4928 EP8 C4 2 2008 respostas[1]

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – EP8 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Calcule a integral invertendo antes a ordem de integrac¸a˜o∫
2
0
∫
4
y2
√
x sen x dxdy .
Soluc¸a˜o: Temos que:
I =
∫
2
0
∫
4
y2
√
x sen x dxdy =
∫∫
D
√
x sen x dxdy
onde D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 2 , y2 ≤ x ≤ 4} esta´ descrito como regia˜o do tipo II. Para inverter a
ordem de integrac¸a˜o devemos esboc¸ar a regia˜o D para depois descreveˆ-lo como regia˜o do tipo I.
Enta˜o na faixa horizontal 0 ≤ y ≤ 2, esboc¸amos inicialmente a curva x = y2 ou y = √x , que
representa a fronteira da esquerda e em seguida a reta x = y, que representa a fronteira da direita.
Temos assim o esboc¸o de D na figura que se segue.
x
y
D
(x, y)
y = 0
y =
√
x
2
4
Por um ponto (x, y) no interior de D consideramos uma reta paralela ao eixo y. Vemos que essa reta
intercepta a fronteira inferior deD no eixo x, onde y = 0, e intercepta a fronteira superior na para´bola
y =
√
x. Logo, 0 ≤ y ≤ √x. Ale´m disso, a projec¸a˜o de D sobre o eixo x e´ o intervalo [0, 4]. Logo,
0 ≤ x ≤ 4. Enta˜o, a descric¸a˜o deD como regia˜o do tipo I e´D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ √x}.
Logo:
I =
∫
4
0
∫ √x
0
√
x sen x dydx =
∫
4
0
(√
x sen x
)√
x dx =
∫
4
0
x sen x dx .
Aplicando a te´cnica integrac¸a˜o por partes, fac¸amos u = x e dv = senx dx donde du = dx e
v = − cos x dx. Enta˜o:∫
x sen x dx = uv −
∫
v du = −x cos x +
∫
cos x dx = −x cos x + sen x + c .
Portanto:
I =
[− x cos x + senx]4
0
= (−4 cos 4 + sen 4)− (0 + sen 0) = sen 4− 4 cos 4 .
Ca´lculo IV EP8 – Tutor 2
Exerc´ıcio 2: Uma chapa D tem a forma de uma regia˜o limitada pelas curvas y =
√
4− x2,
y =
√
9− x2, y = x e y = −x. A densidade em cada ponto e´ inversamente proporcional ao
quadrado da distaˆncia do ponto a` origem. Calcule:
a) a massa de D;
b) o momento de ine´rcia de D em relac¸a˜o ao eixo x.
Soluc¸a˜o: De y =
√
4− x2 e y = √9− x2, temos x2 + y2 = 4, com y ≥ 0 e x2 + y2 = 9, com
y ≥ 0, respectivamente. O esboc¸o de D esta´ representado na figura que se segue.
x
y
D
P y = x
y = −x r = 3
r = 2
pi/4
2
2
3
3
a) Como a densidade em (x, y) ∈ D e´ inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia de
(x, y) a` origem, enta˜o δ(x, y) =
k(√
x2 + y2
)2 = kx2 + y2 , onde k e´ uma constante positiva. Como
M =
∫∫
D
δ(x, y) dA enta˜o:
M = k
∫∫
D
1
x2 + y2
dA .
Passando para coordenadas polares, temos:

x = r cos θ
y = r sen θ
dA = rdrdθ
x2 + y2 = r2
.
Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hora´rio, vemos que pi/4 ≤ θ ≤ 3pi/4. Por
um ponto P no interior de D trac¸amos a semireta OP que corta a fronteira de D primeiro na
circunfereˆncia x2 +y2 = 4 onde r = 2 e em seguida na circunfereˆncia x2 +y2 = 9 onde r = 3. Logo,
2 ≤ r ≤ 3. Enta˜o, o conjunto D em coordenadas polares e´ Drθ : pi/4 ≤ θ ≤ 3pi/4 , 2 ≤ r ≤ 3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP8 – Tutor 3
Assim:
M = k
∫∫
Drθ
1
r2
r drdθ
= k
∫
3
2
1
r
∫
3pi/4
pi/4
dθdr
=
kpi
2
∫
3
2
1
r
dr
=
kpi
2
[
ln r
]3
2
=
kpi
2
(ln 3− ln 2)
=
kpi
2
ln
3
2
u.m.
b) Temos que:
Ix =
∫∫
D
y2δ(x, y) dA
= k
∫∫
D
y2
x2 + y2
dA
= k
∫∫
Drθ
r2 sen2 θ
r2
r drdθ
= k
∫
3pi/4
pi/4
sen2 θ
∫
3
2
r drdθ
= k
[
r2
2
]3
2
∫
3pi/4
pi/4
sen2 θ dθ
=
k
2
(9− 4)1
2
[
θ − sen 2θ
2
]3pi/4
pi/4
=
5k
4



3pi
4
−
sen
3pi
2
2

−
(
pi
4
−
sen
pi
2
2
)
=
5k
4
(
pi
2
+
1
2
+
1
2
)
=
5k
8
(pi + 2) .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP8 – Tutor 4
Exerc´ıcio 3: Seja o so´lido W que esta´ no primeiro octante e que e´ limitado pelo cilindro x2 +z2 = 4
e pelos planos x + y = 2, 2x + y = 4, x = 0 e z = 0.
a) Esboce o so´lido W .
b) Calcule por integral tripla o volume de W .
Soluc¸a˜o:
a) Primeiramente, esboc¸amos no primeiro octante o cilindro x2 + z2 = 4. Em seguida, o plano
x+ y = 2, destacando alguns pontos comuns: A1 = (2, 0, 0) e A2 = (0, 2, 2). Ligando-os encontra-
mos a curva intersec¸a˜o do cilindro com o plano x+y = 2. Finalmente, esboc¸amos o plano 2x+y = 4,
que intercepta o cilindro x2 +y2 = 4 segundo uma curva que passa por A1 e A3 = (0, 4, 2). Levando
em conta que o so´lido e´ tambe´m limitado pelos planos x = 0 e z = 0, temos o esboc¸o de W na
figura que se segue.
x
y
z
W
2
2
2
4
b) Temos que V (W ) =
∫∫∫
W
dV . Para reduzir esta integral a uma integral dupla, projetamos W
sobre o plano xz e encontramos a regia˜o Dxz : x
2 + z2 ≤ 4, x ≥ 0, z ≥ 0.
x
z
Dxz
2
2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP8 – Tutor 5
Por um ponto no interior de W trac¸amos uma reta paralela ao eixo y e vemos que esta reta fura
a superf´ıcie de W primeiro no plano x + y = 2 ou y = 2 − x e depois no plano 2x + y = 4 ou
y = 4− 2x. Enta˜o 2− x ≤ y ≤ 4− 2x. Assim:
V (W ) =
∫∫
Dxz
∫
4−2x
2−x
dydxdz =
∫∫
Dxz
(4− 2x− 2 + x) dxdz =
∫∫
Dxz
(2− x) dxdz .
Passando para coordenadas polares, temos x = r cos θ, z = r sen θ, dxdz = rdrdθ e x2 + z2 = r2.
A regia˜o transformada e´ Drθ : 0 ≤ θ ≤ pi/2 , 0 ≤ r ≤ 2. Enta˜o:
V (W ) =
∫∫
Drθ
(2− r cos θ)r drdθ
=
∫ pi/2
0
∫
2
0
(
2r − r2 cos θ) drdθ
=
∫ pi/2
0
[
r2 − r
3
3
cos θ
]2
0
dθ
=
∫ pi/2
0
(
4− 8
3
cos θ
)
dθ
=
[
4θ − 8
3
sen θ
]pi/2
0
= 2pi − 8
3
u.v.
Exerc´ıcio 4: Calcule
∫
1
0
∫ √
1−x2
0
∫ √
1−x2−y2
0
√
x2 + y2 + z2 dzdydx .
Soluc¸a˜o: Temos que:
I =
∫
1
0
∫ √
1−x2
0
∫ √
1−x2−y2
0
√
x2 + y2 + z2 dzdydx =
∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2 dV
onde W e´ dado por W : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ √1− x2 , 0 ≤ z ≤
√
1− x2 − y2. Da descric¸a˜o de
W , vemos que o so´lido esta´ contido no primeiro octante pois x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0 e a sua projec¸a˜o
no plano xy e´ a regia˜o Dxy dada por: Dxy : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤
√
1− x2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP8 – Tutor 6
x
y
Dxy
y =
√
1− x2 ⇒ x2 + y2 = 1
1
1
ou
x
y
z
Dxy
1
1
De z =
√
1− x2 − y2 temos que x2 + y2 + z2 = 1, com z ≥ 0 (semi-esfera superior). De
0 ≤ z ≤
√
1− x2 − y2, vemos que W e´ limitado inferiormente pelo plano z = 0 e e´ limitado
superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 1. Considerando que W esta´ contido no primeiro octante,
temos o esboc¸o de W na figura a seguir.
x
y
z
W
1
1
1
Passando para coordenadas esfe´ricas temos:

x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ sen θ
z = ρ cosφ
dV = ρ2 senφ dρdφdθ
x2 + y2 + z2 = ρ2
.
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Ca´lculo IV EP8 – Tutor 7
O conjunto W em coordenadas esfe´ricas e´ Wρφθ : 0 ≤ ρ ≤ 1 , 0 ≤ φ ≤ pi/2 , 0 ≤ θ ≤ pi/2. Enta˜o:
I =
∫∫∫
Wρφθ
√
ρ2ρ2 senφ dρdφdθ
=
∫∫∫
Wρφθ
ρ3 senφ dρdφdθ
=
∫
1
0
ρ3
∫ pi/2
0
senφ
∫ pi/2
0
dθdφdρ
=
pi
2
∫
1
0
ρ3
∫ pi/2
0
senφ dφdρ
=
pi
2
∫
1
0
ρ3
[− cosφ]pi/2
0
dρ
=
pi
2
∫
1
0
ρ3 dρ
=
pi
2
[
ρ4
4
]1
0
=
1
8
.
Exerc´ıcio 5: Seja C um arame que esta´ no primeiro octante com a forma da intersec¸a˜o da esfera
x2 + y2 + z2 = 4 com o plano y = 2x.
a) Esboce C.
b) Parametrize C.
c) Calcule a massa de C se a densidade em cada ponto de C for proporcional a` distaˆncia do
ponto ao plano xy.
d) Calcule o momento ine´rciade C em relac¸a˜o ao eixo z.
Soluc¸a˜o:
a) Esbocemos no primeiro octante a porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 4. Em seguida, esbocemos o
plano y = 2x, destacando alguns pontos comuns. A curva C e´ obtida ligando esses pontos.
x
y
z
C
y = 2x
A
B
2
2
2
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Ca´lculo IV EP8 – Tutor 8
b) De x2 + y2 + z2 = 4 e y = 2x, com x, y, z ≥ 0 temos x2 + 4x2 + z2 = 4, com x, z ≥ 0 ou
5x2 +z2 = 4, com x, z ≥ 0 ou x
2
4/5
+
z2
4
= 1, com x, z ≥ 0, que representa a projec¸a˜o de C no plano
xz. Enta˜o x =
2√
5
cos t, z = 2 sen t, y = 2x =
4√
5
cos t com 0 ≤ t ≤ pi/2 pois x, z ≥ 0. Assim,
uma parametrizac¸a˜o de C e´:
γ(t) =
(
2√
5
cos t,
4√
5
cos t, 2 sen t
)
, 0 ≤ t ≤ pi/2 .
c) A distaˆncia de (x, y, z) ∈ C ao plano xy e´ igual a |z| = z pois z ≥ 0. Como a densidade
δ(x, y, z) e´ proporcional a` distaˆncia de (x, y, z) ao plano xy enta˜o δ(x, y, z) = kz, onde k e´ uma
constante positiva. Como a massa e´ dada por M =
∫
C
δ(x, y, z) ds enta˜o M = k
∫
C
z ds. Temos
que γ′(t) =
(
− 2√
5
sen t,− 4√
5
sen t, 2 cos t
)
donde
‖γ′(t)‖ =
√
4
5
sen2 t +
16
5
sen2 t + 4 cos2 t =
√
4 sen2 t + 4 cos2 t = 2 .
Logo, ds = ‖γ′(t)‖ dt = 2 dt. Enta˜o:
M = k
∫ pi/2
0
(2 sen t)2 dt = 4k
∫ pi/2
0
sen t dt = 4k
[− cos t]pi/2
0
= 4k u.m.
d) Temos que:
Iz =
∫
C
(
x2 + y2
)
δ(x, y, z) ds
= k
∫
C
(
x2 + y2
)
z ds
= k
∫ pi/2
0
(
4
5
cos2 t +
16
5
cos2 t
)
(2 sen t)2 dt
= 4k
∫ pi/2
0
(
20
5
cos2 t sen t
)
dt
= 16k
∫ pi/2
0
cos2 t sen t dt
= −16k
[
cos3 t
3
]pi/2
0
= −16k
3
(0− 1)
=
16k
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ