 
Essa hipótese é reforçada pelo fato de o aumento linear de b (e portanto 
de fC) com r, fazer que, no caso centrífugo, na fase acelerada, v cresça 
mais rapidamente que no caso gravitacional, o mesmo ocorrendo com 
fD, que é proporcional a v
2 (veja Equação 2.24).
Com um pouco mais de propriedade, a validade dessa hipótese está 
relacionada ao chamado tempo de relaxação da partícula (τ), que corres-
ponde ao tempo necessário para que a partícula em movimento em um 
meio fluido se ajuste a uma eventual mudança nas forças externas que 
atuam sobre ela. Em geral, o tempo de relaxação é definido como:
=m Bτ (2.32)
em que m é a massa da partícula e B denomina-se mobilidade mecânica 
da partícula, grandeza com dimensões absolutas T/M, muito usada no 
estudo da dispersão de partículas coloidais na atmosfera, definida por:
B =
v
fD
 (2.33)
Eliminando B entre as Equações 2.32 e 2.33, vem:
=
m v
fD
τ (2.34)
τ = m B
B = vfD
τ = m vfD
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido80
Observe-se que quanto menor for a partícula analisada, menor será sua 
massa e, portanto, menor será o tempo de relaxação a ela associado. 
A Equação 2.34 pode ser, eventualmente, simplificada com expressões 
para fD em função de m e/ou v. Por exemplo, se for válida a lei de Stokes 
(veja a seguir), resulta que τ é proporcional a dp
2.
Concluindo este item, destaque-se que as faixas de tamanhos de partí-
culas típicas das operações unitárias são tais, que os tempos de relaxa-
ção envolvidos são, efetivamente, desprezíveis quando comparados a 
intervalos de tempo característicos da operação de equipamentos, tais 
como os tempos de residência das partículas nos mesmos.
2.3  LEI DE STOKES
George Gabriel Stokes (1819-1903), nascido na Irlanda, formou-se em 
Matemática e Física na Universidade de Cambridge, Inglaterra, onde, 
posteriormente, também fez uma brilhante carreira acadêmica. Em 
1851, Stokes estudou, de um ponto de vista puramente teórico, isto é, 
com base na Física e na Matemática pertinentes, um caso especial de 
interação entre partícula e fluido sujeito a dez restrições ou idealizações, 
conforme segue:
“(1) esferas, (2) lisas e (3) rígidas; (4) fluido newtoniano, (5) incom-
pressível, (6) homogêneo comparado ao tamanho da esfera e (7) “in-
finito”; (8) escoamento lento, (9) a velocidades constantes e (10) sem 
deslizamento”.
A maior parte dessas restrições são autoexplicativas; outras merecem 
um breve comentário. Fluido homogêneo comparado ao tamanho da 
esfera tem a ver com a estrutura molecular dos fluidos. A esfera deve ser 
muito maior que os espaçamentos entre as moléculas do fluido. Fluido 
“infinito” tem a ver com a exigência de que não existem outras partículas, 
ou paredes, próximas da esfera analisada. Escoamento lento tem a ver 
com a exigência de simetria das linhas de corrente do fluido, ao escoar 
emtorno da esfera. Mais adiante será visto um critério quantitativo para 
escoamento lento. Sem deslizamento refere-se à exigência de que o fluido 
junto à esfera tenha a mesma velocidade que ela. Usa-se também a ter-
minologia “condição de não escorregamento” e “condição de aderência”.
Na análise original de Stokes, a esfera era estacionária (v = 0), enquanto o 
fluido dela se aproximava com velocidade U∞. Nessas condições, Stokes 
2.3 Lei de Stokes 81
demonstrou que a força de arraste exercida pelo fluido sobre uma esfera 
de raio R é:
f = 6 R UD pi µ ∞ (2.35)
Essa é a lei de Stokes em sua forma original. Sua dedução detalhada 
pode ser encontrada, por exemplo, em Bird, Stewart e Lightfoot (2002).
A obtenção da lei de Stokes envolve o cálculo da força total (fT) que o 
fluido exerce sobre a esfera, o que é feito mediante integração de ex-
pressões para as componentes ortogonais de fT que são a força normal 
(fnorm) e a força cisalhante (fcis) que o fluido exerce sobre a superfície da 
esfera. Para o caso do campo gravitacional terrestre, cuja intensidade é 
g, resultam as seguintes expressões para essas forças:
f =
4
3
R g 2 RUnorm
3pi ρ + piµ
∞ (2.36)
f = 4 RUcis piµ ∞ (2.37)
Na Equação 2.36, reconhece-se que o primeiro termo à direita do sinal 
de igualdade é a força de empuxo que o fluido exerce sobre a esfera, e 
que existe independentemente de o fluido escoar ou não. Assim, essa 
força não colabora para força de arraste (fD). Note que o segundo termo 
daquela equação é uma força de natureza viscosa semelhante a fcis e, na 
verdade, paralela a fcis, já que a natureza vetorial de ambas deve-se a U∞. 
Portanto, conclui-se que a soma dessas duas forças viscosas é a força de 
arraste prevista na lei de Stokes:
f = 2 RU 4 RUD piµ + piµ∞ ∞ (2.38)
A primeira parcela da força de arraste (2πmRU∞) vem da integração 
da força normal e denomina-se “arraste de forma”, pelas razões que se 
seguem. Ao escoar em torno da esfera o fluido se deforma. Isto pode ser 
facilmente vizualizado em túneis de vento, pelas distorções das linhas de 
corrente (LCs) na referida região. Próximo da esfera, mas fora da camada 
limite, as taxas de deformação estão associadas, principalmente, a tensões 
normais no fluido. Nesse caso, as taxas de deformação são expressas por 
gradientes longitudinais de velocidade (isto é, ao longo das LCs), sendo 
desprezíveis os gradientes transversais (isto é, perpendiculares às LCs). 
Essas tensões se transmitem através do fluido e atingem a superfície da 
fD= 6 π m R U∞
fnorm= 43π R3 ρ g+2 π m R 
U∞
fcis= 4 π m R U∞
fD= 2 π m R U∞+ 4 π m R U∞
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido82
esfera. Alguns autores preferem a denominação “arraste de pressão”, uma 
vez que essa parcela (juntamente com o empuxo) provém da integração 
da pressão resultante no fluido junto à superfície da esfera.
A segunda parcela da força de arraste (4πmRU∞) vem da integração 
da força cisalhante no fluido junto à superfície da esfera e denomi-
na-se “arraste por atrito” pelas razões que se seguem. No interior da 
camada limite, isto é, muito próximo da superfície da esfera, as taxas 
de deformação estão associadas principalmente a tensões cisalhantes 
no fluido, às quais, usualmente, associa-se o conceito de atrito. Nesse 
caso, as taxas de deformação são expressas por gradientes transversais 
de velocidade, sendo desprezíveis os gradientes longitudinais. Essas 
tensões se transmitem através do fluido e atingem a superfície da es-
fera. Alguns autores preferem a denominação “arraste por atrito em 
película”, o que equivale a assimilar a camada limite, sede das tensões 
cisalhantes, a uma película fluida que envolve a esfera ao mesmo tempo 
que escoa.
Resumindo, no caso da lei de Stokes, a força de arraste sobre a esfera é 
um terço arraste de forma e dois terços arraste por atrito.
A lei de Stokes pode ser estendida ao caso típico de operações unitárias, 
em que fluido e esfera possuem velocidade relativa U∞ – v, como segue:
f = 3 D U vD ( )piµ −∞ (2.39)
em que D é o diâmetro da esfera.
Na forma escalar, a última equação se escreve:
f = 3 D U vD piµ −∞ (2.40)
A Equação 2.22, oriunda da análise dimensional, para o caso de uma 
esfera de diâmetro D, se escreve como:
f =
8
C D U vD D
2 2pi ρ −
∞ (2.41)
Eliminando-se fD entre as Equações 2.40 e 2.41 e isolando-se CD, 
obtém-se:
C =
24
D U vD
µ
− ρ
∞
 (2.42)
fD= 3 π m D U∞- v
fD= 3 π m D U∞- v
fD=π8CD ρ D2 U∞- v2
CD = 24 mD U∞ − v ρ
2.3 Lei de Stokes 83
Ou, equivalentemente:
C =
24
ReD p
 (2.43)
Observe-se que, sem fazer nenhum experimento, determinou-se como 
estão relacionados CD e Rep de esferas (na verdade são dez restrições!), 
grupos adimensionais esses gerados, justamente, com o objetivo de 
correlacionar dados experimentais.
É preciso não esquecer-se de que as Equações 2.42 e 2.43 são válidas 
apenas nos casos em que forem respeitadas as dez restrições da lei de 
Stokes, uma vez que fez-se uso da Equação 2.40 em sua dedução.
Do desenvolvimento anterior, fica claro que a força que o fluido faz 
sobre a partícula tem duas contribuições distintas:
1. uma parte estática, que está presente mesmo que não haja 
movimento relativo fluido-partícula, e que se denomina empuxo;
2. uma parte dinâmica, que só aparece quando existe movimento 
relativo fluido-partícula, e que se denomina força dinâmica.
No caso específico das operações unitárias, adotou-se a hipótese simpli-
ficadora, segundo a qual, são desprezíveis as forças do tipo sustentação 
(lift) que o fluido exerce sobre a partícula e, sob tal condição, a força 
dinâmica reduz-se a uma força de arraste. Viu-se também que a força 
de arraste tem duas parcelas oriundas de fenômenos distintos: arraste 
de forma e arraste por atrito.
Em vista da lei de Stokes, pode-se obter uma expressão para a velocidade 
terminal de esferas, eliminando CD entre as Equações 2.2-29 e 2.42.
Todavia, é preciso lembrar que a Equação 2.2-29 tem, apenas, a restrição 
de “fluido infinito”, isto é, a partícula analisada está, por hipótese, longe 
de outras partículas e de paredes. Já a Equação 2.42 está sujeita às dez 
restrições da lei de Stokes, uma das quais é a de “fluido infinito”. O 
resultado é a clássica expressão:
v =
D ( ) b
18t, Stk
2
Sρ − ρ
µ (2.44)
em que o símbolo vt,Stk enfatiza que a expressão só é válida se forem 
respeitadas as dez restrições da lei de Stokes. Note que a Equação 2.44 
é idêntica à Equação 1.21.
CD = 24 Rep
vt, Stk = D2 (ρS − ρ) b18 m
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido84
Na verdade, o diâmetro de Stokes de partícula (dStk) introduzido no 
Capítulo 1 é, por definição, igual ao diâmetro da esfera (D), que aparece 
na Equação 2.44. Assim, tem-se:
d =
18 v
( – ) bStk
t, Stk
s
µ
ρ ρ (2.45)
Note que a Equação 2.45 é idêntica à Equação 1.23. É importante lem-
brar que as Equações 2.44 e 2.45 restringem-se a campos gravitacionais 
e centrífugos de intensidade b.
2.4  DADOS EXPERIMENTAIS
Neste item, são analisados dados experimentais relativos a seis tipos 
comuns de violações das restrições da lei de Stokes. Nos cinco pri-
meiros casos uma única restrição é violada, e no último, que é o mais 
importante para as operações unitárias, duas restrições são violadas, 
simultaneamente.
Diversas técnicas experimentais são usadas correntemente na obtenção 
desses dados, das quais destacam-se:
1. Queda individual de partículas em fluidos estacionários, 
tipicamente sob velocidade terminal.
2. Sedimentação de suspensões.
3. Permeametria.
4. Fluidização.
5. Ensaios em túneis de vento, quando são necessárias altas 
velocidades relativas.
Qualquer que seja a técnica experimental empregada, é semprepossível, 
e de fato desejável, expressar os dados sob a forma de correlações entre 
os grupos adimensionais CD e Rep, como será visto adiante.
Por exemplo, é muito fácil, e pouco dispendioso, medir a velocidade ter-
minal de partículas caindo em líquidos sob a ação do campo gravitacional. 
No ensaio de uma esfera lisa de diâmetro D, os valores de CD poderão ser 
calculados a partir de vt com a Equação 2.1-30 que, nesse caso, fornece:
C =
4 D – g
3 vD
s
t
2
)(ρ ρ
ρ (2.46)
dStk = 18 m vt, Stk(ρs - ρ) b
CD = 4 D ρs - ρ g3 ρ vt2
2.4 Dados experimentais 85
enquanto o valor de Rep, nesse caso, é dado por:
Re =
D v
p
t ρ
µ
 (2.47)
Note que esses são valores experimentais de CD e Rep e, portanto, com 
potencial para violar alguma restrição conhecida da lei de Stokes. A de-
pendência entre CD e Rep pode ser estabelecida lançando-se os pares or-
denados em diferentes tipos de diagramas (cartesiano, semi-log, log-log).
Um passo adicional extremamente importante seria, então, detectar na 
correlação obtida, eventualmente, por exemplo, a partir de que valor de 
Rep ocorre a violação da lei de Stokes.
■ Diagrama CD versus Rep para esferas lisas
Esse diagrama refere-se a violações da restrição (8) da lei de Stokes, que 
prevê escoamento lento.
A Figura 2.9 mostra a correlação entre CD e Rep para esferas lisas em 
gráfico do tipo log-log. Os dados experimentais foram compilados 
originalmente por Schlichting (1968).
Rep = D vt ρm
FIGURA 2.9
CD versus Rep para esferas (Morrison, 2012).
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido86
Uma forma algébrica da correlação CD versus Rep, para esferas lisas, foi 
obtida recentemente por Morrison (2012), conforme segue:
C =
24
Re
+
2,6
Re
5,0
1+
Re
5,0
+
0,411
Re
263.000
1+
Re
263.000
+
Re
461.000
D
p
p
p
1,52
p
–7,94
p
8,00
p
0,80




















−
 
(2.48)
A autora não recomenda o uso da equação para Rep maiores que 10
6, e 
informa que, para Rep menores que 2, a equação reduz-se a CD = 24/Rep.
O diagrama CD versus Rep permite estabelecer com razoável precisão o que 
significa na prática o termo “escoamento lento” (lei Stokes, restrição 8).
Usando logaritmos de base 10 na Equação 2.43 vem:
log C = log 24 log ReD p− (2.49)
Sobre o diagrama log-log da Figura 2.9, a Equação 2.44 prevê uma reta 
cuja inclinação é -1, isto é, que forma um ângulo de 135° com o eixo ho-
rizontal, medido no sentido trigonométrico/anti-horário (tg 135° = –1).
Voltando à Figura 2.9, que se baseia exclusivamente em dados ex-
perimentais, constata-se que para Rep < 0,1 (aproximadamente), de 
fato tem-se uma reta de coeficiente angular -1, conforme previsto pela 
Equação 2.44, o que nos dá o critério quantitativo para “escoamento 
lento”: Rep < 0,1.
Na verdade, há controvérsias entre pesquisadores e autores da área, 
acerca do valor crítico de Rep, sendo comum o uso de valores entre 0,1 
e 1. Neste livro, adota-se o valor 0,4, que é recomendado por Kunii e 
Levenspiel (1969).
O diagrama da Figura 2.9 pode, então, ser convenientemente dividido 
em quatro regiões, que são denominadas conforme segue:
■ Rep < 0,4 ⇒ regime de Stokes.
■ 0,4 < Rep < 500 ⇒ regime de transição.
CD = 24Rep + 2,
6Rep5,01 + Rep5,
01,52 + 0,411Rep263.000-
7,941 + Rep263.000−8,00-
 + Rep0,80461.000
log CD= log 24 - log Rep
2.4 Dados experimentais 87
■ 500 < Rep < 200.000 ⇒ regime de Newton.
■ Rep > 200.000 ⇒ turbulência na camada limite.
No caso específico das operações unitárias da engenharia química, os 
regimes mais comuns são o de Stokes e o de transição.
Merece um comentário adicional o fenômeno conhecido como “des-
colamento da camada limite” ou “separação do escoamento” a que 
está sujeito o fluido em escoamento nas proximidades da superfície da 
esfera. O descolamento da camada limite está intimamente associado a 
quedas no valor de CD, isto é, a diminuição no valor de fD, já que fD varia 
linearmente com CD (Equação 2.24). Observe-se que a tendência geral de 
CD, mostrada na Figura 2.9, é a de diminuição com o aumento de Rep.
Denomina-se camada limite uma região do fluido em escoamento, bem 
próxima da superfície da esfera. Nessa região, a velocidade do fluido varia 
muito com a distância da superfície da esfera, ou seja, o perfil de velo-
cidades do fluido é tal que os gradientes transversais de velocidade são 
elevados. Isso corresponde a intensas forças de atrito entre as camadas 
do fluido em contato, isto é, forças de natureza viscosa. Usa-se também 
o termo “camada limite hidrodinâmica” para diferenciar de “camada 
limite térmica” e “camada limite mássica”, que estão associados, res-
pectivamente, à existência de perfis de temperaturas e de concentrações 
de espécies químicas no fluido em escoamento.
Para facilitar a análise, considere-se a esfera seccionada ao meio por um 
plano imaginário perpendicular a U∞. O fluido que se aproxima da esfera 
com velocidade U∞ encontra primeiro o hemisfério à frente do plano, 
escoa sobre ele e, em seguida, sobre o hemisfério atrás do plano. Estabe-
leceu-se experimentalmente que, no caso da esfera, o descolamento da 
camada limite ocorre em torno de Rep = 5 e que o ponto de descolamento 
se localiza no hemisfério atrás do plano imaginário (Comolet, 1963).
Conforme Rep aumenta, o ponto da superfície da esfera em que ocorre 
o descolamento da camada limite desloca-se em direção ao hemisfério 
da frente, isto é, no sentido oposto ao escoamento do fluido. Em uma 
faixa estreita de Rep em torno de Rep = 200.000, a camada limite, que 
até então era laminar, se torna turbulenta, o ponto de descolamento da 
camada limite retorna ao hemisfério de trás e o valor de CD sofre uma 
queda abrupta, como mostra a Figura 2.9.
■ Diagrama CD versus Rep para esferas rugosas
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido88
Esse diagrama refere-se a violações da restrição (2) da lei de Stokes, que 
exige esferas lisas.
A Figura 2.10, adaptada de página eletrônica da NASA (2010), per-
mite comparar a dependência CD versus Rep para esferas lisas e rugosas. 
Note-se que o regime de Stokes, isto é, Rep < 0,4 (valor adotado neste 
texto), não está presente na escala horizontal.
Analogamente ao que se faz com tubulações, seria natural quantificar 
a rugosidade da esfera em termos de rugosidade relativa, isto é, a razão 
entre a altura média das cristas presentes na superfície da esfera (medidas 
a partir de algum raio-base) e o diâmetro da esfera. Entretanto, no que 
concerne à Figura 2.10, tal informação não está disponível.
Percebe-se, claramente, que o advento de turbulência na camada limite 
ocorre com queda abrupta de CD para valores de Rep entre 10
4 e 105, isto é, 
cerca de uma ordem de grandeza menor do que ocorria com a esfera lisa.
Embora não seja exatamente uma aplicação a operações unitárias, bolas 
de golfe ilustram bem o efeito da rugosidade superficial de esferas. Essas 
FIGURA 2.10
CD versus Rep para esferas lisas e rugosas (NASA, 2010).
2.4 Dados experimentais 89
bolas são fabricadas com a superfície propositalmente rugosa, de modo a 
diminuir o esforço requerido do jogador para arremessá-la a grandes dis-
tâncias. Isso é conseguido moldando-se a bola com cerca de quatrocentas 
pequenas depressões na forma de calotas esféricas, em sua superfície. Se 
o jogador conseguir imprimir uma velocidade inicial à bola que resulte 
turbulência na camada limite do ar que escoa em torno dela, ela irá mais 
longe, pois a queda abrupta em CD, vista anteriormente, corresponde a 
uma queda abrupta em fD (veja Equação 2.22).
■ Efeito de parede
Esse fenômeno tem a ver com violações da restrição (7) da lei de Stokes 
que prevê,fluido “infinito”.
Seja o caso simples, e por isso mesmo muito estudado, do efeito simétrico 
de paredes cilíndricas sobre esferas. Na verdade, a análise desse problema 
fundamenta o uso do chamado viscosímetro de Stokes (ou viscosímetro 
de bola), muito usado na determinação da viscosidade de líquidos.
A Figura 2.11 mostra uma esfera lisa de diâmetro D no interior de um 
tubo vertical de diâmetro Dt. A esfera está posicionada sobre o eixo de 
simetria do tubo, que também contém um líquido de densidade ρ e 
viscosidade m que preenche o restante do espaço interno do tubo.
FIGURA 2.11
Efeito simétrico de paredes cilíndricas sobre esfera lisa.
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido90
Por hipótese, a esfera e o líquido possuem velocidade relativa, o que na 
prática pode acontecer de muitas maneiras. Por exemplo:
1. O líquido está “parado” e a esfera, por hipótese mais densa que 
ele, move-se para baixo (esse é o caso do viscosímetro de Stokes).
2. O líquido está “parado” e a esfera, por hipótese, menos densa 
que ele, move-se para cima.
3. O líquido escoa para cima e a esfera move-se para cima arrastada 
pelo líquido, mas com uma velocidade menor que ele.
4. O líquido escoa para cima e a esfera, por hipótese, mais densa 
que ele, move-se para baixo etc.
Dados experimentais sobre tais sistemas foram correlacionados confor-
me segue:
C =
24
k ReD w p∞
 (2.50)
em que kw é um fator empírico de correção, adimensional, que le-
va em conta o “efeito de parede” e que depende da razão D/Dt. O 
subscrito w vem de wall, parede em inglês. Rep∞ é o número de Rey-
nolds de partícula para “fluido infinito”, isto é, em ausência de “efeito 
de parede”.
Considerando que, fisicamente, o “efeito de parede” é o de aumento 
de fD, resulta que kw é menor que 1, o que corresponde a valores de 
CD maiores que o previsto pela Equação 2.43, que se baseia na lei de 
Stokes.
Note que a estrutura da Equação 2.50 mostra que ela só pode ser usada 
nos casos em que, eliminando-se o “efeito de parede”, isto é, fazendo- 
se kw igual a 1, recai-se no resultado clássico obtido pela lei de 
Stokes.
Para valores de D/Dt menores que 0,05, o valor de kw pode ser calculado 
pela expressão conhecida como correção de Ladenburg (Perry, 1984):
k =
1
1+ 2,1
D
D
w
t




 (2.51)
CD = 24kw Rep ∞ 
kw = 11 + 2,1 DDt
2.4 Dados experimentais 91
Pode-se escrever, então, que:
C =
24
Re
1+ 2,1
D
D
,
D
D
0,05D
p t t



 <
∞
 (2.52)
Para valores de D/Dt ≥ 0,05, os valores de kw a serem usados na 
Equação 2.50 são dados diretamente na Tabela 2.2, transcrita de Perry 
(1984).
CD = 24Rep ∞1 + 2,1 DD
t , DDt < 0,05
Note que, conforme exigido, eliminando-se o “efeito de parede”, o que 
equivale a fazer Dt tender a infinito, recai-se no resultado obtido pela 
lei de Stokes:
lim C =
24
ReD D pt→ ∞ ∞
 (2.53)
Note ainda que, na Equação 2.52, estão presentes três grupos adimen-
sionais, que são CD, Rep∞ e D/Dt, que é um novo grupo adimensional, 
responsável pelo “efeito de parede”.
Uma aplicação interessante do “efeito de parede” é o equipamento 
denominado rotâmetro, usado para a medida de vazões de fluidos.
limDt→ ∞CD = 24Rep ∞
Tabela 2.2  Parâmetros de correlação no efeito simétrico de paredes 
cilíndricas sobre esferas
D/Dt kw
0,05 0,885
0,1 0,792
0,2 0,596
0,3 0,422
0,4 0,279
0,5 0,170
0,6 0,0945
0,7 0,0468
0,8 0,0205
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido92
A Figura 2.12 mostra, de maneira bem esquemática, os elementos es-
senciais de um rotâmetro típico.
Basicamente, trata-se de um tubo de vidro em forma de tronco de cone 
reto, com o eixo de simetria posicionado na vertical. No interior do 
tubo há um corpo sólido, mais denso que o fluido em escoamento, 
denominado “flutuador”, que é livre para se mover. O fluido cuja vazão 
se deseja medir escoa através do dispositivo de baixo para cima. Para 
cada vazão de fluido, o flutuador assume uma única posição de equilí-
brio no interior do tubo, que, sendo de vidro, permite sua visualização. 
O rotâmetro pode, então, ser calibrado para um dado fluido, pressão 
e temperatura. Em geral, uma escala de vazões é impressa no próprio 
tubo. Evidentemente, o equipamento só pode ser utilizado com fluidos 
razoavelmente transparentes.
Para uma dada posição de equilíbrio do flutuador no interior do tu-
bo, seu peso é equilibrado pela soma de arraste e empuxo. Como o 
peso e o empuxo não dependem da posição do flutuador, conclui-se 
que, em qualquer posição de equilíbrio considerada, a força de arraste 
que o fluido exerce sobre o flutuador é a mesma. Com o flutuador em 
FIGURA 2.12
Rotâmetro usando uma esfera como flutuador.
2.4 Dados experimentais 93
equilíbrio (v = 0), a expressão da força de arraste deduzida anteriormente 
(Equação 2.22), na forma escalar, simplifica-se para:
f =
C d U
8D
D p
2 2pi ρ
∞
 (2.54)
Vê-se, então, que a única maneira de a força de arraste permanecer cons-
tante é CD e U∞ variarem em sentidos opostos quando o flutuador se 
mover no interior do rotâmetro. Assim, em uma posição baixa dentro 
do tubo o flutuador estará muito próximo da parede, em que o “efeito 
de parede” é grande e CD é, correspondentemente, alto. Então, U∞ é pe-
queno, equivalendo isso a vazões baixas de fluido. Se a vazão aumentar, 
U∞ aumentará e o flutuador subirá no interior do tubo e estacionará em 
uma nova posição mais afastada de suas paredes em que CD é menor. 
Conclui-se que o rotâmetro opera com “efeito de parede” variável.
Apenas como curiosidade, registre-se que o nome “rotâmetro” relacio-
na-se ao fato de que, em operação, o flutuador – que sempre possui 
um eixo de simetria vertical – gira continuamente em torno desse eixo. 
Esse fenômeno tem a ver com o chamado “escoamento secundário” 
do fluido em torno do flutuador, relacionado principalmente com a 
não uniformidade do perfil de velocidades na entrada e na saída do 
equipamento. Na prática considera-se que, longe do flutuador, o es-
coamento é unidimensional.
■ Efeito de população
Esse fenômeno tem a ver com violações da restrição (7) da lei de Stokes 
que prevê, fluido “infinito”.
Segundo Perry (1984), o efeito da concentração de partículas em sus-
pensão, sobre as forças que agem sobre as próprias partículas, comumente 
referido por “efeito de população”, é tal que produz cerca de 1% de re-
dução na velocidade de sedimentação, para concentrações de sólidos em 
suspensão da ordem de 0,1% em volume. O problema é extremamente 
complexo, pois envolve efeitos de paredes móveis e choques partícula-par-
tícula. Para uma dada partícula em suspensão, o “efeito de população” 
equivale a aumentos de densidade e viscosidade do fluido com que a 
partícula interage. Assim, o “efeito de população” leva a aumentos do 
coeficiente de arraste e, portanto, da força de arraste sobre a partícula.
fD = π CD dp2 ρ U∞28
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido94
Dados experimentais sobre tais sistemas foram correlacionados confor-
me segue:
C =
24
k ReD pε ∞
 (2.55)
em que kε é um fator empírico de correção, adimensional, que leva em 
conta o “efeito de população” e que depende da concentração de sólidos 
no sistema. O subscrito ε lembra o símbolo de porosidade (veja adiante). 
Rep∞ é o número de Reynolds de partícula para “fluido infinito”, isto é, 
em ausência de “efeito de população”.
Considerando que, fisicamente, o “efeito de população” é o de aumento 
de fD, resulta que kε é menor que 1, o que corresponde a valores de CD 
maiores que o previsto pela Equação 2.43, que se baseia na lei de Stokes.
Note que a estrutura da Equação 2.55 mostra que ela só pode ser usa-
da nos casos em que, eliminando-se o “efeito de população”, isto é, 
fazendo-se kε igual a 1, recai-seno resultado clássico obtido pela lei de 
Stokes.
Em extenso programa experimental, Richardson e Zaki (1954) estudaram 
a sedimentação e a fluidização de microesferas de vidro (BallotiniTM) e 
de plástico (polidivinilbenzeno). Foi testada uma ampla faixa de tama-
nhos de partículas, diversos líquidos e várias porosidades (ε), grandeza 
adimensional que expressa a fração em volume de líquido no sistema 
sólido-líquido, conforme segue:
=
volume de líquido
volume de líquido + volume de sólido
ε (2.56)
Dois experimentos típicos, com uma dada população de partículas es-
féricas idênticas (D e ρs conhecidos), são descritos resumidamente a 
seguir:
Ensaio 1: as partículas são suspensas em um líquido (ρ e m conhecidos 
e ρs > ρ) sob agitação, de modo a se obter uma porosidade inicial 
homogênea (ε conhecida). A seguir, a suspensão é posta a decantar 
sob a ação da gravidade. Constata-se que há um período inicial em que 
todas as partículas caem com a mesma velocidade que, então, apro-
priadamente, denomina-se velocidade de sedimentação. Constata-se, 
CD = 24kε Rep ∞ 
ε = volume de líquido volu-
me de líquido + volume de 
sólido
ρ
ρS
2.4 Dados experimentais 95
também, que a velocidade de sedimentação diminui quando a po-
rosidade inicial diminui. Note que a velocidade de sedimentação é a 
velocidade terminal das partículas sob “efeito de população” (vt ε) que 
pode, então, ser medida.
Ensaio 2: as partículas são fluidizadas com o líquido usando-se uma 
velocidade uf conhecida (denominada velocidade superficial e calculada 
com base na área transversal do tubo que contém o leito) tal que o 
leito fluidizado tenha a mesma porosidade do ensaio de sedimentação. 
Nessas condições, as partículas fluidizadas estarão, idealmente, em 
equilíbrio (v = 0), suspensas no líquido que escoa para cima com uma 
velocidade uf/ε (denominada velocidade intersticial e calculada com base 
na fração em volume de líquido no leito). Assim, a velocidade relativa 
líquido-partícula no leito fluidizado é a própria uf/ε.
Nessas condições, e excluindo-se a região periférica do leito fluidizado, 
em que, ao “efeito de população” acresce-se o “efeito de parede”, os 
autores concluíram que:
v = u /t f εε (2.57)
Relativamente aos “efeitos de população” propriamente ditos, os autores 
correlacionaram vt ε e vt ∞ conforme segue:
v /vt t = εε ∞
β (2.58)
em que vt ∞ é a velocidade terminal de uma micro esfera em fluido 
infinito, isto é, sem “efeito de população”.
Com base na Equação 2.30, pode-se escrever expessões para vt ε e vt ∞, 
como segue:
v =
4 d ( ) g
3 Ct
p s
D
ρ − ρ
ρε ε
 (2.59)
em que CD ε é o coeficiente de arraste sob “efeito de população”.
v =
4 d ( ) g
3 Ct
p s
D
ρ − ρ
ρ∞
∞
 (2.60)
em que CD ∞ é o coeficiente de arraste para fluido infinito, isto é, sem 
“efeito de população”.
vt ε=uf/ε
vt ε/vt∞=ε b
vt ε=4 dp(ρs − ρ) g3 ρ CD ε
vt ∞=4 dp(ρs − ρ) g3 ρ CD ∞
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido96
Substituindo-se as Equações 2.59 e 2.60 na Equação 2.58, obtém-se:
C
C
=D
D
ε
∞
ε
β
 (2.61)
ou seja:
C
C
=D
D
2ε
∞
ε
β
 (2.62)
Pode-se reescrever a Equação 2.43 com a notação adotada antes, 
resultando:
C =
24
ReD p
∞
∞
 (2.63)
Finalmente, eliminando-se CD ∞ entre as Equações 2.62 e 2.63, vem:
C =
24
ReD p
2εε
∞
− β
 (2.64)
Comparando-se as Equações 2.55 e 2.64, conclui-se que:
k = 2εε
β
 (2.65)
em que b é uma constante empírica adimensional, cujo valor depende 
de Rep∞ conforme consta na Tabela 2.3.
CD ∞CD ε = ε b
CD ∞CD ε = ε 2 b
CD ∞ = 24 Rep ∞
CD ε = 24 Rep ∞ ε− 2 b
kε = ε 2 b
Tabela 2.3  Parâmetros de correlação no efeito de população sobre 
partículas esféricas (Maude e Whitmore, 1958)
Rep∞ b
10–2 4,6
10–1 4,5
1 4,2
10 3,6
102 3,1
103 2,5
104 2,3
105 2,3
2.4 Dados experimentais 97
Note-se que, conforme exigido, eliminando-se o “efeito de população”, 
o que equivale a fazer ε tender a 1, recai-se no resultado obtido através 
da lei de Stokes:
limC =
24
Re1 D pε → ∞
 (2.66)
Note-se ainda que, na Equação 2.64, estão presentes três grupos adimen-
sionais, que são CD e Rep∞, bem como um novo grupo adimensional 
que é ε, responsável pelo efeito de população.
■ Efeito de deslizamento
Esse efeito refere-se a violações da restrição (6) da lei de Stokes, que exige 
fluido homogêneo comparado ao tamanho da esfera.
O deslizamento, ou o escorregamento, de um fluido sobre uma superfí-
cie sólida corresponde à violação da chamada “condição de aderência”, 
segundo a qual o fluido junto a uma superfície sólida tem a mesma 
velocidade que ela.
As evidências experimentais sobre a aderência de fluidos a superfícies 
sólidas são amplas. O mecanismo envolvido é, basicamente, do tipo 
adsorção molecular, isto é, envolve forças do tipo van der Waals entre 
as moléculas dos fluidos e os átomos da superfície sólida. No caso da 
interação entre partículas e fluidos newtonianos, o deslizamento só é 
relevante com gases, e ocorre quando o tamanho de partícula é da mes-
ma ordem de grandeza que o livre percurso médio das moléculas do 
gás. Sob tais condições, diz-se que o gás exibe escoamento molecular 
livre, ou escoamento de Knudsen, em que a hipótese do contínuo não 
é mais válida, daí advindo a necessidade de correções.
A título de ilustração, sabe-se que, para o ar na temperatura e pressão 
ambiente, o “efeito de deslizamento” torna-se significativo para partí-
culas menores que cerca de 15 mm.
Dados experimentais sobre tais sistemas foram correlacionados confor-
me segue:
C =
24
k ReD s p ∞
 (2.67)
limε → 1CD = 24Rep ∞
CD = 24ks Rep ∞ 
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido98
em que ks é um fator empírico de correção, adimensional, que leva 
em conta o “efeito de deslizamento”, e que depende da razão entre o 
livre percurso médio das moléculas do gás e o tamanho das partículas. 
O subscrito s vem de slip, deslizamento em inglês. Rep∞ é o número 
de Reynolds de partícula para “fluido infinito”, isto é, em ausência de 
“efeito de deslizamento”.
Considerando-se que fisicamente o “efeito de deslizamento” é o de 
diminuição de fD, resulta que ks é maior que 1, o que corresponde a 
valores de CD menores que o previsto pela Equação 2.43, que se baseia 
na lei de Stokes.
Note-se que a estrutura da Equação 2.67 mostra que ela só pode ser 
usada nos casos em que, eliminando-se o “efeito de deslizamento”, isto 
é, fazendo-se ks igual a 1, recai-se no resultado clássico obtido através da 
lei de Stokes.
O problema foi estudado por E. Cunningham (1910), que obteve a 
seguinte expressão, para o caso de partículas esféricas de diâmetro D:
k =1+
2
D
A + A exp
A D
s 1 2
3λ −
λ
 

 (2.68)
em que λ é o livre percurso médio das moléculas do gás e A1, A2 e A3 
são constantes empíricas adimensionais, que só dependem do gás que 
interage com as partículas.
Complementando as informações dadas anteriormente sobre o ar, 
sabe-se que na temperatura e pressão ambientes aquelas constantes para 
o ar são A1 = 1,257, A2 = 0,400 e A3 = 0,55 (Davies, 1945).
Estimativas de valores de ks podem ser obtidas com a expressão:
k 1+
6,21 10 T
Ds
– 4
≅
×
 (2.69)
em que T é temperatura absoluta em K e D é diâmetro das partículas em 
mm. A constante 6,21 × 10–4 tem dimensões de L/T.
Note-se que, conforme exigido, eliminando-se o “efeito de deslizamen-
to”, o que equivale a fazer D tender a ∞, recai-se no resultado obtido 
pela lei de Stokes:
ks = 1 + 2 lD A1 + A2 exp 
− A3 Dl
ks ≅ 1 + 6,21×10- 4 TD
2.4 Dados experimentais 99
lim C =
24
ReD Dp→ ∞ ∞
 (2.70)
Substituindo-se o valor de ks dado pela Equação 2.68 na Equação 2.67, 
vem:
C =
24
1+
2
D
A + A exp
–A D Re
D
1 2
3 p
λ
λ
 



 ∞
 (2.71)
Alternativamente, para estimativas do “efeito de deslizamento”, pode-se 
usar:
C
24
1+
6,21 10 T
D
Re
D – 4
p
≅
×


 ∞
 (2.72)
em que T é a temperatura absoluta do sistema sólido-gás em K e D é o 
diâmetro das partículas em mm (APTI 413, Ch. 4).
Note-se ainda que, na Equação 2.71, estão presentes três grupos adimen-
sionais, que são CD e Rep∞, bem como um novo grupo adimensional 
que é λ/D, responsável pelo efeito de deslizamento. O mesmo acontece 
na Equação 2.72, em que o livre percurso médio das moléculas do gás 
é dado por 6,21 × 10–4 T, com T expresso em K.
■ Diagrama CD versus Rep para partículas não esféricas
Esse diagrama refere-se a violações simultâneas das restrições (1) e (8), 
da lei de Stokes, que exigem, respectivamente, partículas esféricas e es-
coamento lento.
A Figura 2.13, adaptada de Haider e Levenspiel (1989), mostra a corre-
lação entre CD e Rep tendo φ como parâmetro. Os dados experimentais 
foram obtidos, originalmente, por diversos pesquisadores usando es-
feras lisas, partículas não esféricas mas isométricas (tetraedros, cubos, 
octaedros etc.) e discos.
limD → ∞CD = 24Rep ∞
CD = 241 + 2 lD A1 + A2 exp -A3 D
lRep ∞
CD ≅ 241 + 6,21×10-
 4 TDRep ∞
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido100
Segundo os autores, a dependência de CD com Rep para esferas lisas, 
pode ser representada por:
C =
24
Re
1+ 0,1806Re +
0,4251
1+
6880,95
Re
,Re 2,6 10D
p
p
0,6459
p
p
5( ) < × (2.73)
Essa correlação baseia-se em 408 pontos experimentais e vale para 
Rep < 2,6 × 10
5, isto é, não inclui a região de turbulência na camada 
limite. Já a correlação de Morrison (2012), Equação 2.48, tem validade 
estendida até Rep = 10
6, o que inclui boa parte da referida região.
Segundo os autores, a dependência de CD com Rep para partículas não 
esféricas e isométricas e discos pode ser representada com boa aproxi-
mação por:
C =
24
Re
1+[8,1717 exp –4,0655 ] Re +
73,69 Re exp (–5,0748 )
Re + 5,378 exp (6,2122 )
D
p
p
0,0964 + 0,5565
p
p
( )φ × 
φ
φ
( )φ
 
(2.74)
CD = 24Rep1 + 0,1806
Rep0,6459 + 0,42511 + -
6880,95Rep ,Rep<2,6×105
CD=24Rep1+[8,1717 exp-
4,0655 φ]×R
ep0,0964 + 0,5565 
φ+ 
 73,69 Rep exp(-5,0748 φ)R
ep+5,378 exp(6,2122 φ)
FIGURA 2.13
CD versus Rep, φ (adaptado de Haider and Levenspiel, 1989).
2.5 Dois problemas importantes 101
A Equação 2.74 baseia-se em 506 pontos experimentais, sendo, na 
verdade, uma versão simplificada da correlação usada pelos autores no 
traçado das curvas da Figura 2.13. A faixa de Rep, em que a correlação 
anterior é válida, depende da própria esfericidade das partículas, con-
forme mostrado na figura.
Para partículas não esféricas e não isométricas, dispõe-se da correlação 
de Ganser (1993), que, além da esfericidade das partículas, inclui um 
segundo fator de forma representado por dp/dA, conforme segue:
C =
1
K
24
Re
1+ 0,1118 K K Re 0,6567
+
0,4305K K Re
3305+ K K Re
D
1 p
1 2 p
1 2
2
p
1 2 p
{ })(
 (2.75)
em que
K =
1
3
d
d
+
2
31
p
A
–
1
2
–1
φ

 (2.76)
e
K =102
1,8148 – log 0,5743)( φ
 (2.77)
Observe-se que nas Equações 2.74 a 2.77, analogamente a D/Dt (efeito 
de parede), ε (efeito de população) e λ/D (efeito de deslizamento), 
tanto a esfericidade (φ) quanto d p/d A são novos grupos adimensionais 
(razão de áreas e razão de diâmetros, respectivamente) que quantificam 
os efeitos da forma das partículas sobre a interação partícula-fluido.
2.5  DOIS PROBLEMAS IMPORTANTES
No projeto, na avaliação e no ajuste operacional de equipamentos en-
volvidos em sistemas particulados, frequentemente, é necessário resolver 
dois tipos de problemas de interação entre partículas (ρS conhecido) e 
fluidos (ρ e m conhecidos) em ausência de acelerações:
■ Problemas do tipo (a): dados dp e φ, calcular U – v∞
■ Problemas do tipo (b): dados U – v
∞
 e φ, calcular dp
CD = 1K1 24Rep 1 + 0,11
18 K1 K2 Rep 0,6567 + 
0,4305 K1 K22 Rep3305 
+ K1 K2 Rep
K1 = 13 dpdA + 23 φ - 12 -1
K2 = 1
0 1,8148 - log φ 0,5743
U∞ - v
U∞ - v
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido102
Observe-se que, para a solução destes problemas, dispõe-se da correla-
ção entre CD, Rep e φ na forma da Figura 2.13 ou, alternativamente, da 
Equação 2.72.
Em ausência de acelerações (dv/dt = 0), a Equação 2.25 permite obter a 
expressão mais geral possível para o CD de uma partícula suspensa em 
um fluido em escoamento. Basta lembrar que V = π dp
3/6 e que A = π 
dp
2/4, o que fornece na forma escalar:
C =
4 d b
3 U v
D
p s
2
)(ρ − ρ
ρ −
∞ 
(2.78)
A expressão de Rep é bem conhecida:
Re
d U v
p
p
=
− ρ
µ
∞
 
(2.79)
Note-se que em nenhum dos tipos de problemas é possível calcular os 
valores de CD e Rep, já que ambos dependem de dp e U v−∞ .
2.5.1  Partículas isométricas
Pettyjohn e Christiansen (1948) ensaiaram, individualmente, esferas e 
partículas isométricas (cubos-octaedros, octaedros, cubos e tetraedros) 
de diversos materiais em queda, sob a ação do campo gravitacional 
terrestre, em vários líquidos. A geometria simples dessas partículas per-
mite que sua esfericidade seja calculada analiticamente. As partículas 
testadas possuíam esfericidades na faixa 0,67 < φ ≤ 1.
Em extenso programa experimental, utilizando sofisticado equipa-
mento especialmente construído para esse fim e provido de câmera 
filmadora móvel e banho termoestático, os autores quantificaram a 
velocidade terminal dessas partículas com grande precisão. Depois, 
pelas Equações 2.46 e 2.47, eles obtiveram os valores correspondentes 
de CD e Rep que, então, foram correlacionados juntamente com φ, 
conforme segue:
Regime de Stokes (Rep < 0,5)
C =
24
K ReD 1 p 
(2.80)
CD=4 dp ρs- ρ b3 ρ U∞-v2
Rep=dp U∞−v ρm
U∞ - v
CD=24K1Rep
2.5 Dois problemas importantes 103
em que
K = 0,843 log 0,065 (0,67 1)1 )(φ < φ ≤ (2.81)
Regime de Newton (2 × 103 < Rep < 2 × 10
5)
C = KD 2 (2.82)
em que
K = 5,31 4,88 (0,67 1)2 − φ < φ ≤ (2.83)
Observe-se que, para Pettyjohn e Christiansen (1948), o regime de 
Stokes ocorre para Rep < 0,5, ligeiramente estendido em comparação 
com o valor adotado por Kunii e Levenspiel (1969), Rep < 0,4. De fato, 
conforme já mencionado, são comuns valores de Rep entre 0,1 e 1,0.
Assim, os problemas dos tipos (a) e (b) podem ser resolvidos direta-
mente para os regimes de Stokes e Newton, conforme segue:
Regime de Stokes (Rep < 0,5)
Tipo (a): eliminando-se CD entre as Equações 2.78 e 2.80, substituin-
do-se Rep por sua expressão mais geral (Equação 2.79) e explicitando 
U v−
∞
, vem:
U v =
d b K
18
(Rep 0,5)p
2
s 1)(
−
ρ − ρ
µ
<
∞
 
(2.84)
Tipo (b): explicitando-se dp na Equação 2.84, vem:
d =
18 U v
b K
(Rep 0,5)p
s 1( )
µ −
ρ − ρ
<∞
 
(2.85)
Regime de Newton (2 × 103 < Rep < 2 × 10
5)
Tipo (a): eliminando-se CD entre as Equações 2.78 e 2.82, substituin-
do-se Rep por sua expressão mais geral (Equação 2.79) e explicitando-se 
U v−
∞
, vem:
U v =
4 d b
3 K
(2 10 Re 2 10 )p s
2
3
p
5)(
−
ρ − ρ
ρ
× < < ×
∞
 
(2.86)
K1 = 0,843 logφ / 0,065 (0
,67<φ ≤ 1)
CD = K2
K2 = 5,31 − 4,88 φ (0,67<
φ ≤ 1)
U∞−v
U∞- v = dp2 ρs - ρ b K1-
18 m (Rep<0,5)
dp = 18 mU∞ - vρs - ρ b K1-
 (Rep<0,5)
U∞−v
U∞ - v = 4 dp ρs - ρ b 3-
 ρ K2 (2×103<Rep<2×105)
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido104
Tipo (b): explicitando-se dp na Equação 2.86, vem:
d =
3 U v K
4 b
(2 10 Re 2 10 )p
2
2
s
3
p
4
)(
ρ −
ρ − ρ
× < < ×∞
 
(2.87)
2.5.2  Métodos iterativos gráficos
Os métodos que se seguem são bastante gerais, não dependendo do 
regime de escoamento partícula-fluido.
Os problemas do tipo (a), cuja incógnita é U - v∞ , podem ser resol-
vidos de duas maneiras, conforme segue:
(a1) Assume-se três valores para U - v∞ e calcula-se o valor das coor-
denadas de três pontos: (CD1, Rep1), (CD2, Rep2) e (CD3, Rep3). Marca-se 
os três pontos no diagrama CD versus Rep, φ (Figura 2.13) e traça-se 
a tendência, preferencialmente, com o auxílio de uma régua do tipo 
“curva francesa”. No ponto em que a tendência interceptar a curva de 
φ conhecido, tem-se o Rep solução no eixo horizontal, bem como o 
CD solução no eixo vertical, que então permitem o cálculo de U - v∞ .
(a2) Elimina-se U - v
∞
 entre as Equações 2.78 e 2.79, explicitando 
CD e tomando o logaritmo de base 10 da expressão resultante, obtendo:
log C = - 2 log Re + log
4 d - b
3D p
p
3
S
2
( )ρ ρ ρ
µ



 
(2.88)
Sobre o diagrama CD versus Rep, φ (Figura 2.13) a Equação 2.88 repre-
senta uma reta de inclinação – 2. Se Rep = 1, vem CD = 4 dp
3 S )(ρ ρ − ρ / 
3 m2, ou seja, a reta passa pelo ponto de coordenadas Rep = 1 e CD = 4 dp
3 
S )(ρ ρ − ρ / 3 m2.
Assim, conhecendo-se a inclinação da reta e um ponto pelo qual ela 
passa, pode-se traçá-la sobre o referido diagrama. No ponto em que a 
reta interceptar a curva de φ conhecido, tem-se o Rep solução no eixo 
horizontal, bem como o CD solução no eixo vertical, que então permitem 
o cálculo de U - v
∞
.
Os problemas do tipo (b), cuja incógnita é dp, podem ser resolvidos de 
duas maneiras, conforme segue:
dp=3 ρ U∞ - v2K24 ρs - ρ b-
 (2×103<Rep<2×104)
U∞ - v
U∞ - v
U∞ - v
U∞ - v
log CD = -
 2 log Rep + log 4 dp3 ρ ρS-
 ρ b3 m2 ρ ρS − ρ
ρ ρS − ρ
U∞ - v
2.5 Dois problemas importantes 105
(b1) Assume-se três valores para dp e calcula-se o valor das coordenadas 
de três pontos: (CD1, Rep1), (CD2, Rep2) e (CD3, Rep3). Marca-se os três 
pontos no diagrama CD versus Rep, φ (Figura 2.13) e traça-se a tendência, 
preferencialmente com o auxílio de uma uma régua do tipo “curva fran-
cesa”. No ponto em que a tendência interceptar a curva de φ conhecido, 
tem-se o Rep solução no eixo horizontal, bem como o CD solução no 
eixo vertical, que então permitem o cálculo de dp.
(b2) Elimina-se dp entre as Equações 2.78 e 2.79, explicitando CD e 
tomando o logaritmo de base 10 da expressão resultante, obtendo:
log C = log Re + log
4 b
3 U vD p
S
2 3
( )µ ρ − ρ
ρ −



∞ 
(2.89)
Sobre o diagrama CD versus Rep, φ (Figura 2.13), a Equação 2.89 re-
presenta uma reta de inclinação +1. Se Rep = 1, vem CD = 4 m S )(ρ − ρ b/ 
3 ρ2 U - v
∞
3, ou seja, a reta passa pelo ponto de coordenadas Rep = 1 
e CD = 4 m S )(ρ − ρ b/ 3 ρ2 U v−∞ 3.
Assim, conhecendo-se a inclinação da reta e um ponto pelo qual ela 
passa, pode-se traçá-la sobre o referido diagrama. No ponto em que 
ela interceptar a curva de φ conhecido, tem-se o Rep solução no eixo 
horizontal, bem como o CD solução no eixo vertical, que então per-
mitem o cálculo de dp.
2.5.3  Métodos iterativos algébricos
Os problemas do tipo (a), cuja incógnita é U v−
∞
, podem ser resol-
vidos conforme segue: (i) assume-se um valor para U v = p−
∞
; (ii) 
com esse valor calcula-se Rep (ou CD); (iii) com o valor de Rep (ou CD) 
e usando-se a correspondente curva de φ (dado) presente na correlação 
CD versus Rep, φ (Figura 2.13) ou o valor de φ (dado) e a Equação 2.74, 
calcula-se o valor de CD (ou Rep); (iv) com a expressão geral de CD 
(Equação 2.78), ou Rep (Equação 2.79), calcula-se um novo valor para 
U v = q−
∞
; (v) compara-se p e q e, com base em algum critério (por 
exemplo, módulo do desvio absoluto entre p e q menor ou igual a 2% 
de p), encerra-se o processo iterativo ou retorna-se à etapa (i) usando 
U v = q−
∞
 e assim por diante, até o critério ser obedecido.
Os problemas do tipo (b), cuja incógnita é dp, podem ser resolvidos 
conforme segue: (i) assume-se um valor para dp = r; (ii) com esse valor 
log CD = log Rep + log 4 m ρS- ρ b3 ρ2
U∞-v 3
ρS−ρ
U∞ - v
ρS−ρU∞ - v
U∞ - v
U∞ - v = p
U∞ - v = q
U∞ - v = q
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido106
calcula-se Rep (ou CD); (iii) com o valor de Rep (ou CD) e usando-se a 
correspondente curva de φ (dado) presente na correlação CD versus Rep, φ 
(Figura 2.13) ou o valor de φ (dado) e a Equação 2.74, calcula-se o valor 
de CD (ou Rep); (iv) com a expressão geral de CD (Equação 2.78) (ou Rep 
(Equação 2.79)) calcula-se um novo valor para dp = s; (v) compara-se 
r e s e, com base em algum critério (por exemplo, módulo do desvio 
absoluto entre r e s menor ou igual a 2% de r), encerra-se o processo 
iterativo ou retorna-se à etapa (i) usando dp = s e assim por diante, até 
o critério ser obedecido.
2.5.4  Métodos não iterativos
Esses métodos se baseiam em certas composições dos grupos adimen-
sionais CD e Rep, resultando novos grupos adimensionais, que podem 
ser calculados apenas com as informações disponíveis em cada caso, 
isto é, nos problemas dos tipos (a) e (b).
Entretanto esses grupos precisam ser novamente correlacionados a Rep 
ou CD, gerando então as novas correlações para a solução dos problemas 
dos tipos (a) e (b).
Os agrupamentos mais utilizados são: CD Rep
2, que não depende de 
U - v
∞
 e, portanto, são adequados à solução dos problemas do tipo 
(a), e CD/Rep, que não depende de dp e, portanto, são adequados à 
solução dos problemas do tipo (b).
A partir das Equações 2.78 e 2.79 é fácil mostrar que:
C Re =
4 d b
3D p
2 p
3
S
2
)(ρ ρ − ρ
µ 
(2.90)
e
C
Re
=
4 b
3 U v
D
p
S
2 2
)(µ ρ − ρ
ρ −
∞ 
(2.91)
Seguem-se as correlações CD versus Rep, φ, CD Rep2 versus Rep, φ e CD/Rep 
versus Rep, φ, obtidas por Coelho e Massarani (1996) a partir dos dados 
de Pettyjohn e Christiansen (1948). Segundo os autores, as correlações 
podem ser usadas para 0,67 < φ ≤ 1 e Rep < 5 × 104. Os valores de CD 
U∞ - v
CDRep2 = 4 dp3 ρ ρS -
 ρ b3 m2
CDRep = 4 m ρS - ρ b3 ρ2U-
∞−v 2
2.5 Dois problemas importantes 107
e Rep, obtidos com as correlações estão associados a incertezas na faixa 
de ± 10 a 14%.
C =
24
K Re
+ KD
1 p
0, 85
2
0, 85
1 0, 85









 
(2.92)
Re =
K C Re
24
+
C Re
Kp
1 D p
2 1, 2
D p
2
2
0, 6 1 1,2













− −
−
 
(2.93)
Re =
24
K C /Re
+
K
C /Rep 1 D p
0, 65
2
D p
1, 3 1 1,3













 
(2.94)
Uma limitação importante dos dados de Pettyjohn e Christiansen (1948) 
refere-se ao fato de, além de isométricas (isto é, uniformidade de di-
mensões externas), as partículas por eles ensaiadas serem perfeitamente 
convexas, ou seja, isentas de reentrâncias. O problema é que a presença 
de reentrâncias é uma característica bastante comum das partículas 
encontradas em processos industriais.
Recentemente, Melo, Mendes e Peçanha (2012) e, posteriormente, Al-
meida, Romano, Carvalho e Peçanha (2013), estudando a velocidade 
terminal de partículas de geometria simples, porémreentrantes, mos-
traram que a esfericidade (φ) não discrimina bem os efeitos da forma 
da partícula sobre a interação entre as referidas partículas e líquidos 
newtonianos. Como regra geral, verificou-se que, quanto maior for Rep, 
pior é o desempenho da esfericidade na correlação de dados. Foram in-
troduzidos dois novos fatores de forma (ICON, índice de convexidade, 
e IEC, índice de esfera circunscrita) que, em combinação com a esferi-
cidade, levaram a novas correlações baseadas em CD e Rep, com melhor 
poder preditivo que outras de uso corrente na literatura..
2.5.5  Nota sobre a história recente das correlações  
que envolvem CD, Rep e φ
Com base em diagrama log-log de CD versus Rep, φ, original do clássico 
livro-texto de Brown & Associates (1950), e que mais tarde apareceria, 
também, no livro de Foust et al. (1960), Kunii e Levenspiel (1969) 
CD = 24K1 Rep 0, 85+ K20, 
85 1 / 0, 85
Rep
=K1 CD Rep224− 1, 2+ CD Rep-
2K2− 0, 6 − 1 / 1,2
Rep=24K1 CD /
Rep0, 65+ K2CD /
Rep1, 3 1 / 1,3
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido108
obtiveram um diagrama log-log de CD Rep
2 versus Rep, φ, para a solução 
não iterativa de problemas do tipo (a).
Usando a mesma fonte, isto é, Brown & Associates (1950), Monteiro e 
Massarani (1977) obtiveram um diagrama log-log de CD/Rep versus Rep, 
φ para a solução não iterativa de problemas do tipo (b).
Esses diagramas foram, durante muito tempo, o principal recurso 
para a solução não iterativa daqueles problemas. Todavia, o diagrama 
log-log de CD versus Rep, φ, de Brown & Associates (1950), “pai” dos 
demais, era resultado de compilação de dados experimentais muito 
antigos e de fontes muito diversas, além de conter muitas interpolações 
e extrapolações de dados (representadas por linhas tracejadas, no 
original).
Posteriormente, Massarani (1984), já, então, com base apenas nos dados 
experimentais de Pettyjohn e Christiansen (1948), correlacionou CD 
versus Rep, φ (diagrama log-log e tabela), CD Rep2 versus Rep, φ (tabela) e 
CD/Rep versus Rep, φ (tabela).
Finalmente, Coelho e Massarani (1996) reanalisaram os dados de CD 
versus Rep, φ de Massarani (1984) e obtiveram as correlações algébricas 
representadas pelas Equações 2.92, 2.93, 2.94.
2.6  DUAS SITUAÇÕES DE INTERESSE PRÁTICO
A seguir, analisam-se dois problemas que ocorrem, frequentemente, 
no projeto, na avaliação e no ajuste operacional de equipamentos nos 
quais são processados sistemas sólido-fluido.
2.6.1  Partícula suspensa em fluido que escoa  
entre placas planas e paralelas
A Figura 2.14 mostra, esquematicamente, tal sistema com placas hori-
zontais perpendiculares ao plano do papel.
Em relação à Figura 2.14, várias observações são pertinentes:
1. Supõe-se que a partícula e o fluido se movem no plano do papel, 
isto é, que o problema ocorra em duas dimensões. Isso equiva-
le a desprezar os chamados “efeitos de borda”, que, na prática, 
estão sempre presentes em razão da existência de paredes per-
pendiculares às placas, as quais confinam o fluido lateralmente. 
2.6 Duas situações de interesse prático 109
Com frequência, esses efeitos são eliminados supondo-se “placas 
infinitas”.
2. Supõe-se que a região analisada não está sujeita a “efeitos de en-
trada e saída”, o que se representa no desenho por um duplo s 
alongado nas extremidades das placas. Isso implica que, entre as 
placas, o fluido escoa apenas na direção x. Com frequência, esses 
efeitos são eliminados supondo-se “placas infinitas”.
3. A partícula, como indicado no desenho, move-se com o fluido e 
através dele em direção à placa de baixo, possivelmente por que 
sua densidade é maior que a do fluido.
4. A velocidade de aproximação (ou não perturbada) do fluido é 
tomada como a velocidade média associada ao perfil de velocidades 
do fluido longe da partícula.
5. Conforme indicado pelo observador (bonequinho), as placas, 
supostamente fixas ao chão (Terra), constituem o referencial a ser 
usado. Por hipótese esse referencial é inercial, isto é, tem aceleração 
desprezível em relação às chamadas “estrelas fixas”. Tal observador 
não constata a presença de forças de inércia (ou fictícias), tais como 
forças centrífugas e de Coriolis.
6. Observe-se que o sistema de coordenadas mais adequado ao caso 
é o cartesiano, e que tanto sua origem quanto a orientação dada 
aos eixos são arbitrárias. O sistema de coordenadas cartesiano é 
fixo ao referencial.
FIGURA 2.14
Partícula suspensa em fluido que escoa entre placas planas e paralelas.
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido110
Para o campo gravitacional terrestre, a segunda lei de Newton (Equa-
ção 2.25) aplicada à partícula, pode ser reescrita conforme segue:
V g
A
2
U v C U v m
dv
dts p D
) )( (ρ − ρ + ρ − − =∞ ∞
 
(2.95)
Observe-se que a Equação 2.95 é de natureza vetorial, e, portanto, não 
depende do tipo de sistema de coordenadas escolhido. Pode-se passar 
às componentes escalares da referida equação, fazendo as trocas de 
sinais algébricos exigidas pela orientação dada aos eixos do sistema de 
coordenadas escolhido para analisar o problema.
■ Direção x (gx = 0):
A
2
U v C U v m
dv
dtx x D x x
x)(ρ − − =∞ ∞
 
(2.96)
Note-se que nenhuma troca de sinais foi necessária, já que os vetores vx 
i e U∞ x i são paralelos e de mesmo sentido que o eixo x.
Considerando-se que equipamentos industriais operam em regime 
permanente, isto é, nenhuma variável depende do tempo (exceções 
feitas a procedimentos de “partida”, “parada” e de “emergência”), des-
prezam-se as variações de velocidade da partícula com o tempo, isto é, 
suas acelerações. Nesse caso a Equação 2.96 fornece, na forma escalar:
A
2
C U v 0D x x
2
ρ − =
∞
 
(2.97)
Observe-se que a hipótese de ausência de acelerações implica que módu-
lo, direção e sentido da velocidade da partícula não se modificam com 
o tempo e, portanto, seu movimento é retilíneo e uniforme, isto é, sua 
trajetória é necessariamente uma reta.
Considerando-se a natureza física das variáveis presentes na Equa-
ção 2.97, a única maneira de verificá-la é:
U vx x=∞ (2.98)
Conclusão: na direção do escoamento, a partícula tem a mesma velo-
cidade que o fluido.
ρs − ρVp g+A2
ρU∞ − vCDU∞ − 
 v= m dvdt
A2ρU∞ x − vxC
DU∞ x − vx = m dvxdt
A2 ρ CDU∞ x − vx2 = 0
U∞ x = vx
2.6 Duas situações de interesse prático 111
■ Direção y (U∞ y = 0; gy = g):
V g
A
2
v C v m
dv
dts p y D y
y)()(ρ − ρ + ρ − − =
 
(2.99)
Note-se que nenhuma troca de sinais foi necessária, já que o vetor vy j 
é paralelo e de mesmo sentido que o eixo y.
Procedendo como anteriormente, e com as mesmas justificativas, 
adota-se a hipótese de aceleração nula para a partícula e obtém-se:
V g
A
2
v C 0s p y
2
D)(ρ − ρ − ρ − =
 
(2.100)
Se a partícula tem diâmetro dp, sabe-se que Vp = π dp
3/6 e que A = π 
dp
2/4, o que fornece finalmente:
v =
4 d g
3 Cy
p s
D
)(ρ − ρ
ρ 
(2.101)
Ou seja (veja Equação 2.30):
v = vy t (2.102)
Conclusão: na direção perpendicular ao escoamento do fluido, a partí-
cula desloca-se com velocidade terminal.
2.6.2  Partícula suspensa em fluido confinado  
em vaso sob rotação
A Figura 2.15 mostra, esquematicamente, tal sistema, consistindo de um 
vaso cilíndrico com eixo de simetria perpendicular ao plano do papel.
Várias observações são pertinentes em relação à Figura 2.15:
1. Supõe-se que a partícula e o fluido se movem no plano do papel, 
isto é, que o problema ocorra em duas dimensões.
2. Fluido e vaso giram como um corpo rígido, isto é, o fluido não 
escoa relativamente às paredes do vaso. É claro que quando o vaso, 
mecanicamente acionado, inicia o movimento de rotação, o fluido 
em seu interior move-se em relação a ele.Nesse estágio, o fluido 
junto às paredes do vaso gira mais rápido que aquele longe delas, 
ρs - ρ Vp g + A2 ρ −vy CD -
 − vy = m dvydt
ρs- ρVp g −A2 ρ −vy2 CD =0
vy = 4 dp ρs - ρ g3 ρ CD
vy = vt
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido112
existindo, portanto, um gradiente radial de velocidades tangenciais 
no fluido e as correspondentes tensões cisalhantes. A difusão de 
momento linear através do fluido ocorre da periferia do vaso para 
o centro. Todavia, a situação que ora se analisa é posterior a essa 
fase transiente inicial.
3. A partícula, como indicado, move-se através do fluido em direção 
às paredes do vaso, possivelmente porque sua densidade é maior 
que a do fluido. O fluido está essencialmente parado em relação às 
paredes do vaso, só se movendo em decorrência do deslocamento 
da própria partícula através do fluido.
4. A velocidade de aproximação (ou não perturbada) do fluido é to-
mada como a velocidade média associada ao perfil de velocidades 
do fluido longe da partícula, que, em razão do mencionado com-
portamento “rígido” do fluido, é linear.
5. Conforme indicado pelo observador (bonequinho), o vaso gi-
rante é o referencial a ser usado. Trata-se de um referencial não 
inercial, uma vez que está acelerado em relação às chamadas 
“estrelas fixas”. Como o chão (Terra) é um referencial suficiente-
mente inercial para problemas de engenharia de um modo geral 
FIGURA 2.15
Partícula suspensa em fluido confinado em vaso sob rotação.
2.6 Duas situações de interesse prático 113
(usou-se tal hipótese no item 2.6.1), se o vaso tem acelerações em 
relação ao chão (Terra) ele é não inercial. Ao analisar a dinâmica 
da partícula, esse observador perceberá todas as forças que um 
observador inercial percebe e, além dessas, perceberá também 
forças de inércia (ou fictícias). No caso, fica-se restrito à força 
centrífuga.
6. O sistema de coordenadas mais adequado ao caso é o cilíndrico, e 
tanto sua origem quanto a orientação dada aos eixos são arbitrárias. 
O sistema de coordenadas cilíndrico é fixo ao referencial.
Para o campo centrífugo (por hipótese, g é desprezível comparado a w2 r), 
a segunda lei de Newton (Equação 2.25) aplicada à partícula pode ser 
reescrita conforme segue:
V b
A
2
U v C U v m
dv
dts p D
) )( (ρ − ρ + ρ − − =∞ ∞
 
(2.103)
Observe-se que a Equação 2.103 é de natureza vetorial, e, portanto, não 
depende do tipo de sistema de coordenadas escolhido. Pode-se passar 
às componentes escalares da referida equação, fazendo as trocas de 
sinais algébricos exigidas pela orientação dada aos eixos do sistema de 
coordenadas escolhido para analisar o problema.
■ Direção u (bu = 0):
A
2
U v C U v =m
dv
dtD
)(ρ − −∞ θ θ ∞ θ θ θ
 
(2.104)
Note-se que nenhuma troca de sinais foi necessária, já que os vetores 
vu eu e U∞ u eu são paralelos e de mesmo sentido que u (“regra da mão 
direita”).
Como no caso anterior, tendo-se em vista que equipamentos industriais 
operam em regime permanente (exceções feitas a procedimentos de 
“partida”, “parada” e de “emergência”), desprezam-se as variações de 
velocidade da partícula com o tempo, isto é, as acelerações da partícula, 
o que resulta:
A
2
U v C U v = 0D )(ρ − −∞ θ θ ∞ θ θ
 
(2.105)
ρs-
 ρ Vp b + A2ρ U∞ − v CD-
 U∞ − v = m dvdt
A2 ρ U∞ u − vu CD U∞ 
u − vu = m dvudt
A2 ρ U∞ u − vu CD U∞ 
u − vu = 0
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido114
Observe-se que a hipótese de ausência de acelerações pressupõe que 
módulo, direção e sentido da velocidade da partícula não se modificam 
com o tempo e, portanto, seu movimento é retilíneo e uniforme, isto é, 
sua trajetória é, necessariamente, uma reta.
Considerando a natureza física das variáveis presentes na Equação 2.105, 
a única maneira de verificá-la é:
U = v
∞ θ θ (2.106)
Conclusão: na direção do movimento do fluido, a partícula tem a mesma 
velocidade que o fluido (enfatize-se que, no caso, o fluido não escoa e 
sim, move-se como um corpo rígido).
■ Direção r (U∞ r = 0; br = w
2 r):
V r +
A
2
v C v =m
dv
dts p
2
r D r
r) )( (ρ − ρ ω ρ − −
 
(2.107)
Note-se que nenhuma troca de sinais foi necessária, já que o vetor vr er 
é paralelo e de mesmo sentido que o eixo r.
Procedendo como anteriormente, e com as mesmas justificativas, 
adota-se a hipótese de aceleração nula para a partícula e obtém-se:
V r
A
2
v C 0s p
2
r
2
D)(ρ − ρ ω − ρ − =
 
(2.108)
Se a partícula tem diâmetro dp, sabe-se que Vp = π dp
3/6 e que A = π 
dp
2/4, o que fornece finalmente:
v =
4 d r
3 Cr
p s
2
D
)(ρ − ρ ω
ρ 
(2.109)
Ou seja (veja Equação 2.31):
v = v rr t )( (2.110)
Conclusão: na direção perpendicular ao movimento do fluido, a partí-
cula desloca-se com velocidade terminal (enfatize-se que o fluido não 
escoa, mas move-se como um corpo rígido).
U∞ u = vu
ρs- ρVp w2 r + A2 ρ - vr CD -
 vr = m dvrdt
ρs - ρ Vp w2 r − A2 ρ − v-
r2 CD = 0
vr = 4 dp ρs - ρ w2 r3 ρ CD
vr = vtr
2.6 Duas situações de interesse prático 115
Entretanto, como já mencionado, há um problema com o uso do ad-
jetivo “terminal”, cujo significado é “que não se modifica” ou “que 
não muda” ao longo do tempo. No caso de quedas de partículas em 
campos centrífugos de forças, a Equação 2.109 mostra que a velocidade 
da partícula varia com a própria posição radial da partícula em queda 
no fluido, isto é, a partícula nunca atinge uma velocidade constante.
Mais do que uma questão puramente semântica, o desenvolvimento 
anterior levou a um paradoxo. A Equação 2.109 foi deduzida supondo-se 
que a aceleração da partícula era nula. Entretanto, a expressão obtida 
mostra que a velocidade da partícula depende de sua própria posição 
radial, isto é, a partícula está, continuamente, se acelerando ao mudar 
de posição no campo centrífugo, contrariando a hipótese inicial.
Essa questão já foi abordada em detalhe no item 2.2. Ela é resolvida 
supondo-se que a cada instante, durante a sua queda no campo cen-
trífugo, a partícula tem a velocidade terminal correspondente à posição 
radial em que se encontra. Isso equivale a desprezar a duração da fase 
acelerada da queda, em que a partícula aumenta de velocidade até atingir 
a velocidade terminal. Essa suposição é tão mais válida quanto menor 
for o tempo de relaxação da partícula, que, conforme visto, é propor-
cional ao quadrado do tamanho da partícula. Ocorre que os tempos de 
relaxação das partículas típicas das operações unitárias são, efetivamente, 
desprezíveis, quando comparados a intervalos de tempo característicos 
da operação de equipamentos (por exemplo, tempos de residência das 
partículas nos equipamentos), o que justifica o uso da Equação 2.109.
Claramente, os eventuais erros de previsão de vt com a Equação 2.109 
serão “para mais”, pois a partícula, em dada posição radial, de fato não 
interage com o fluido de sua vizinhança por tempo suficiente para atingir 
a velocidade terminal correspondente àquela posição.
Referências
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da Forma de Partículas Reentrantes com Vistas à Interação com Fluidos Newtonia-
nos”, Anais (CD) do XXXVI Congresso Brasileiro de Sistemas Particulados – Enemp 
2013, Maceió, 20-23 outubro, 2013.
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COELHO, R. M. L.; MASSARANI, G. “Fluidodinâmica de Partículas: Ainda sobre Cor-
relações em Base aos Dados Experimentais de Pettyjohn e Christiansen”, Relatório 
LSP/COPPE 1/96, 1996.
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido116
COMOLET, R. MécaniqueExpérimentale des Fluides – 2. Dynamique des Fluides Réels, 
Turbomachines. Paris: Dunod, 1963. 
CUNNINGHAM, E. “On the Velocity of Steady Fall of Spherical Particles Through Fluid 
Medium”. Roy. Soc, A 83, 357, 1910. 
Environmental Protection Agency (EPA). Air Pollution Training Institute (APTI) 413: 
“Control of Particulate Matter Emissions – Student Manual”, 5. ed., Ch. 4, 1999.
FOUST, A. S. et al. Principles of Unit Operations. 2. ed. New Jersey: John Wiley & Sons, 
1980. 
GANSER, G. H. “A Rational Approach to Drag Prediction of Spherical and Non-Spherical 
Particles”. Powder Technology, 77, 143, 1993. 
HAIDER, A.; LEVENSPIEL, O. “Drag Coefficient and Terminal Velocity of Spherical and 
Nonspherical Particles”. Powder Technology, 58, 63, 1989. 
KUNII, D.; LEVENSPIEL, O. Fluidization Engineering. New Jersey: John Wiley & Sons, 
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MASSARANI, G. Problemas em Sistemas Particulados. São Paulo: Edgard Blücher, 1984. 
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MELO, T. M.; MENDES, L. V. R.; PEÇANHA, R. P. “Avaliação da Esfericidade como um 
Fator de Forma na Interação Partícula-Fluido”, Anais (CD) do XIX Congresso Brasilei-
ro de Engenharia Química – COBEQ 2012, Búzios, RJ – Brasil, 9-12 setembro, 2012.
MONTEIRO, P. C.; MASSARANI, G. Relatório Interno, Laboratório de Sistemas Particu-
lados, Programa de Engenharia Química, COPPE/UFRJ, 1977.
MORRISON, F. A. An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge: Cambridge University 
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NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (NASA). Drag of a Sphere. 
Disponível em: <http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/dragsphere.html>. 
Acesso em: 21 jan. 2014.
PERRY, R. H.; GREEN, D. W. (Editor). Perry’s Chemical Engineers’ Handbook. 6. ed. New 
York: McGraw-Hill, 1984. 
PETTYJOHN, E. S.; CHRISTIANSEN, E. B. “Effect of Particle Shape on Free-Settling Rates 
of Isometric Particles”. Chemical Engineering Progress, v. 44, 2, 157, 1948. 
RICHARDSON, J. F.; ZAKI, W. N. “Sedimentation and Fluidization – Part I”. Transactions 
of the Institution of Chemical Engineers, v. 32, 35, 1954. 
SCHLICHTING, H. Boundary-Layer Theory. 3. ed. New York: McGraw-Hill, 1968. 
PROBLEMAS PROPOSTOS
Observação
Os apêndices A e B contêm informações importantes sobre a elaboração de 
trabalhos escolares (listas de exercícios, testes e provas).
2.6 Duas situações de interesse prático 117
Nota de esclarecimento
Uma etapa crucial na solução de um problema típico de operações uni-
tárias é a identificação das propriedades materiais a serem utilizadas e 
determinar, ou pelo menos estimar, seus valores. Na prática, isso é feito 
consultando-se manuais, tais como o Perry (1984). Assim, na maioria dos 
problemas que se seguem, com o objetivo de familiarizar o aluno com essa 
importante base de dados, deixou-se a cargo dele a obtenção dessas pro-
priedades materiais.
2.1 Usando a (1) Figura 5-80, Perry 6. ed.,1984; (2) um método iterativo 
gráfico baseado na correlação CD x Rep para esferas (dados expe-
rimentais compilados por Schilichting, 1968) e (3) um método não 
iterativo baseado na correlação CDRep2 x Rep, φ de Coelho e Massarani 
(1996), pede-se:
a) Calcule a velocidade terminal de uma esfera (D = 0,5mm, SGS = 1,5) 
que cai, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em água a 70 oF 
e 1 atm.
■ Se a temperatura da água for 105 oF (aumento de 50%) e, ainda assim, você 
utilizar a solução (1), calcule o desvio absoluto e o desvio relativo percentual 
resultantes.
■ Se a esfericidade da partícula for 0,8 e ainda assim você utilizar a 
solução (1), calcule o desvio absoluto e o desvio relativo percentual 
resultantes.
 Observação:
 desvio absoluto valor 1 – valor 2 (tem dimensão e depende de unida-
des)
 desvio relativo percentual [(valor 1 – valor 2)/(valor 1)] × 100 (adimen-
sional)
 Dependendo da escolha do “valor 1” e do “valor 2”, os desvios poderão 
ter sinal positivo ou negativo.
2.2 Sabendo-se que o cloreto de sódio (NaCl, sal de cozinha) forma cris-
tais perfeitamente cúbicos, pede-se:
a) Calcule a velocidade terminal de um cristal de NaCl com 1 mm de 
aresta, ao cair, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em ben-
zeno a 30 °C e 1 atm.
 Usar um método iterativo baseado na correlação CD x Rep, φ (Haider 
and Levenspiel, 1989) e um método não iterativo baseado na correla-
ção CD Rep2 x Rep, φ (Coelho e Massarani, 1996).
φ
φ
φ
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido118
2.3 Uma partícula cilíndrica (D = 1 mm, H = 5 mm, SG = 2,8) cai com 
velocidade terminal em água a 50 °C e 1 atm, sob a ação do campo 
gravitacional terrestre. Nessas condições, pede-se:
a) Calcule a sua velocidade terminal;
b) Calcule a força de arraste exercida pelo fluido sobre a partícula.
 Usar um método iterativo baseado na correlação CD x Rep, 
φ (Haider and Levenspiel, 1989) e um método não iterativo baseado na 
correlação CD Rep2 x Rep, φ (Coelho e Massarani, 1996).
2.4 Um pequeno disco de prata (D = 0,6 cm, H = 0,1 cm) cai, sob a ação 
do campo gravitacional terrestre, em uma solução aquosa de ácido 
sulfúrico 60% (ponderal) a 20 °C e 1 atm. Pede-se:
a) Caracterize tal partícula pelo diâmetro da esfera de mesmo material e 
que, sob as mesmas condições, atinge a mesma velocidade terminal 
que ela naquele fluido.
b) Responda se esse é o diâmetro de Stokes da partícula.
2.5 Calcule o diâmetro do cilindro equilátero (diâmetro = altura) de alumínio 
que, ao cair, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em glicerol 
(C3H8O3, glicerina) aquoso na concentração de 50% (ponderal) a 15 oC e 1 
atm, atinge uma velocidade terminal de 5 cm/s. Usar um método iterativo 
baseado na correlação CD x Rep, φ (Haider and Levenspiel, 1989) e um 
método não iterativo baseado na correlação CD/Rep x Rep, φ (Coelho e 
Massarani, 1996).
2.6 Um tetraedro regular de aço inoxidável tipo 201 cai, sob a ação do 
campo gravitacional terrestre, em uma solução aquosa contendo 50% 
(massa) de glicerol (C3H8O3, glicerina) a 20 °C e 1 atm, com velocidade 
terminal de 2 cm/s. Pede-se:
a) Calcule a aresta do tetraedro.
 Usar um método iterativo baseado na correlação CD x Rep, φ (Haider 
and Levenspiel, 1989) e um método não iterativo baseado na correla-
ção CD/Rep x Rep, φ (Coelho e Massarani, 1996).
2.7 Um cubo de aresta 0,08 in cai, sob a ação do campo gravitacional 
terrestre, em um líquido newtoniano de massa específica 1,3 g/
cm3, com velocidade terminal igual a 0,5 ft/s no regime de Newton. 
Pede-se:
a) Calcule a velocidade terminal de um cubo de aresta 0,16 in e do mesmo 
material que o primeiro em água a 20 °C e 1 atm.
2.8 Um batiscafo de pesquisa em fossas marinhas tem forma esférica e 
3,5 m de diâmetro. Se sua massa, incluindo a tripulação, é de 17453 kg, 
pede-se:
φ
φ
φ
φ
φ
φ
2.6 Duas situações de interesse prático 119
a) Calcule o volume de água (m3) que deve ser admitido em seus tan-
ques de lastro, de modo que este desça verticalmente com uma 
velocidade constante e igual a 0,72 km/h.(Suponha que a água do 
mar tenha densidade e viscosidade idênticas às da água a 20 °C e 
1 atm.)
2.9 Uma bolha de CO2 aproximadamente esférica e com 2 mm de diâmetro 
desprende-se do fundo de uma tulipa cheia de chopp, gastando 1,2 
segundo para chegar à superfície livre do líquido. Sabendo que a tulipa 
tem 18 cm de altura e que o garçom declarou que o chopp estava a 
5 oC, e supondo-se que não haja transferência de massa (CO2) entre 
a bolha e o chopp, que o tamanho da bolha não varie (na verdade ele 
aumenta devido à contínua descompressão ao longo da subida) e que 
a velocidade da bolha seja constante e igual à velocidade terminal(na 
verdade, como o diâmetro da bolha aumenta durante a subida, empuxo 
e arraste crescem continuamente e o movimento é acelerado),per-
gunta-se: o garçom é mentiroso ?
2.10 Uma esfera sólida (D e ρs conhecidos) cai, a partir do repouso, em 
determinado fluido (ρ e m conhecidos) sob a ação do campo gravi-
tacional terrestre, cuja intensidade é g. Admitindo válidas as dez 
restrições da lei de Stokes durante a fase acelerada da queda da 
esfera, pede-se:
a) Mostre que o tempo necessário para que a esfera atinja 99% do valor 
de sua velocidade terminal no referido fluido (t99) é dado por: t99 = 4,61 
ρs D2/18 m.
2.11 
a) Calcule a força de arraste que o ar exerce sobre um automóvel 
da marca Ford, modelo Fiesta, ano 2012, que se desloca a 80 e a 
120 km/h em uma estrada plana e horizontal e em ausência de 
ventos.
b) Se o automóvel enfrentar uma ventania frontal de 60 km/h, qual será o 
aumento percentual da força de arraste em relação ao caso anterior? 
(Usar propriedades físicas do ar a 20 oC e 1 atm.)
 Sugestão: áreas frontais e coeficientes de arraste de automóveis 
podem ser obtidos na internet (http://ecomodder.com/wiki/index.php/
Vehicle_Coefficient_of_Drag_List).
2.12 Em um experimento cujo objetivo é estudar o efeito simétrico de pa-
redes sobre partículas esféricas, glicerol ( ρ = 1,26 g/cm3, m = 100 cP) 
escoa de baixo para cima em um tubo de vidro, reto e vertical, com 2 in 
de diâmetro interno e vazão volumétrica 0,25 m3/min. Em um dado 
CAPÍTULO 2:   Interação partícula-fluido120
instante, duas esferas ( D1 = 0,5 mm, D2 = 1,0 mm ) de mesmo material 
( ρs = 2,0 g/cm3 ) são fotografadas movendo-se no interior do tubo, para 
cima e sobre o eixo de simetria do tubo. Pergunta-se:
a) Se na foto a esfera menor estiver 5 m abaixo da maior, em quanto 
tempo ela irá alcançar a maior? (Despreze o efeito de população.)
2.13 Rotâmetros são equipamentos para a medição da vazão de fluidos, 
muito usados em instalações de pequeno porte (escalas piloto e de 
bancada). Basicamente, consistem de um tubo de vidro transparente 
em forma de tronco de cone, dentro do qual um corpo sólido, de-
nominado flutuador (necessariamente mais denso que o fluido em 
escoamento), assume diferentes posições de equilíbrio na vertical, 
dependendo da vazão de fluido que o atravessa. Quanto maior for a 
vazão, mais elevada será a posição do flutuador no tubo. Em geral, há 
uma escala de vazões volumétricas impressa na parede externa do 
tubo de vidro que só vale para água (ou ar) a 20 °C e 1 atm (calibração 
de fábrica). Pede-se:
a) Mostre que a força de arraste exercida pelo fluido sobre o flutuador é 
constante e independente da posição ocupada por ele no interior do 
rotâmetro.
b) Explique a existência de diferentes posições de equilíbrio para o flu-
tuador.
2.14 Seja o movimento de uma esfera de diâmetro D e densidade ρs sus-
pensa em um fluido de densidade ρ e viscosidaede m, contido em um 
vaso cilíndrico que gira em torno do próprio eixo de simetria a N rpm. 
Pede-se:
a) Desenvolva uma expressão que permita calcular o tempo necessário 
para a partícula se deslocar em um plano perpendicular ao eixo do 
vaso, da posição radial R1 à posição radial R2 ( R2 > R1 ) nos regimes 
de Stokes (em que CD = 24/Rep) e de Newton (em que CD = 0,44).
b) Repita a análise para uma partícula de diâmetro dp e esfericidade 0,6.
 Sugestão: obtenha uma nova correlação entre CD e Rep no regime de 
Stokes, bem como um novo valor para CD no regime de Newton para 
φ = 0,6. Use as correlações de Coelho e Massarani (1996).
2.15 No viscosímetro de Stokes (também conhecido como viscosímetro de 
bola), uma esfera lisa (em geral de aço inoxidável) de diâmetro D e 
densidade ρs cai, sob a ação do campo gravitacional terrestre e sob 
intenso efeito simétrico de parede cilíndrica, no interior de um tubo 
de vidro de diâmetro Dt, vertical, que contém um líquido de densidade 
ρ conhecida e viscosidade m desconhecida. A velocidade terminal de 
queda da esfera sob “efeito de parede” pode ser calculada facilmente, 
2.6 Duas situações de interesse prático 121
cronometrando-se o tempo t e a correspondente distância vertical H 
percorrida pela esfera em queda no tubo (o líquido deve ser claro de 
modo a permitir a visualização da esfera).
 Assim é que o catálogo HAAKETM Viscometers – Introduction to Prac-
tical Viscometry (1981) fornece para o viscosímetro de Stokes, de sua 
fabricação, a expressão m = K (ρs – ρ) t, em que K é uma constante 
ligada à geometria do sistema. Como o viscosímetro é fornecido com 
diversas esferas, K tem um valor diferente para cada uma. Sabendo-se 
que o diâmetro interno do tubo é 15,937 mm, a distância H é 100 mm 
e o diâmetro de esfera é 11,10 mm (modificado de Massarani, 1984), 
pede-se:
a) Determine o valor de K se m é dado em cP, t em segundos e as den-
sidades em g/cm3.
2.16 Uma suspensão de BallotiniTM (microesferas de vidro, muito usadas 
para limpeza de superfícies por jateamento) em glicerina (C3H8O3, 
glicerol) foi preparada assim: colocou-se 600 g das microesferas 
em uma proveta de 2 litros que, então, foi completada com glicerina. 
A proveta foi agitada vigorosamente, de modo a produzir uma sus-
pensão de concentração de sólidos uniforme, que a seguir foi posta 
a decantar sob a ação do campo gravitacional terrestre. Sabendo-se 
que as microesferas têm diâmetro de 30µ m e densidade de 2,6 g/
cm3, pede-se:
a) Determine a velocidade inicial de sedimentação da suspensão. 
(A densidade e a viscosidade da glicerina são, respectivamente, 1,3 g/
cm3 e 18 cP (modificado de Massarani, 1984).)
m
	Capítulo 2 - Interação partícula-fluido
	2.1 - Dinâmica
	2.2 - Velocidade terminal
	2.3 - Lei de Stokes
	2.4 - Dados experimentais
	2.5 - Dois problemas importantes
	2.5.1 - Partículas isométricas
	2.5.2 - Métodos iterativos gráficos
	2.5.3 - Métodos iterativos algébricos
	2.5.4 - Métodos não iterativos
	2.5.5 - Nota sobre a história recente das correlações que envolvem CD, Rep e φ
	2.6 - Duas situações de interesse prático
	2.6.1 - Partícula suspensa em fluido que escoa entre placas planas e paralelas
	2.6.2 - Partícula suspensa em fluido confinado em vaso sob rotação
	Referências