Lista 2: Inferência Estatística 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Infereˆncia estat´ıstica 1
Prof. Tha´ıs C O Fonseca Lista de exerc´ıcios 2 (Infereˆncia Bayesiana)
1. (Probabilidade e Teorema de Bayes) Eu pedi a um amigo que enviasse uma carta pelo
correio. Eu acredito que a probabilidade de que meu amigo lembre de enviar a carta e´
0.6. Se meu amigo lembrar de enviar a carta, eu acredito que a probabilidade da carta
chegar ao destino e´ 0.95. Ale´m disso, eu acredito que existe 1 chance em 10000 que a
carta chegue ao destino se meu amigo esquecer de envia´-la.
(i) Qual a probabilidade da carta chegar ao destino?
(ii) Alguns dias se passaram e a carta chegou ao destino. Qual a probabilidade de que
meu amigo a enviou?
2. (Infereˆncia modelo binomial) Considere o exemplo sobre percentual de analfabetos visto
em aula. Obtenha o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a e compare com a me´dia da
posteriori.
3. Considere interesse na taxa de natalidade num certo per´ıodo de tempo nos EUA. O
”General Social Survey” obteve dados de 155 mulheres que tinham cerca de 20 anos na
de´cada de 70, que foi conhecida por baixas taxas de natalidade. Neste exemplo, sa˜o
comparadas mulheres sem e com ensino superior. Considere n1 = 111 e n2 = 44 mulheres
sem e com ensino superior, respectivamente. Nessa amostra, a me´dia de nu´mero de
fihos observada foi y¯1 = 1.95 e y¯2 = 1.50, para os grupos sem e com superior completo,
respectivamente. Considere distribuic¸a˜o a priori Ga(2, 1) para a taxa de interesse. (i)
Encontre a distribuic¸a˜o a posteriori da taxa em cada grupo. (ii) Construa o gra´fico das
distribuic¸o˜es a posteriori para os dois grupos. (iii) Comente sobre a diferenc¸a entre as
duas distribuic¸o˜es em (ii).
4. Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleato´ria da distribuic¸a˜o Normal(θ, φ
−1), com θ conhecido.
Utilizando uma distribuic¸a˜o a priori Gama para φ com coeficiente de variac¸a˜o 0.5, qual
deve ser o tamanho amostral para que o coeficiente de variac¸a˜o a posteriori diminua para
0.1? PS: o coeficiente de variac¸a˜o e´ dado pelo desvio padra˜o dividido pelo valor absoluto
da me´dia.
5. Para uma amostra aleato´ria X1, . . . , Xn tomada da distribuic¸a˜o U(0, θ), mostre que a
famı´lia de distribuic¸o˜es de Pareto com paraˆmetros a e b, cuja func¸a˜o de densidade e´
p(θ) = aba/θa+1, θ > b, e´ conjugada a` uniforme.
6. (DG) Suponha que o nu´mero de defeitos numa fita magne´tica tem distribuic¸a˜o de Poisson
com taxa λ que e´ igual a 1 ou 1.5, e que a distribuic¸a˜o a priori e´ ξ(λ = 1) = 0.4. Se uma
fita e´ selecionada aleatoriamente e tem 3 defeitos, qual a distribuic¸a˜o a posteriori para λ?
7. (DG) Suponha que o nu´mero de defeitos numa fita magne´tica tem distribuic¸a˜o de Poisson
com taxa λ desconhecida e que a distribuic¸a˜o a priori para λ e´ Gama(3,1). Quando 5 fitas
foram selecionadas aleatoriamente foram encontrados os seguintes nu´meros de defeitos:
2, 2, 6, 0, e 3. Determine a distribuic¸a˜o a posteriori para λ.
8. (DG) Suponha que a distribuic¸a˜o a priori para um certo paraˆmetro θtem me´dia 1/3 e
variaˆncia 1/45. Encontre a distribuic¸a˜o a priori de θ.
9. Suponha que o tempo, em minutos, necessa´rio para atendimento de um cliente numa certa
loja tem distribuic¸a˜o exponencial com paraˆmetro θ desconhecido.
(a) Suponha que a distribuic¸a˜o a priori para θ e´ gama com me´dia 0.2 e desvio padra˜o
1. Se o tempo me´dia para atender uma amostra aleato´ria de 20 clientes foi 3.8 minutos,
qual a distribuic¸a˜o a posteriori de θ?
(b) Considere distribuic¸a˜o a priori gama prior com coeficiente de variac¸a˜o 2. Qual o
menor nu´mero de clientes a serem a mostrados para reduzir o coeficiente de variac¸a˜o para
0.1?
10. (Elicitanto probabilidades subjetivas) Suponha que um emprego foi oferecido a voceˆ para
trabalhar numa empresa de investimentos em Sa˜o Paulo. Antes de decidir se voceˆ se
muda para Sa˜o Paulo, voceˆ gostaria de quantificar sua probabilidade subjetiva do evento
”gostar do emprego”. Siga os passos abaixo e encontre a probabilidade de interesse.
• Considere uma caixa contendo uma bola vermelha e uma bola branca;
• Imagine que voce pode escolher entre dois jogos: (i) Vendado voceˆ retira uma bola e
recebe 500 reais se sair bola branca e 0 se sair bola vermelha; (ii) Recebe 500 reais se
voceˆ aceitar o emprego e gostar dele. Mas recebe 0 se voceˆ na˜o gostar do emprego.
Se voceˆ escolher o jogo (i), eu concluo que 0 < P ( Gostar do emprego) < 0.5. Repita os
passos com diferentes probabilidades para a bola vermelha ate´ encontrar a probabilidade
subjetiva de interesse.