Gestão de Carteiras e riscos

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MÉTODOS 
QUANTITATIVOS 
APLICADOS 
Professor (a) : 
Me. Marcelo dos Santos 
Objetivos de aprendizagem 
• Refletir sobre a utilização da matemática e estatística no dia a dia das organizações. 
• Entender a relação entre os métodos quantitativos e a aplicabilidade na solução de problemas. 
• Compreender a utilização de ferramentas quantitativas na melhor visualização do mundo que cerca as organizações e seus 
colaboradores. 
• Reforçar os conteúdos de matemática e estatística inculcados pelo aluno. 
• Recordar termos e cálculos aprendidos no ensino formal de graduação da área de estudo do aluno. 
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Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Estatística básica. 
• Análise estatística. 
• Finanças básicas. 
• Matemática aplicada. 
Introdução 
Caro(a) aluno(a), nos dias atuais, a estatística e a matemática são ferramentas muito utilizadas na definição de prioridades de 
gestão, bem como na elaboração de cenários para melhor visualização de um problema. 
A gestão de carteiras se inicia com algumas premissas básicas, como no caso de um investidor que prefere maior retorno a um 
menor retorno, e também um menor risco a um maior risco, no caso de perfil conservador. 
Análises como essas necessitarão de algumas ferramentas estatísticas e matemáticas, que muito auxiliam no estabelecimento de 
parâmetros, para decidirmos qual a melhor alternativa de composição da carteira de investimentos. 
Na década de 1950, veio a hipótese de poder controlar investimentos com teorias estatísticas e matemáticas, gerando uma nova 
área – a gestão de carteiras –, que tem como artigo seminal o Portfólio Selection de Markovitz, em 1952. 
Na aula 1, reforçaremos conceitos referentes à estatística básica como média, mediana, moda, desvio-padrão, variância e 
histograma, muito necessários à elaboração de cálculos básicos na área de gestão de carteiras, tais como esperança de retorno e 
análise de risco. 
Na aula 2, abordaremos a distribuição contínua de probabilidades, chamada de distribuição normal. Também analisaremos a 
função densidade de probabilidade, estudando a decisão em casos de cenários probabilísticos. 
Em relação à aula 3, teremos a visão de análises financeiras por meio do método de capitalização composta, o que auxiliará no 
entendimento do trabalho com taxas de juros – que é um dos elementos básicos na gestão de carteiras quanto ao tópico de 
retornos. 
Os itens referentes à análise matemática serão abordados na aula 4, sobre matrizes e determinantes, que nos ajudam a resolver 
sistemas lineares nos quais apresentam-se diversas equações e diversas incógnitas, muito comuns na área de gestão de carteiras. 
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Vamos começar a leitura? Seja bem-vindo(a) e bons estudos! 
Avançar 
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Estatística básica 
Nesta aula, abordaremos a estatística básica para o entendimento de risco e gestão de carteiras. Para tal, estudaremos média, 
mediana, moda, variância e desvio-padrão 
Figura 1: Medidas de Tendência Central 
Fonte: Histograma... (online, 2015). 
As medidas de tendência central são a média, mediana e moda que tentam expressar onde está o meio do conjunto de dados. 
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“A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS (Estado). Há indícios de que 3.000 
anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, China e Egito, e até mesmo o 4o livro do Velho Testamento faz 
referência a uma instrução dada a Moisés para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que 
estivessem aptos para guerrear. Usualmente, essas informações eram utilizadas para a taxação de impostos 
ou para o alistamento militar. O Imperador César Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de 
todo o Império Romano.” Confira o link abaixo e veja mais sobre a história da Estatística. 
Disponível em: < https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/dezoo/Estatistica/Cap01.pdf > Acesso: 
27/04/2018. 
Medidas de tendência central 
A média aritmética é a ideia que vem à cabeça de todos quando abordamos o tema. Ela é a soma de todos os elementos do 
conjunto dividida pela quantidade de elementos contidos no conjunto. A fórmula da média pode ser expressa por: 
Vamos ver um exemplo? Qual é a média do tempo de entrega de três serviços efetuados no dia pela companhia de logística 
Trabalho Rápido Ltda., que gastou 70, 80 e 120 minutos para o transporte das encomendas? 
Temos outros tipos de médias, como a média ponderada: 
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https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fufsj.edu.br%2Fportal2-repositorio%2FFile%2Fdezoo%2FEstatistica%2FCap01.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNF0hNLSJpLICfuGYMBPHfTgZ6XjOg
Exemplo: Paulo está cursando Administração Geral em uma universidade da Grande São Paulo. Ele verificou que cada prova tem 
peso 30, as atividades em sala têm peso 25 e uma apresentação de trabalho que tem peso igual a 15. Nas avaliações, ele tirou 8 em 
cada prova, 7 na apresentação e 6 nas atividades em sala. Se a média da universidade é 7, Paulo foi aprovado ou reprovado? 
Figura 2: Gráfico para Médias 
Fonte: Bar... (2015, online). 
Existem outros tipos de medidas de tendência central, como a moda e a mediana. A mediana divide o conjunto de dados ao meio e 
serve em conjuntos que possuem dados extremos. Analisaremos o conjunto de dados a seguir: 
(9, 8, 8, 10, 10, 8, 8, 9, 10, 90) 
A média pode deixar de expressar a totalidade do conjunto, uma vez que seu valor se distancia da maioria dos elementos dele: 
Nesses casos, utilizamos a mediana para expressar o conjunto, que é o termo do meio. Para tanto, colocamos os números em 
ordem crescente e selecionamos o termo do meio quando a quantidade de elementos (n) do conjunto de dados é impar; em 
seguida, somamos os dois centrais e dividimos por 2 quando a quantidade de elementos (n) do conjunto de dados é par. 
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Para o exemplo citado anteriormente teremos: 
(8, 8, 8, 8, 9, 9 , 10, 10, 10, 90) 
Notamos que os dois elementos centrais são o quinto e o sexto; eles serão somados e divididos por 2 para localizar a mediana do 
conjunto de dados: 
Mediana = (9 + 9) / 2 Mediana= 18/2 Mediana = 9 
O número 9 é mais próximo e representa melhor o conjunto de dados que o número 17, apontado pela média. 
Quando possuímos um número de elementos ímpar, o cálculo fica mais fácil: basta colocarmos em ordem e localizarmos o termo 
central, que divide o conjunto em duas partes iguais. 
(7, 2, 9, 15, 27) 
Colocando em ordem: 
(2, 7, 9 , 15, 27) 
A mediana do conjunto é o número 9, ficando com dois números abaixo dele (2 e 7) e dois acima (15 e 27). 
Temos também a moda, que é o número que mais se repete no conjunto de dados. Como é aquele com maior frequência, deve ser 
observado e levado em consideração em nossa análise. 
Em nosso exemplo: 
(9, 8, 8, 10, 10, 8, 8, 9,10, 90) 
A moda é o número 8, que se repete quatro vezes dentro do conjunto de dados. 
Medidas de dispersão 
Um conjunto de dados pode apresentar certa variação. Para o pesquisador, bem como para o gestor que tomará decisões com base 
na análise de tais dados, é muito bom saber a variabilidade deles dentro do conjunto; para esse fim, elaboramos as medidas de 
dispersão: amplitude, variância e desvio-padrão. 
“A dispersão de conjuntode dados é a variabilidade que os dados apresentam entre si. Se todos os valores 
forem iguais, não há dispersão” 
Fonte: Medri, (2011, on-line). 
Variância 
A variância é utilizada para cálculo do desvio-padrão, uma medida muito importante em estatística que veremos a seguir. Mas 
como a calculamos? 
População = toda quantidade de dados 
Amostra = pequena parte da população 
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Variância para populações: 
Variância para amostras: 
Vamos a um exemplo: calcular a variância do conjunto de dados (1, 2, 4, 7, 10, 12) para população e amostra. 
Primeiramente necessitamos calcular a média: 
Agora, de cada dado (Xi) precisamos subtrair a média; após essa operação, elevamos cada resultado da subtração ao quadrado e 
somamos todas as parcelas: 
(1 – 6) = -5; (2 – 6) = -4; (4 – 6) = -2; (7 – 6) = 1; (10 – 6) = 4; (12 – 6) = 6 
Na sequência, elevamos cada resultado ao quadrado: 
Vale lembrar que todo número negativo elevado ao quadrado fica positivo. 
Em seguida, somamos todos os resultados: 
25 + 16 + 4 + 1 + 16 + 36 = 98 
Para calcularmos a variância, dividimos por n para a variância populacional e dividimos por (n – 1) para a variância amostral: 
Variância populacional: 
98/6 = 16,3 
Variância amostral: 
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98/5 = 19,6 
Variância para populações: 
Variância para amostras: 
Desvio-padrão 
Em palavras simples, o desvio-padrão (DP) representa o padrão de oscilações que os valores da série apresentam em relação à 
média. 
Probabilidade 
Quando lidamos no dia a dia com eventos, muitas vezes falamos em probabilidade de algo ocorrer. A história da análise dos jogos é 
permeada por estudos de probabilidade, mas até 1650 não existia uma teoria desenvolvida. 
Um exemplo nos ajudará a entender melhor. Vamos lá. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento “A” dentro do espaço amostral 
Ω? 
Digamos que o evento “A” seja sair um número par em um dado; portanto, temos: 
A = {2, 4, 6} 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Para cálculo de probabilidade, temos que efetuar a divisão da quantidade de casos favoráveis pela quantidade de casos possíveis 
de ocorrer. 
P(A) = (3/6) = (1/2) = 0,50 = 50% 
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Temos diversos tipos de aplicações desse tipo de raciocínio no meio da gestão. Que tal ilustrarmos isso com um exemplo? 
Suponhamos que temos 100 clientes e 80 pagam em dia seus compromissos. Qual a probabilidade de aleatoriamente um próximo 
cliente pagar em dia a dívida com a empresa? 
K = {80% x 100 = 80} 
Ω = {100 clientes} 
P(A) = (80/100) = 0,80 = 80% 
Amplitude 
A amplitude é a variação dentro do conjunto. De uma forma simples, obtemos a amplitude através da subtração entre o maior e o 
menor número do conjunto. 
Exemplo: 
(4, 17, 25, 3, 1, 2) 
Amplitude 25 - 1 = 24 
Análise estatística 
Estudaremos nesta aula distribuições de probabilidade. Elas nos permitem fazer inferências sobre dados por meio de funções 
densidade de probabilidade, o que auxilia muito na confecção de determinados modelos de risco, gestão de carteiras e gestão de 
crédito. 
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Qual a probabilidade de sair um número par em um dado? 
Casos favoráveis: {2, 4, 6} 
Casos possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidade = 3/6; 
Probabilidade = 0,50 multiplicando-se por 100 
Probabilidade = 50% 
Figura 3: Cartas e dados 
Fonte: Cartas... (2011, online). 
Valor esperado 
Podemos observar o valor esperado de uma variável aleatória por meio da somatória da multiplicação entre as probabilidades e as 
variáveis: 
Vamos a um exemplo: um investidor tem probabilidade de 40% de ganhar R$25.000 e probabilidade de 60% de perder R$15.000 
em um investimento em ações. Qual é o seu retorno esperado? 
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E(x) = 40% . 25000 + 60% . (-15.000) 
E(x) = 0,40 . 25000 + 0,60 . (-15.000) 
E(x) = 10.000 + (- 9.000) 
E(x) = 10.000 - 9.000 
E(x) = R$ 1.000 
Distribuições de probabilidade 
Distribuição de probabilidade está ligada ao histograma referente à distribuição de frequência de uma variável aleatória. É o que 
acontece, por exemplo, quando se joga uma moeda duas vezes: os possíveis resultados são CC, CK, KC e KK (C se refere à cara e K 
se refere à coroa). Suponhamos que hipoteticamente a probabilidade de sair cara é de 40% e de sair coroa é de 60%. 
Como sair cara ou coroa no primeiro evento não depende de sair cara ou coroa no segundo lançamento da moeda, podemos 
multiplicar as duas probabilidades para obter a probabilidade do evento lançamento de duas moedas 
Figura 4: Diagrama de Árvore Moedas 
Fonte: Diagrama... (2014, online). 
O evento “sair cara no lançamento de uma moeda por duas vezes seguidas” pode ser descrito por meio de uma distribuição de 
probabilidades, conforme descrito a seguir. 
CC = 0,40 . 0,40 = 0,16 = 16% 
CK = 0,40 . 0,60 = 0,24 = 24% 
KC = 0,60 . 0,40 = 0,24 = 24% 
KK = 0,60 . 0,60 = 0,36 = 36% 
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Gráfico 1: Probabilidades no Lançamento de Uma Moeda 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Quando lançamos a moeda duas vezes, temos 16% de probabilidade de sair C duas vezes, 48% de probabilidade de sair uma vez e 
36% de probabilidade de não sair. 
“A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade, pois: 
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos: 1. altura; 2. 
pressão sanguínea; 3. peso. 
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições como, por 
exemplo, para a distribuição binomial”. 
Confira o link e veja mais sobre a Distribuição Normal: 
< http://www.ime.usp.br/~chang/home/mae116/aulas/Aula%206_distribui%E7%E3o%20Normal.pdf > . 
Acesso em 3 jul. 2015. Fonte: DISTRIBUIÇÃO... (on-line) 
Existem as diversas distribuições contínuas de probabilidade, dentre as quais a mais utilizada é a distribuição normal, também 
chamada de Curva de Gauss ou Curva do Sino da probabilidade, tendo em vista que o desenho dela é parecido com um sino. 
Figura 5: Histograma Distribuição Normal Probabilidade 
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Fonte: Histograma... (2014, online). 
Para uma distribuição ser normal padronizada, temos que ter média zero e desvio-padrão igual a 1. Podemos transformar uma 
distribuição normal em uma distribuição normal padronizada subtraindo o valor da média e depois dividindo o resultado pelo 
desvio-padrão. 
Temos uma tabela chamada “Áreas para a Distribuição Normal Padronizada”, na qual, por meio de Z calculado, localizamos a 
probabilidade de um evento ocorrer, ou por meio da probabilidade de ocorrência de um evento encontramos Z. 
A probabilidade é definida pela área debaixo da curva do gráfico entre dois pontos. A área sob todo o gráfico é 100% ou igual a um 
e é chamada de evento certo. 
Metade da área do gráfico equivale a uma probabilidade de 50%. Podemos também conseguir os valores de Z e da probabilidade 
por meio das funções do Excel, =DIST.NORMP.N(Z;VERDADEIRO) para localização da probabilidade (área abaixo da curva de - até 
Z); já para localização de Z dado a probabilidade, temos =INV.NORMP.N(probabilidade). 
Uma entrada na tabela é a proporção sob toda a curva que representa entre 0 e Z = um valor positivo de z. Áreas para valores 
negativos de z são obtidos por simetria 
Figura 6: Tabela Normal Padronizada 
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https://getfireshot.comFonte: Amer Cavalheiro Hamdan (online). 
Temos alguns casos mais comuns de cálculo de áreas sob a curva da distribuição normal de probabilidade que destacamos a seguir. 
Gráfico 2: Caso 1 – Probabilidade entre a e b (a ≤ Z ≤ b) 
Fonte: Elaborado pelo autor. Calculamos a probabilidade 
Calculamos a probabilidade acumulada a partir de - até Z = b e tiramos a probabilidade acumulada de - até Z = a. Para isso, faremos 
=DIST.NORMP.N(b;VERDADEIRO) - =DIST.NORMP.N(a;VERDADEIRO). 
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Gráfico 3: Caso 2 – Probabilidade maior que a (Z ≥ a) com a na cauda esquerda 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Para calcular, faremos 1 - =DIST.NORMP.N(a;VERDADEIRO), ou seja, a um 100% menos a probabilidade acumulada - até a. 
Gráfico 4: Caso 3 – Probabilidade menor que a (Z ≤ a) com a na cauda esquerda 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Para calcular, faremos =DIST.NORMP.N(a;VERDADEIRO), ou seja, a probabilidade acumulada de - até a. 
Gráfico 5: Caso 4 – Probabilidade menor que a (Z ≤ a) com a na cauda direita 
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Fonte: Elaborado pelo autor 
Para calcular, faremos =DIST.NORMP.N(a;VERDADEIRO), ou seja, a probabilidade acumulada de - até a. 
Gráfico 6: Caso 5 – Probabilidade maior que a (Z ≥ a) com a na cauda direita 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Para calcular, faremos = 1 - DIST.NORMP.N(a;VERDADEIRO). 
O artigo “Distribuição Normal”, de Fátima Conti, busca verificar as regras e normas da distribuição normal, 
bem como trata das principais características dela. O principal mérito do texto é servir de guia de consulta 
rápida e direcionador de estudos para futuras avaliações e pesquisas. O link para o texto é: 
< http://www.cultura.ufpa.br/dicas/biome/biopdf/bionor.pdf > . Acesso em 2 jul. 2015. 
Fonte: o autor 
Vamos a um exemplo para fixação: Suponhamos que a renda média de uma grande comunidade na cidade de Itapipoca possa ser 
razoavelmente aproximada por uma distribuição normal, e essa distribuição tem média R$15.000,00 e desvio-padrão de 
R$3.000,00. 
a. Qual é a porcentagem da população que terá renda superior a R$ 18.600,00? 
b. Selecionando uma amostra de 50 pessoas, quantos podemos esperar que tenham renda inferior a R$ 10.500,00? 
Resolução: 
a. Padronizando os dados: 
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Média = R$ 15.000,00 
Desvio-padrão = R$ 3.000,00 
Como o caso solicita rendas superiores a R$ 18.600,00, temos Z ≥ 1,2 e teremos o caso 5, isto é, probabilidade maior que a ( Z ≥ 
1,2) com a na cauda direita. 
Gráfico 7: Resolução de Exercício 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Para calcular, faremos = 1 - DIST.NORMP.N(a;VERDADEIRO) ou verificaremos na tabela. Na primeira coluna dela localizamos o 
número 1,2 e na primeira linha o número 0,00; o cruzamento da linha com a coluna nos fornece a probabilidade acumulada de 0 até 
1,2, que nesse caso é 0,3849. Como a tabela fornece somente uma cauda, ou seja, de 0 até Z, devemos adicionar 50% para obter o 
acumulado de - até 1,2. 
Portanto, a probabilidade pela tabela será 0,3849 + 0,5000 = 0,8849 
Verificamos que para o caso 5 temos que fazer 1 – P(Z) (probabilidade de Z). 
1- P(Z) 
1 - 0,8849 
0,1151 ou 11,51% 
b. Padronizando os dados: 
Média = R$ 15.000,00 
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Desvio-padrão = R$ 3.000,00 
Como o caso solicita rendas inferiores a R$10.500,00, temos Z ≤ - 1,5, e teremos o caso 3, ou seja, probabilidade menor que a (Z ≤ 
a) com a na cauda esquerda. 
Gráfico 8 – Resolução de Exercício 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Com a = - 1,5 
Para calcular, faremos =DIST.NORMP.N(-1,5;VERDADEIRO), ou seja, a probabilidade acumulada de - até a ou verificaremos na 
tabela. Na primeira coluna dela, localizamos o número 1,5 e na primeira linha o número 0,00; o cruzamento da linha com a coluna 
nos fornece a probabilidade acumulada de 0 até 1,5, que nesse caso é 0,4332. Como a tabela fornece somente uma cauda, ou seja, 
de 0 até Z, devemos adicionar 50% para obter o acumulado de - até 1,5 positivo. 
Portanto, a probabilidade pela tabela será 0,4332 + 0,5000 = 0,9332. 
Quando utilizamos a tabela temos que fazer 1- P(Z) (probabilidade de Z): 
1- P(Z) 
1 - 0,9332 
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0,0668 ou 6,68% 
Se fizermos pelo Excel utilizando -1,5, o resultado sairá direto, sem necessidade de conversão. 
Mas a pergunta era: selecionando uma amostra de 50 pessoas, quantos podemos esperar que tenham renda inferior a R$ 
10.500,00? Nesse caso, multiplicamos a probabilidade de ocorrer pelo tamanho da amostra para obter o valor aproximado de 
pessoas. 
6,68% . 50 = 3,34 
Portanto, entre três e quatro pessoas podem ter renda inferior a R$ 10.500,00. 
Finanças básicas 
Quando tratamos de gestão de riscos, gestão de carteiras ou gestão de crédito, estamos abordando itens diretamente 
relacionados a finanças. Precisamos, então, analisar juros, prazos, taxas e valores, razão por que estudaremos nesta aula a 
capitalização composta. 
Juros simples e juros compostos 
Pode-se perceber a velocidade de crescimento do capital através do tempo pelo apresentado na Tabela 1, com uma comparação 
entre juros simples e juros compostos. Um valor de R$1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 10% ao mês em cinco meses 
resulta com juros simples em um valor futuro de R$1.500,00; aplicando-se juros compostos, chegamos a um valor futuro de 
R$1.610,51. 
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Tabela 1: Juros simples x juros compostos 
Fonte: o autor. 
Figura 7: FINANCE/ JUROS COMPOSTOS 
Fonte: Finance (2014, online). 
Extrapolando os dados para 20 meses, teremos as informações apresentados na Tabela 2. Podemos perceber que, em um curto 
espaço de tempo, o valor futuro cresce muito rapidamente. 
Tabela 2 – Evolução do valor futuro 
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Fonte: o autor. 
Os dados descritos anteriormente resultam na representação de uma curva (Gráfico 9), mostrando assim o crescimento 
exponencial e muito rápido dos números. Parte-se de um valor presente de R$1.000,00 no início, chegando após 20 meses a um 
total de R$6.727,50. 
Gráfico 9: Função exponencial para valor futuro 
Fonte: o autor 
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“Temos a certeza de que o mais simples e também o mais importante conceito de matemática financeira é o 
conceito de FATOR DE CORREÇÃO. [...] Vamos imaginar que uma mercadoria será aumentada em 23%. 
Você poderá descobrir o novo preço de vários modos distintos: 
1. Multiplicando o preço antigo por 23 e dividindo por 100, somando o resultado com o preço antigo. 
2. Multiplicando o preço antigo por 0,23 e somando o resultado com o preço antigo. 
3. Simplesmente multiplicando o preço antigo por 1,23. O número 1,23 do exemplo é denominado fator de 
correção para um acréscimo de 23% e foi obtido a partir de 100% (preço antigo) mais 23% (aumento). Em 
seguida, dividimos por 100 para obter a forma de número decimal. A taxa de 23% é a taxa percentual, e a 
taxa 0,23 (i) é denominada taxa unitária”. Confira o link e veja mais sobre a Matemática Financeira: 
< http://www.magiadamatematica.com/uss/administracao/10-matematica-financeira-curso-basico- 
administracao.pdf > . Acesso em 3 jul. 2015. Fonte: Sá (2011, on-line). 
Fórmulas para o Sistema de Capitalização de Juros 
Como na Matemática Financeira temos a generalização de processos por meio de fórmulas visando a modelagem de problemas, 
para o Sistema de Capitalização de Juros Compostos também isso ocorre. Asfórmulas são: 
VF = VP + J (1) 
Cálculo do Valor Futuro (VF) 
VF = VP . (1 + i) ^ n (2) 
Salientamos que utilizaremos a notação “^” para indicação de potenciação, “/” para divisão e “.” para representação da 
multiplicação. Utilizando a álgebra, conseguimos isolar as variáveis. 
Figura 8: Contando dinheiro 
Fonte: Contando... (2004, online). 
Calculo do Valor Presente (VP) 
VP = VF / (1 + i) ^ n (3) 
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.magiadamatematica.com%2Fuss%2Fadministracao%2F10-matematica-financeira-curso-basico-administracao.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFiXHiZEC_y5eVwcctF7hLiTivLUg
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Cálculo da taxa ( i ) 
i = [(VF/VP) ^ (1/n)] - 1 
Multiplicamos por 100 para transformar em percentual: 
i = {[(VF/VP) ^ (1/n)] - 1} . 100 
ou 
i = {[(VF/VP) (1/n)] - 1} . 100 (4) 
Temos (9) ^ (1/2) ou 9 ½ 
Cálculo do prazo (n) 
n. = [LN(VF/VP)] / [LN(1 + i)] (5) 
ou 
Vamos a alguns exemplos: 
Salientamos que o Excel utiliza a notação de “*” para representar a multiplicação, e muitas calculadoras já incorporaram esse botão 
como significado da multiplicação; todavia, também pode ser representada por “x” ou “.”. 
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Multiplicamos por 100 para o resultado sair em percentual: 
I = 1,3344% a.m. 
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Matemática aplicada 
A análise de diversos modelos de gestão de risco e gestão de carteiras nos leva a sistemas lineares, que precisam ser solucionados 
para a alocação correta dos recursos. Com vistas a solucionar esses sistemas, necessitamos utilizar matrizes e determinantes para 
tornar mais rápida a resposta. Trataremos disso nesta aula. 
Matrizes 
Uma matriz nada mais é que uma organização de dados em linhas e colunas, para encontrarmos determinada informação. 
Chamamos o elemento de “a”, indicamos por “i” a linha em que ele está e por “j” a coluna. 
Figura 9: Matrizes/determianntes 
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Fonte: o autor. 
Uma matriz pode ser representada por um conjunto de números dentro de colchetes “[ ]” grandes ou também por parênteses “( )”, 
também grandes. Você pode ver a seguir exemplos de matrizes. 
Podem-se fornecer também regras para construção de uma matriz por meio de operações matemáticas envolvendo o número da 
linha e da coluna onde está localizado o elemento, como por exemplo, aij = 2i - 3j. Precisamos também saber o tamanho dessa 
matriz, e para tanto indicamos por uma letra maiúscula a matriz e por uma multiplicação o número de linhas e colunas. Vejamos 
alguns exemplos: 
M2x3 : Matriz M com duas linhas e três colunas. 
A7x2 : MatrizA com sete linhas e duas colunas. 
C2x2: Matriz C com duas linhas e duas colunas. 
Temos um nome especial quando a matriz possui o mesmo número de linhas e de colunas: matriz quadrada de ordem n, onde o n é 
o número de linhas ou colunas. Portanto, a matriz C é uma matriz quadrada de ordem 2. 
“Frequentemente em jornais, revistas e também na internet encontramos informações numéricas 
organizadas na forma de tabelas, com linhas e colunas. Essa tabela numérica com linhas e colunas é o que 
chamaremos de Matrizes. [...] Quando trabalhamos com matrizes, em geral utilizamos apenas os números 
das tabelas, organizando-os em linhas e colunas, entre parênteses, colchetes ou entre duas barras (os dois 
primeiros são mais comuns)”. 
Adaptado da apostila de Matrizes. Veja mais informações sobre o assunto e também sobre Matemática 
Financeira no link: 
< http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_mod3/matematica/Unid9_MAT_Matematica_Modulo_3.pdf > . Acesso em 3 
jul. 2015. 
Fonte: Conhecendo... (online) 
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Operações envolvendo matrizes 
Figura 10: Determinantes 
Fonte: Determinant... (2006, online) 
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Matriz inversa 
Temos dois sistemas lineares com duas equações e duas variáveis para serem solucionados. Quando encontrarmos os valores de e, 
f, g e h também identificaremos a matriz inversa. 
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Temos dois sistemas lineares com duas equações e duas variáveis para serem solucionados. Quando encontrarmos os valores de e, 
f, g e h também identificaremos a matriz inversa. 
Para solucionarmos esse sistema, podemos isolar uma variável em uma das equações e colocar o resultado na segunda equação. 
Equação 1 
e + 2g = 1 
e = 1 - 2g 
Inserimos o resultado da equação 1 na equação 2: 
3e + 4g = 0 Equação 2 3. 
(1-2g) + 4g = 0 
3 - 6g + 4g = 0 
3 - 2g = 0 
-2g = -3 
g = -3/-2 
g = 1,5 (encontramos o valor da variável “g”) 
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Agora, voltamos e substituímos esse resultado na Equação 1 e encontramos o valor da variável “e”. 
e + 2g = 1 
e + 2.1,5 = 1 
e + 3 = 1 
e = 1 – 3 
e = -2 (encontramos o valor da variável “e”) 
Para solucionarmos esse sistema, podemos isolar uma variável em uma das equações e colocarmos o resultado na segunda 
equação. 
Equação 1 
f + 2h = 0 
f = - 2h 
Inserimos o resultado da equação 1 na equação 2: 
3f + 4h = 1 Equação 2 
3. (-2h) + 4h = 1 
-6h +4h = 1 
-2h = 1 
h = 1/(-2) 
h = -0,5 (encontramos o valor da variável “h”) 
Agora, voltamos e substituímos este resultado na Equação 1 e encontramos o valor de da variável “f” 
3f + 4h = 1 
3f + 4(-0,5) = 1 
3f -2 = 1 
3f = 1 +2 
3f = 3 
f = 3/3 
f = 1 (encontramos o valor da variável “f”) 
Matriz inversa (A- ) 1 
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No artigo “Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares e Matriz Inversa”, de autoria de Alessandra S. F. 
Misiak, você vai encontrar uma síntese de todos os tópicos relacionados a matrizes e determinantes. O 
objetivo da leitura volta-se para a ampliação dos horizontes e conceitos, bem como a abordagem da 
importância das matrizes e determinantes na solução de problemas do cotidiano. O texto está disponível 
em: < http://ganuff.weebly.com/uploads/1/9/2/5/19255685/matrizes-determinantes-sistemas-lineares-e- 
inversa.pdf > . Acesso em 2 jul. 2015. 
Fonte: o autor. 
Determinantes 
Indicamos o determinante por duas barras laterais envolvendo o conjunto de números, conforme descrito a seguir: 
Chamamos de diagonal principal a linha que liga as letras “a” e “d”; a linha que liga as letras “c” e “b” é denominada de diagonal 
secundária. 
O determinante da matriz de ordem 1x1 é o mesmo número. 
O resultado do determinante é 2. 
Calculo de um determinante de ordem 2 
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O resultado do determinante será 2 - 15, ou seja, -13. 
Quando trabalhamos com matrizes quadradas de ordem 3 (3x3) utilizamos a chamada “Regra de Sarrus”: repetimos a primeira e a 
segunda colunas, colocando-as na frente do determinante e multiplicamos todas as diagonais que contêmtrês números; as 
diagonais que estão do lado da diagonal principal mantêm o sinal dos resultados, e nas multiplicações que estão do lado da 
diagonal secundária trocamos os sinais; depois somamos todos os números para obter o resultado do determinante. Vamos ver 
como isso funciona. 
O resultado do determinante é 24. 
Avançar 
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ATIVIDADES 
1. Para um conjunto X = {X1, X2, X3, ..., XN} a média aritmética de X é definida por ∑xi/n. A variância populacional é definida por 
∑(xi - média)2/n. Dado o conjunto X = {2, 5, 8, 9}, qual é a média e a variância populacional? 
a) Média = 5; variância = 10 
b) Média = 6; variância = 7,5 
c) Média = 5; variância = 7,5 
d) Média = 7,5; variância = 6 
e) Média = 6; variância = 8,7 
2. Para um conjunto X = {X1, X2, X3, ..., XN}, a média aritmética de X é definida por ∑ xi/n . A variância populacional é definida por 
∑( xi - média ) 2 /n e o cálculo do desvio-padrão populacional é feito pela raiz quadrada da variância calculada. Dado o conjunto X = 
{2, 5, 8, 9}, qual é o desvio-padrão? 
a) 2,74 
b) 7,5 
c) 6 
d) 8,74 
e) 3,24 
3. Dada a tabela dos dados abaixo referente ao número de vendas de veículos importados de alto valor para a classe A por semana 
no mês de fevereiro de 2014, qual é a variância amostral e o desvio-padrão amostral do conjunto da quantidade de vendas? 
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a) Variância = 8,67; desvio-padrão amostral = 2,94 
b) Variância = 9,67; desvio-padrão amostral = 2,94 
c) Variância = 8,67; desvio-padrão amostral = 5,94 
d) Variância = 10,67; desvio-padrão amostral = 3,94 
e) Variância = 8,67; desvio-padrão amostral = 1,94 
4. Uma empresa produz máquinas de lavar de dois modelos - tipo Alpha (sem secagem automática após a lavagem) e tipo Beta (com 
secagem automática após a lavagem) - e tem como política de garantia a devolução do valor pago acrescido de 10% se qualquer 
uma apresentar defeito no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito nas máquinas de lavar tem distribuição 
normal: no tipo Alpha, com média de 10 meses e desvio-padrão de 2 meses; e no tipo Beta, com média de 11 meses e desvio- 
padrão de 3 meses. A máquina de lavar modelo Alpha é produzida com lucro de R$1.200,00, e a Beta com lucro de R$2.100,00. 
Caso haja restituição, haverá prejuízo de R$2.500,00 para o modelo Alpha e de R$ 7.000,00 para o modelo Beta.Indique a 
alternativa que mais se aproxima da probabilidade das máquinas de lavar do modelo Alpha gerarem prejuízo. 
a) 3,5% 
b) 5,0% 
c) 7,2% 
d) 2,3% 
e) 4,6% 
5. Uma empresa produz máquinas de lavar de dois modelos - tipo Alpha (sem secagem automática após a lavagem) e tipo Beta (com 
secagem automática após a lavagem) - e tem como política de garantia a devolução do valor pago acrescido de 10% se qualquer 
uma apresentar defeito no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito nas máquinas de lavar tem distribuição 
normal: no tipo Alpha, com média de 10 meses e desvio-padrão de 2 meses; e no tipo Beta, com média de 11 meses e desvio- 
padrão de 3 meses. A máquina de lavar modelo Alpha é produzida com lucro de R$1.200,00, e a Beta com lucro de R$2.100,00. 
Caso haja restituição, haverá prejuízo de R$2.500,00 para o modelo Alpha e de R$7.000,00 para o modelo Beta.Indique a 
alternativa que mais se aproxima da probabilidade das máquinas de lavar do modelo Beta gerarem prejuízo. 
a) 4,7% 
b) 8,4% 
c) 7,0% 
d) 9,2% 
e) 8,4% 
6. Uma empresa produz máquinas de lavar de dois modelos - tipo Alpha (sem secagem automática após a lavagem) e tipo Beta (com 
secagem automática após a lavagem) - e tem como política de garantia a devolução do valor pago acrescido de 10% se qualquer 
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uma apresentar defeito no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito nas máquinas de lavar tem distribuição 
normal: no tipo Alpha, com média de 10 meses e desvio-padrão de 2 meses; e no tipo Beta, com média de 11 meses e desvio- 
padrão de 3 meses. As máquinas de lavar modelo Alpha são produzidas com lucro de R$1.200,00, e as do modelo Beta com lucro 
de R$2.100,00. Caso haja restituição, haverá prejuízo de R$2.500,00 para o modelo Alpha e de R$7.000,00 para o modelo 
Beta.Indique a alternativa que mais se aproxima da probabilidade das máquinas de lavar do modelo Beta quebrarem em prazo 
superior a 12 meses. 
a) 38,4% b) 37,0% 
c) 72,0% 
d) 29,2% 
e) 63,0% 
7. Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação 
financeira. Calcule o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de 13% ao quadrimestre, no regime de 
capitalização composto. 
a) 39.062,50 
b) 390.625,00 
c) 23.070,59 
d) 230.705,90 
e) 230,70 
8. Um capital de R$51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha no regime de 
capitalização composto? 
a) 15% a.m 
b) 18% a.t 
c) 12% a.a. 
d) 1,5% a.m. 
e) 15% a.a. 
9. Calcule a operação indicada a seguir e assinale a alternativa correta: 
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10. Calcule o determinante indicado a seguir e assinale a alternativa que contém o valor. 
a) -17 
b) 17 
c) 27 
d) 7 
e) -7 
Resolução das atividades 
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RESUMO 
Inserir textoA matemática e a estatística são utilizadas como ferramentas auxiliares nas diversas áreas do conhecimento. Para a 
área de gestão de carteiras, tornam-se muito importantes no processo decisório. 
Para solucionarmos sistemas lineares inerentes à decisão a fim de localizar a combinação ideal de risco e retorno e os percentuais 
de cada investimento dentro da carteira, utilizaremos matrizes e determinantes. Estes servem na busca de soluções de sistemas 
lineares pelo Método de Cramer, facilitando a resolução de sistemas lineares muito longos, ou com muitas variáveis e muitos 
elementos a serem calculados. 
Para o cálculo de retorno dos investimentos individuais, bem como da carteira, serão necessários elementos de matemática 
financeira, como taxa de juros, valor presente, valor futuro e prazo. 
Os cálculos no mundo das finanças e relativo a retornos financeiros são efetuados por meio da tônica dos juros compostos ou 
capitalização composta. Teremos que trabalhar com valores exponenciais e logaritmos para calcular valores futuros e prazos. 
Quando abordarmos os riscos inerentes à carteira e aos investimentos individuais, e também em relação a alguns modelos de 
gestão de investimentos e carteiras, teremos que trabalhar com a distribuição normal de probabilidade para auxiliar nos cálculos. 
Existem problemas quando possuímos uma série de dados de retorno muito extensa. Em casos como esses, teremos que recorrer a 
elementos gráficos para visualizar melhor, e uma das alternativas é montar o histograma. 
Para medirmos risco ou volatilidade na gestão de carteiras, teremos a utilização das medidas de tendência central com cálculo da 
variância e do desvio-padrão. No momento em que tratarmos de esperança de retorno de ativos individuais ou de carteiras, 
utilizaremos a média como ferramenta auxiliar. 
Na gestão de carteiras, ao montarmos os elementos da fronteira eficiente para determinação de uma carteira ótima de ativos, 
teremos que nos apropriar das ferramentas descritas anteriormente. 
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Material Complementar 
Leitura 
O Andar do Bêbado 
Autor: Leonard Mlodinow 
Editora: Zahar 
Sinopse: O livro sugere que não estamos preparados para lidar com o 
aleatório – e, por isso, não percebemos o quanto o acaso interfere em 
nossas vidas. Citando exemplos e pesquisas presentes em todos os 
âmbitos da vida, do mercado financeiro aos esportes, de Hollywood à 
medicina, Mlodinow apresenta de forma divertida e curiosa as 
ferramentas necessárias para identificar os indícios do acaso. Como 
resultado, nos ajuda a fazer escolhas mais acertadas e a conviver melhor 
com fatores que não podemos controlar. 
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REFERÊNCIAS 
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dez. 2015. 
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BODIE, Z.; KANE, A.; MARCUS, A. J. I nvestimentos . 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básic a. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
CALIL, Mauro. Finalmente bolsa sem risco. Exame.com , 2015. Disponível em: < http://exame.abril.com.br/rede-de-blogs/etiqueta- 
financeira/2015/07/08/finalmente-bolsa-sem-risco >. Acesso em 25 ago. 2015. 
CARTAS e dados magic. Wikimedia common s, 11 out. 2011. Disponível em: < https://commons. 
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CONHECENDO um pouco de matrizes e determinantes. Fundação CECIER J. Disponível em: 
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CRESPO, A. A. Estatística fácil . 19. ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
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DIAGRAMA, arvore, moedas. Wikimedia commons , 2 mar. 2014. Disponível em: 
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APROFUNDANDO 
Finalmente bolsa sem risco 
Quando alguém chega até nós com uma proposta mirabolante de ganhos extraordinários, logo desconfiamos. Como dizem os 
profissionais de finanças, “no mercado não há almoço grátis”. 
Em artigo publicado na revista Exame. com , no dia 8 de julho de 2015, Mario Calil, fundador da Academia do Dinheiro, conta que 
recebeu um convite para conhecer um novo produto financeiro com retorno garantido e de renda variável. 
Segundo ele, o diretor da instituição financeira explicou que o papel, denominado Certificado de Operação Estruturado (COE) e 
baseado em Ibovespa, tinha aplicação inicial de R$50 mil com um prazo estimado de um ano e capital protegido. Em outras 
palavras, uma garantia para o capital caso a variação fosse muito grande no futuro. 
Como o certificado é registrado na Central de Custódia e Liquidação Financeira de Títulos (Cetip), que funciona como um 
regulador e organizador do mercado de títulos privados, em nome do investidor, a operação seria bem mais segura, pois há um 
registro no nome do investidor e não é um fundo de investimento, explicou Calil. 
Ele também relatou que o executivo que mostrava o produto financeiro apresentou a utilização de instrumentos derivativos de 
mercados futuros a fim de garantir uma rentabilidade de 7% ao ano, mesmo que o indicador Ibovespa caísse. Caso a bolsa subisse 
até 23,9%, o investidor ganharia essa variação. 
Trocando em miúdos: quem aplicasse R$100 mil teria, com certeza, após um ano R$107 mil, ou seja, o capital investido mais 
R$7.000,00 de retorno, além da variação positiva do indicador Ibovespa até 23,9%. Se a bolsa caísse, o investidor ficaria somente 
com os 7% de rentabilidade garantida. Na hipótese de ela subir 15% no prazo de um ano, ele embolsaria um retorno de 22%, que é 
a soma dos 7% mais 15% da variação do índice Ibovespa. 
Muitos analistas e investidores podem alegar que ganhariam muito mais com outra estratégia de investimento em renda variável, 
assinalou Calil. Entretanto, disse ele, não se deve desprezar a vantagem de se ter uma renda certa de 7% e ainda participar do risco 
de mercado do Ibovespa, levando a parte positiva na subida e não ficando com o prejuízo na eventual queda da bolsa de valores. 
Disponível em: < http://exame.abril.com.br/rede-de-blogs/etiquetafinanceira/2015/07/08/finalmente-bolsa-sem-risco />. Acesso 
em: 25 ago. 2015. Fonte: o autor. 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
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EDITORIAL 
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Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
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C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; SANTOS , Marcelo dos. 
Gestão de Carteiras e Riscos . Marcelo dos Santos. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 
55 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Gestão. 2. Carteiras. 3. Riscos 4. EaD. I. Título. 
ISBN 978-85-459-0224-9 
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GESTÃO DE 
CARTEIRAS 
Professor (a) : 
Me. Marcelo dos Santos 
Objetivos de aprendizagem 
• Refletir sobre a utilização da gestão de carteiras como auxiliar na gestão operacional de investimentos. 
• Entender a relação entre a gestão de carteira e as decisões de alocação de investimentos dentro de um portfólio. 
• Compreender a utilização da gestão de carteiras tanto em bancos de investimento como em outras organizações para auxiliar no 
planejamento estratégico ou operacional. 
• Reforçar a importância de utilização da gestão de carteiras para melhor tomada de decisão na área de investimentos. 
• Recordar ferramentas para cálculomanual e por meio de planilhas a respeito da Teoria das Carteiras. 
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Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Introdução à gestão de carteiras e mercado eficiente. 
• Teoria das Carteiras. 
• Modelos de gestão de carteiras. 
• Administração e desempenho da gestão de uma carteira. 
Introdução 
Prezado(a) aluno(a), 
Nos cenários de economia mundial em expansão ou contração, sempre há ótimas oportunidades de investimento. O 
gerenciamento deles, visando maior retorno com menor risco, na montagem de uma carteira, é uma das principais ferramentas nas 
mãos de um gestor. A gestão de carteiras constitui ótima coadjuvante na tomada de decisão sobre a quantidade e valores que ele 
deve alocar em seu portfólio. 
Nesta unidade, apresentaremos a gestão de carteiras como forma de administrar carteiras de investimentos dentro de um 
portfólio de opções de títulos públicos e privados, instrumentos de renda fixa e fundos de investimentos em longo e curto prazo. 
Na Aula I, faremos um breve histórico sobre a evolução da Teoria das Carteiras e apontaremos a importância e as premissas para 
sua aplicação, como a Hipótese do Mercado Eficiente (HME). Essa teve origem nos anos de 1960 e pressupõe que o preço das 
ações reflete um consenso a respeito do valor real e as expectativas de cada uma. 
Na Aula II, reforçaremos os pontos referentes à seleção de investimentos para montagem de carteiras dentro do modelo de 
Markowitz. Em 1952, ele publicou um trabalho que é o ponto principal dos estudos de carteiras de investimentos e considerado 
essencial para o desenvolvimento da área. Em resumo, criou uma ferramenta para satisfazer a relação risco x retorno de acordo 
com as preferências do investidor. 
Apresentaremos na Aula III, os demais modelos de gestão de carteiras e outros importantes na gestão de investimento, como o 
Modelo de Elton Gruber, o Modelo de Índice Único de Sharpe e a Teoria de Mercado de Capitais (Modelo CAPM) e sua evolução ao 
longo do tempo. 
Visando ao acompanhamento e à administração e desempenho de uma carteira, apresentaremos na Aula IV os principais pontos 
ligados a essas questões. 
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Pronto(a) para começar? Então, boa leitura e bons estudos! 
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Introdução à gestão de carteiras e 
mercado eficiente 
A Teoria das Carteiras revolucionou os estudos referentes à análise e à gestão de investimento em 1952, auxiliando na tomada de 
decisão a respeito de quais títulos e ativos alocar em uma carteira, de forma a otimizar a relação entre o binômio risco e retorno. 
Como toda teoria necessita de uma simplificação de alguns parâmetros para a análise e estudo da realidade que nos cerca, uma das 
hipóteses elencadas como premissa para o desenvolvimento e implementação correta da Teoria das Carteiras foi a Hipótese de 
Mercado Eficiente. É sobre isso que trataremos nesta aula, recuperando as suas origens históricas, os fatos mais significativos e 
também os principais pressupostos que a sustentam. 
Origens históricas da Teoria das Carteiras 
A necessidade de ferramentas para o tratamento de investimentos nos mercados de capitais teve início na década de 1920, nos 
Estados Unidos, onde houve o crescimento desenfreado da aplicação em bolsa de valores. Isso foi motivado pelo fato de que, com 
o final da Primeira Guerra Mundial, a Europa estava arrasada e todos os países desse continente compravam produtos 
industrializados dos Estados Unidos. 
Figura 1: Bolsa de Valores de São Paulo/Bovespa Traders 
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Fonte: Bovespa... (2013, online). 
Com o passar do tempo, as indústrias da Europa retomaram suas atividades, gerando uma oferta muito acima da demanda de 
produtos industrializados norte-americanos. As expectativas das empresas não se confirmaram e no final da década de 1920 – 
mais exatamente em 1929 – veio a grande crise chamada de “ Crash da Bolsa de Nova York”. 
Na década de 1930, após diversos estudos por grandes expoentes do mercado de capitais, chegou-se à conclusão de que a 
transparência das organizações se mostrou como o principal ponto. Criou-se, então, o conceito de disclosure (abertura e 
disseminação total de informações) pelas empresas para tornar mais justa a relação entre investidores e corporações. 
Na área de Finanças e Mercado de Capitais temos, nessa década, três pontos principais que auxiliaram o desenvolvimento no 
futuro da Teoria das Carteiras: as expectativas de longo prazo com a associação ao risco em 1936, abordada pelo economista John 
Maynard Keynes; o desenvolvimento de Duration (duração), por Frederich Macaulay, em 1938; e o artigo de T. Rowe Price, em 
1939, intitulado “Picking Growth Stocks”. 
Na década seguinte, destaques ficaram por conta da evolução do mercado de capitais, do crescimento da profissão de analista de 
investimento e de técnicas para o desenvolvimento das atividades operacionais na área. Entretanto, foi somente em 1952 que o 
mercado de capitais experimentou uma das maiores evoluções, com a Teoria das Carteiras de Markowitz. 
Em 1964, um aluno de Markowitz, chamado William Sharpe, foi desafiado a simplificar o arcabouço matemático e estatístico da 
Teoria de Carteiras. Ele desenvolveu um trabalho tão bom que resultou em outra teoria dentro do mercado de capitais, que foi 
inicialmente chamada de Modelo de Índice Único e depois reconhecida mundialmente como CAPM ( Capital Asset Price Model ) – ou 
Modelo de Precificação de Ativos. Ele é utilizado até hoje no gerenciamento de investimentos, apesar das restrições teóricas 
referente às premissas dele. 
O modelo de Sharpe trabalhava com títulos em mercados de risco, mas não poderia ser utilizado em opções para mercados 
futuros. Então, na década de 1970, Fischer Black e Myron Scholes desenvolveram o modelo Black & Scholes para precificação de 
opções no mercado futuro. 
Para efeito de síntese, podemos assim registrar os fatos marcantes a respeito da gestão técnica de escolha de investimento: 
• 1920 – Período de euforia nos mercados norte-americanos. 
• 1929 – Crash da Bolsa de Nova York. 
• 1930 – Desenvolvimento da função de analista de investimentos. 
• 1940 – Conceito de expectativas de longo prazo e de Duration em carteiras. 
• 1952 – Harry Markowitz publicou o artigo intitulado “ Portfolio Selection ”. 
• 1964 – William Sharpe desenvolveu nova teoria chama Modelo de Índice Único, mais tarde conhecida como CAPM ( Capital Asset 
Price Model ) ou Modelo de Precificação de Ativos. 
• 1973 – Fischer Black e Myron Scholes apresentaram o modelo Black & Scholes para precificação de opções no mercado futuro. 
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Duration é o prazo médio ponderado de um título ou uma carteira. 
Leia o artigo “Seleção de carteiras através do modelo de Markowitz para pequenos investidores (com o uso 
de planilhas eletrônicas)”. Ele aborda a aplicação de ferramentas de otimização na área de investimento, 
utiliza o Excel e a pesquisa operacional aplicada na otimização de carteiras visando a reduzir o risco a uma 
determinada taxa de retorno. 
O artigo está disponível em: < http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Artclebersimpep2002.pdf >. 
Acesso em 3 jul. 2015. 
Fonte: o autor. 
Pressupostos da Hipótese de Mercado Eficiente (HME) 
A Hipótese de Mercado Eficiente (HME) foi originada nadécada de 1960 e tem como ponto de partida o conceito de que o preço 
das ações reflete tudo o que ocorre no mundo real com a empresa representativa daqueles títulos. 
Indicamos, a seguir, os pressupostos para se ter um mercado eficiente: 
a. Todos os atores do mercado têm acesso ao mesmo tempo e a todas as informações disponíveis sobre dados e fatos que 
impactem o preço dos títulos. Isso é reconhecido como a Simetria de Informações. 
b. Os investidores e profissionais do mercado de capitais têm conhecimento técnico e ferramentas para efetuar a avaliação de 
informações que impactem a seleção de títulos. 
c. Todos os analistas de investimentos possuem previsões e expectativas futuras semelhantes e homogêneas. 
d. Todos os investidores e profissionais de mercado de capitais acompanham as informações inerentes aos títulos do mercado e 
efetuam alterações e ajustes à medida que novas informações são inseridas no mercado. 
“Segundo Harry Markowitz (1952), o processo de seleção de uma carteira de ações pode ser dividido em 
dois estágios. O primeiro começa com observação e experiência e termina com opiniões sobre a 
performance futura dos negócios avaliados. O segundo estágio começa com as opiniões relevantes sobre o 
futuro e termina com a escolha de uma carteira de ações. Este trabalho é baseado no segundo estágio”. 
Confira o link e veja mais sobre a Teoria das Carteiras: 
< http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Artclebersimpep2002.pdf >. 
. Acesso em 3 jul. 2015. 
Fonte: Gonçalves Jr.; Pamplona; Montevechi (2002, online). 
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Com o encerramento desta aula, conhecemos as origens da Teoria das Carteiras e também os pressupostos da Hipótese de 
Mercado Eficiente. Vale a pena, de forma breve, assinalar que a Gerência de Investimentos tem diversas atribuições específicas, 
entre as quais se incluem: 
• Seleção de alternativas. 
• Montagem de carteiras. 
• Mensuração de desempenho. 
• Reavaliação de risco x retorno. 
Normalmente o investidor leva em consideração alguns parâmetros na escolha de investimentos. Entre eles, vale destacar: 
• Retorno esperado do investimento. 
• Risco do investimento. 
• Liquidez do investimento. 
Figura 2: Investimento/Euro 
Fonte: Euro (2015, online). 
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Teoria das carteiras 
A evolução de um país em muito se deve pelo desenvolvimento de seu mercado de capitais, pois esse direciona recursos de 
agentes superavitários de capital (investidores) para agentes deficitários de capital (empresas), para que realizem projetos 
fomentando o desenvolvimento da indústria, comércio e serviços de um país. Nesta aula, vamos detalhar a Teoria das Carteiras, 
elencando os principais aspectos a ela relacionados. 
A Teoria das Carteiras, desenvolvida em 1952 por Markowitz, tem como ponto principal a necessidade de que investidores do 
mercado de capitais possuam ferramentas melhores para otimizar a alocação de recursos em carteiras de investimentos. 
Como o tratamento sugerido por Markowitz era muito complexo, exigia muitos cálculos avançados para época – os quais incluíam 
um grande número de estimativas de covariâncias entre retornos dos títulos tomados dois a dois –, a teoria não foi muito utilizada 
naquele momento, dado que os meios computacionais eram pouco desenvolvidos. 
Figura 3: Covariância/Variograma 
Fonte: Variograma... (2011, online). 
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Como aprendemos, a variância refere-se a um único item e demonstra quanto o preço da ação varia, e também como verificamos a 
raiz quadrada da variância representa o desvio padrão que em finanças e Teoria das Carteiras representa o risco. 
Figura 4: Fórmula da Covariância. 
Fonte: o autor. 
Em 1960, um aluno de Markowitz chamado William Sharpe foi convidado a desenvolver um modo simplificado para se avaliarem 
carteiras. Ele criou o Modelo do Índice Único, no qual tornava simples diversas hipóteses do trabalho do seu mestre, resultando em 
algo mais prático para o mercado. 
O cálculo da covariância auxilia a verificação da variação de papéis dentro da carteira sempre tomados dois a dois, e a média nos 
fornece a esperança de retorno de um único investimento. Já a variância e o desvio-padrão são representativos de risco dentro da 
uma carteira de investimentos e auxiliam na alocação de recursos por meio da Teoria das Carteiras. 
Confira o artigo “Os fundos de ações e a alocação ótima de ativos proposta por Markowitz”. Ele faz uma 
interessante comparação entre carteiras de fundos de investimento que utilizam outras técnicas de seleção 
e outras que utilizam a Teoria das carteiras de Markowitz. As carteiras contêm ações da Bovespa. 
Disponível em: < http://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos07/1243_ARTIGO%20MARKOWITZ.pdf >. 
Acesso em 2 jul. 2015. 
Fonte: o autor. 
Para validação e correta utilização da Teoria das Carteiras, é importante que você conheça as suas premissas. Abaixo elas estão 
listadas: 
1. As expectativas para os preços dos títulos são sempre para determinado período. 
2. Todos os analistas e investidores buscam maximizar retorno e minimizar risco. 
3. As projeções de retorno das ações ou títulos são feitas a partir de uma distribuição de probabilidades. 
4. Os investidores associam a volatilidade ao desvio-padrão das taxas de retorno que representa o risco de ações ou outros títulos. 
5. Todas as decisões dos investidores são baseadas única e exclusivamente no retorno (esperança ou média) e no risco (desvio- 
padrão). 
6. Para qualquer nível de risco, os investidores preferem maiores retornos a menores retornos. 
O que é uma distribuição de probabilidade? Vamos exemplificar com números. 
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.aedb.br%2Fseget%2Farquivos%2Fartigos07%2F1243_ARTIGO%2520MARKOWITZ.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHZsMN9HVG6000Wt4uS0V1DDmaP2w
Vamos calcular o retorno esperado multiplicando-o por sua probabilidade de ocorrer e depois somando todas as parcelas que 
multiplicamos. Isso se chama cálculo da média ponderada, conforme explicado abaixo: 
R = (0,20 x -10) + (0,40 x 5) + (0,30 x 20) + (0,10 x 30) 
R = - 2 + 2 + 6 + 3 
R = 9 
O retorno esperado desse papel é de 9%. 
“Segundo Francis (1993), uma carteira pode ter elevada taxa de retorno, porém carregar um elevado grau 
de incerteza, tornando-a, assim, inaceitável. De outra forma, uma carteira com pequeno grau de incerteza 
pode trazer consigo uma taxa de retorno muito pequena, tornando-a, também, inaceitável. Portanto, uma 
carteira é considerada eficiente se, fixada uma taxa de retorno, nenhuma outra carteira existir com menor 
risco; ou pode-se dizer que, para um dado nível de risco, nenhuma outra carteira exista com uma maior taxa 
de retorno”. 
Disponível em: < http://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos07/1243_ARTIGO%20MARKOWITZ.pdf >. 
Acesso em 3 jul. 2015. 
Fonte: PEREIRA, L. et al. (2007, online). 
Como verificamos nas premissas, o risco está associado à variação dos retornos históricos do título, entendamos como variação o 
que é calculado em estatística pelo desvio-padrão ou pela variância. 
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância que mede a variabilidade de uma série de dados. Utilizamos muito as ferramentas 
da estatística na área de finanças: média, moda, desvio-padrão, variância e regressão linear, entre outras. 
Na Teoria das Carteiras temos que utilizar a matemática e a estatística de formas complexaspara nos auxiliar no controle e 
acompanhamento do cumprimento das metas de retorno de uma carteira, bem como fazer projeções, montar carteiras e controlar 
investimentos. 
As planilhas eletrônicas nos ajudam bastante nos cálculos referente à Teoria das Carteiras, o Excel possui todas as funções 
estatísticas já prontas para uso, portanto precisamos tão somente inserir os dados e acionar as funções. 
O problema de seleção de carteiras é encontrar aquelas correspondentes às combinações dos ativos existentes no mercado, a fim 
de que para dado retorno tenha um risco mínimo ou para dado risco tenha um retorno máximo. 
O problema de seleção de carteiras visto pela ótica do senso comum nos remete à velha história de carregarmos ovos dentro de 
uma única cesta; caso ela caia, perderemos todos os ovos. 
Mas como podemos escolher as cestas e os ovos que irão dentro delas? 
Caso fosse possível em um intervalo de tempo curto montar todas as carteiras possíveis para três títulos e analisar o seu retorno e 
seu risco, teríamos um desenho gráfico em forma de curva que indicaria no eixo X o risco, e no eixo Y o retorno esperado. 
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Tabela 1: Distribuição de Percentual de Títulos na Carteira 
Fonte: o autor. 
Continuando o raciocínio, teríamos para cada nível de carteira do Título A 100 possibilidades de combinações de B e C. Pela teoria 
geral da contagem, o total de carteiras seria de 100 x 100 = 10.000. 
Figura 5: Fronteira Eficiente. 
Fonte: Carvalho (2009, online). 
A Fronteira Eficiente, no modelo de Teoria das Carteiras de Markowitz, indica uma série de carteiras compostas por títulos ou 
ações nas quais o binômio, risco e retorno, é otimizado. Seu desenho é parecido com uma curva dentro de um plano cartesiano: o 
eixo das ordenadas (vertical) contém as medidas de retorno e o das abscissas (horizontal) apresenta o risco. 
“A identificação da fronteira eficiente é um passo importante para a análise de investimentos.” Ao 
identificarmos a fronteira eficiente já encontramos a melhor carteira? 
Disponível em: < http://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos07/1243_ARTIGO%20MARKOWITZ.pdf > . 
Acesso em 3 jul. 2015. 
https://sites.google.com/view/gcr-2/p�gina-inicial/unidade-2
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.aedb.br%2Fseget%2Farquivos%2Fartigos07%2F1243_ARTIGO%2520MARKOWITZ.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHZsMN9HVG6000Wt4uS0V1DDmaP2w
Modelos de gestão de carteiras 
Apresentaremos nesta aula alguns modelos no setor de finanças e investimentos que fomentaram o entendimento e 
desenvolvimento da área de análise e seleção de carteiras de papéis. Ao longo do tempo, costumeiramente na área de finanças 
denominamos títulos de renda fixa, títulos de renda variável simplesmente papéis. 
Em 1964, Sharpe desenvolveu o Modelo CAPM ( Capital Asset Price Model ), voltado à precificação de ativos e que é utilizado até 
hoje para selecionar títulos individuais ou carteiras, com a medida de risco denominada “Beta” – que indica o risco não 
diversificável, que é aquele que não pode ser reduzido através do processo de diversificação da carteira. 
Em 1970, Fischer Black e Myron Scholes, utilizando a ideia central de Markowitz, desenvolveram um modelo para precificação de 
opções que ficou conhecido como Modelo de Black & Scholes para precificação de opções de ações. 
Black e Scholes utilizaram fórmulas da física para previsão de eventos financeiros no mercado futuro. O mercado futuro negocia 
diversos itens para entrega futura na área financeira ou física; com o tempo foram criados instrumentos financeiros complexos, 
como os derivativos e as opções, uma opção dá o direito de escolher entre comprar ou não no futuro dado ativo, ou também 
vender ou não no futuro determinado ativo ou mercadoria. 
O modelo auxiliava a dar preço para estes instrumentos financeiros através de cálculos complexos para uma série de preços. Os 
cientistas ganharam o prêmio Nobel de Economia em 1997: neste modelo trabalha-se com cinco variáveis apenas, a volatilidade, a 
taxa de juros, o tempo restante até o vencimento do título, o preço do ativo objeto e o preço da opção 
Vale a pena conferir o artigo “A aplicação do modelo de formação de carteira eficiente de Elton-Gruber em 
empresas socialmente responsáveis no mercado de ações brasileiro”. A proposta é analisar a possibilidade 
de se obterem desempenhos superiores em relação ao Índice de Sustentabilidade Empresarial (ISE) nas 
estratégias de investimentos mediante a utilização do método de Elton-Gruber. 
https://sites.google.com/view/gcr-2/p�gina-inicial/unidade-2
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.convibra.com.br%2F2008%2Fartigos%2F209_0.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHvVDLpyy5p_-v6W1TFKCHIB_2pOg
Disponível em: < http://www.convibra.com.br/2008/artigos/209_0.pdf > . Acesso em 2 jul. 
Fonte: o autor. 
Vamos considerar um universo de três títulos com risco, com os valores esperados (média) para o período de investimento. 
Tabela 2: Risco e Retorno de Carteira de Títulos 
Fonte: adaptado de Sá (1999). 
O retorno certo do título de renda fixa sem risco para o período do investimento é de 6%. Admitindo-se que o investidor possua 
R$100.000 para investir, vamos calcular o investimento realizado em cada título para se compor a carteira ótima dos títulos com 
risco. 
Utilizando um software estatístico (STATISTICA, MATHLAB OU MINITAB), encontramos a matriz de covariância entre os valores 
esperados, na qual temos a variação tomando títulos dois a dois. Essa matriz é hipotética, mas a real poderá ser calculada com a 
série de dados históricos de retorno dos investimentos A, B e C tomados dois a dois 
Tabela 3: Matriz de Covariância. 
Fonte: O autor 
Harry Markowitz (1952) quando escreveu seu artigo Portfolio Selection era um estudante de pós-graduação 
em pesquisa operacional da Universidade de Chicago. Esse fato mostra que já há algum tempo tem-se 
estudado a aplicação da PO [Programação Operacional] na seleção de carteiras. O que ainda esta faltando 
nos dias de hoje, principalmente no Brasil, é um intermediador entre os conceitos e a prática. Os pequenos 
investidores muitas vezes tomam decisões sem a aplicação de nenhum conceito sobre mercado de capitais. 
Desse modo, será apresentado [...] um exemplo de aplicação da PL [Programação Linear] na seleção de 
carteiras, será utilizado o modelo de Markowitz e a formulação será feita na planilha Excel, possibilitando 
que mesmo os investidores que pouco conhecem sobre essas teorias possam aplicá-las sem grandes 
dificuldades (GONÇALVES JR.; PAMPLONA; MONTEVECHI, 2002). 
https://sites.google.com/view/gcr-2/p�gina-inicial/unidade-2
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Figura 6: cesta de ovos = cesta de investimentos 
Fonte: Ovos... (2011, online). 
O sistema elaborado por Markowitz consiste em resolvermos um sistema de três equações e três incógnitas, que graficamente 
terá uma reta tangente à curva da fronteira eficiente e nos fornecerá a composição ótima. 
RA - RF = Za.Var(A)^2 + Zb.Covar(AB) + Zc.Covar (AC) 
RB - RF = Za.Covar(AB) + Zb.Var(B)^2 + Zc.Covar (BC) 
RC - RF = Za.Covar(AC) + Zb.Covar(BC) + Zc.Var (C)^2 
Onde: 
Za, Zb e Zc = indicadores para calcular os pesos dentro da carteira de cada ativo. 
Var^2 = variância dos retornos de cada título elevado ao quadrado. 
Covar = covariância entre os títulos tomados dois a dois. 
RA = retorno do título A. 
RB = retorno do título B. 
RC = retorno do título C. RF = retorno do título livre de risco. 
Temos o sistema de equações: 
RA - RF = Za.Var(A) + Zb.Covar(AB) + Zc.Covar(AC) 
RB - RF = Za.Covar(AB)