Sistemas de Amortização

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Conceitos 
 Sistemas de Amortização são diferentes possibilidades de pagamento de financiamentos ou empréstimos.
 A diferença entre os vários sistemas de amortização está no método de cálculo dos juros e da amortização do principal. 
 Em qualquer sistema de amortização, a prestação paga é composta de juros mais amortização (devolução do principal).
 Serão apresentados os principais sistemas de amortização utilizados no mercado: Sistema Bullet, Sistema Americano, Sistema Francês (Price), Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Mista (SAM). 
 Para permitir a comparação entre os sistemas, será usado um mesmo exemplo: um financiamento de R$ 1.000,00 por 5 anos, a uma taxa de juros de 12 % a.a..
Prestação = Juros + Amortização
Fundamentos da Engenharia Econômica
Rogério Itaborahy Tavares
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Sistemas de Amortização
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1
Sistema Bullet
 No Sistema Bullet, o financiamento é liquidado através de um pagamento único no vencimento.
 Os juros e a amortização são pagos apenas no final do empréstimo, não existindo nenhum pagamento intermediário. 
 O cálculo da prestação única a ser paga pode ser feito utilizando a função valor futuro (FV ou VF) da HP-12C ou do Microsoft Excel.
 
 Exemplo 6.1: Financiamento de R$ 1.000,00 por 5 anos, a uma taxa de juros de 12 % a.a. 
Solução : PV = 1.000,00 ; i = 12 % a.a. ; PMT = 0,00 ; n = 5 anos ; FV = ?
[g]
END
1.000,00
PV
5
n
12
i
0,00
PMT
FV
- 1.762,34
Solução na HP-12C
1
0
1.000,00
2
3
4
5
1.762,34
O pagamento no final, de R$ 1.762,34, corresponde a 
R$ 1.000,00 de amortização do principal e juros de R$ 762,34. 
Fórmula usada no cálculo do valor futuro 
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Sistema Bullet
 As tabelas de amortização são utilizadas para mostrar a evolução de um financiamento ao longo do tempo, exibindo os juros, a amortização do principal, as prestações e o saldo devedor em cada período.
Ano
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
1.000,00
1
0,00
0,00
0,00
1.120,00
2
0,00
0,00
0,00
1.254,40
3
0,00
0,00
0,00
1.404,93
4
0,00
0,00
0,00
1.573,52
5
762,34
1.000,00
1.762,34
0,00
Soma
762,34
1.000,00
1.762,34
Evolução do Financiamento pelo Sistema Bullet
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 No Sistema Americano, o financiamento é liquidado através de pagamentos periódicos de juros (“cupons”) e amortização única do principal no vencimento.
 No nosso exemplo, os juros anuais seriam calculados da seguinte forma:
 Juros = i x Principal = 12% x 1.000,00 = 120,00
 No vencimento (final do ano 5), além da última parcela de juros anuais de R$120,00, ocorre a amortização do principal de R$ 1.000,00, gerando uma prestação total de R$ 1.120,00.
 
Sistema Americano
1
0
1.000,00
2
3
4
5
1.000,00
120,00
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4
Sistema Americano
Ano
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
1.000,00
1
120,00
0,00
120,00
1.000,00
2
120,00
0,00
120,00
1.000,00
3
120,00
0,00
120,00
1.000,00
4
120,00
0,00
120,00
1.000,00
5
120,00
1.000,00
1.120,00
0,00
Soma
600,00
1.000,00
1.600,00
Evolução do Financiamento pelo Sistema Americano
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 No Sistema Francês (Price), o financiamento é liquidado através de prestações constantes e periódicas.
 Cada prestação contém juros e amortização, sendo que os juros são decrescentes e a amortização é crescente. 
 O cálculo das prestações pode ser feito utilizando a função PMT da HP-12C ou PGTO do Microsoft Excel.
 No nosso exemplo: 
Sistema Francês (Price)
[g]
END
1.000,00
PV
5
n
12
i
0,00
FV
PMT
- 277,41
Solução na HP-12C
Anuidade 
ou Série Postecipada
Fórmula usada no cálculo das prestações
1
0
1.000,00
2
3
4
5
277,41
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 No nosso exemplo: 
n = 5 anos ; i = 12% a.a. ; PV = 1.000,00 ; FV = 0,00 ; PMT = ?
Sistema Francês (Price)
Solução no Microsoft Excel
Tipo = 0 , para série postecipada
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Sistema Francês (Price)
 O pagamento anual de R$ 277,41 engloba juros e amortização. Para calcular o valor da amortização e dos juros contidos em cada prestação, é feito um procedimento em duas etapas. Primeiro são calculados os juros sobre o saldo devedor no final do período anterior.
 Juros = Taxa de Juros x Saldo Devedor Inicial
 A amortização do principal é calculada pela diferença entre a prestação e os juros.
Amortização = Prestação – Juros
 O saldo devedor atual é calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização do período.
Saldo Devedor Atual = Saldo Devedor Anterior - Amortização
 
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 No primeiro ano, a prestação de R$ 277,41 contém juros e amortização. Os juros do primeiro ano são R$ 120,00, correspondentes a 12% do saldo devedor anterior (R$ 1.000,00). A amortização contida na primeira prestação é igual a R$ 157,41, calculada através da diferença entre a prestação (R$ 277,41) e os juros (R$ 120,00). O saldo devedor no final do primeiro ano é igual a R$ 842,59, calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior (R$ 1.000,00) e a amortização do primeiro ano (R$ 157,41). 
 No segundo ano, a prestação de R$ 277,41 contém juros e amortização. Os juros do segundo ano são R$ 101,11, correspondentes a 12% do saldo devedor anterior (R$ 842,59). A amortização contida na segunda prestação é igual a R$ 176,30, calculada pela diferença entre a prestação (R$ 277,41) e os juros (R$ 101,11). O saldo devedor no final do segundo ano é igual a R$ 666,29, calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior (R$ 842,59) e a amortização do segundo ano (R$ 176,30). Confira as explicações acima na Tabela do próximo slide.
Sistema Francês (Price)
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Ano
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
1.000,00
1
j1= 120,00
a1= p – j1= 157,41
p = 277,41
sd1= sd0– a1= 842,59
2
101,11
176,30
277,41
666,29
3
79,95
197,45
277,41
468,84
4
56,26
221,15
277,41
247,69
5
29,72
247,69
277,41
0,00
Soma
387,05
1.000,00
1.387,05
Evolução do Financiamento pelo Sistema Francês
sd0 = 1.000,00
12 %
Sistema Francês (Price)
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 É importante reparar que os juros são decrescentes ao longo do tempo e a amortização é crescente. As amortizações no Sistema Francês crescem exponencialmente (em progressão geométrica), à mesma taxa do financiamento, podendo ser representadas pela relação:
				 onde: An = amortização no tempo n
	 			 A1 = amortização no tempo 1
 	 				 i = taxa de juros do financiamento
 Por exemplo, poderíamos obter as amortizações dos anos 2 a 5 através das equações:
			
Sistema Francês (Price)
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 A HP-12C tem uma rotina especial para calcular os juros, a amortização e o saldo devedor no sistema francês. 
 Ela calcula, período a período, iniciando no primeiro, ou por grupos de períodos, por exemplo, no caso de se querer saberquais são os valores acumulados depois de 3 períodos. Para isso, deve-se proceder como mostrado a seguir: 
Sistema Francês (Price)
[g]
END
1.000,00
PV
5
n
12
i
0,00
FV
PMT
- 277,41
1ª Etapa na HP-12C
Teclar
Visor
Significado
1 [f] [AMORT]
- 120,00
Juros do 1º ano
[X<>Y]
- 157,41
Amortização do 1º ano
[RCL] PV
842,59
Saldo devedor do 1ºano
1 [f] [AMORT]
- 101,11
Juros do 2º ano
[X<>Y]
- 176,30
Amortização do 2º ano
[RCL] PV
666,29
Saldo devedor do 2ºano
1 [f] [AMORT]
- 79,95
Juros do 3º ano
[X<>Y]
- 197,45
Amortização do 3º ano
[RCL] PV
468,84
Saldo devedor do 3ºano
1 [f] [AMORT]
-56,26
Juros do 4º ano
[X<>Y]
- 221,15
Amortização do 4º ano
[RCL] PV
247,69
Saldo devedor do 4ºano
1 [f] [AMORT]
- 29,72
Juros do 5º ano
[X<>Y]
- 247,69
Amortização do 5º ano
[RCL] PV
0,00
Saldo devedor do 5ºano
2ª Etapa na HP-12C
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12
 Caso se queira conhecer os juros e amortizações acumulados nos 3 primeiros anos, o procedimento deve ser como mostrado a seguir: 
Sistema Francês (Price)
[g]
END
1.000,00
PV
5
n
12
i
0,00
FV
PMT
- 277,41
1ª Etapa na HP-12C
Teclar
Visor
Significado
3 [f] [AMORT]
- 301,07
Juros dos anos 1, 2 e 3
[X<>Y]
- 531,16
Amortização dos anos 1, 2 e 3
[RCL] PV
468,84
Saldo devedor do 3ºano
2ª Etapa na HP-12C
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Sistema de Amortização Constante (SAC)
 No Sistema de Amortização Constante (SAC), cada prestação contém juros e amortização, sendo que os juros são decrescentes e a amortização é constante.
 Para calcular o valor da amortização, dos juros e das prestações, são consideradas as etapas mostradas a seguir. Primeiro é calculado o valor da amortização: 
 
 A seguir, os juros são calculados multiplicando a taxa de juros pelo saldo devedor no final do período anterior:
Juros = Taxa de Juros x Saldo Devedor Anterior
 Na próxima etapa, a prestação é calculada pela soma da amortização e dos juros:
Prestação = Amortização + Juros
 Por fim, o saldo devedor atual é calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização do período: 
Saldo Devedor Atual = Saldo Devedor Anterior - Amortização
 
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Sistema de Amortização Constante (SAC)
 No nosso exemplo, a amortização é igual a R$ 200,00 (R$ 1.000,00 divididos pelo prazo de 5 anos). 
 No primeiro ano, os juros são R$ 120,00, correspondentes a 12% do saldo devedor anterior (R$ 1.000,00).
 A prestação do primeiro ano é igual a R$ 320,00, calculada pela soma da amortização (R$ 200,00) com os juros (R$ 120,00).
 O saldo devedor no final do primeiro ano é igual a R$ 800,00, calculado pela diferença entre o saldo anterior (R$ 1.000,00) e a amortização do primeiro ano (R$ 200,00).
 No segundo ano, os juros são R$ 96,00, correspondentes a 12% do saldo devedor anterior (R$ 800,00).
 A prestação do segundo ano é igual a R$ 296,00, calculada pela soma da amortização (R$ 200,00) com os juros (R$ 96,00).
 O saldo devedor no final do segundo ano é igual a R$ 600,00, calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior (R$ 800,00) e a amortização do segundo ano (R$ 200,00).
 A tabela a seguir ilustra a evolução do financiamento pelo Sistema SAC.
 
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Sistema de Amortização Constante (SAC)
Evolução do Financiamento pelo Sistema SAC
Ano
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
1
j1= 120,00
p1= j1+a1= 320,00
sd1= sd0– a1= 800,00
2
96,00
200,00
296,00
600,00
3
72,00
200,00
272,00
400,00
4
48,00
200,00
248,00
200,00
5
24,00
200,00
224,00
0,00
Soma
360,00
1.000,00
1.360,00
sd0 = 1.000,00
12 %
 No Sistema SAC, a amortização é constante, enquanto que as prestações e os juros decrescem linearmente ao longo do tempo (no nosso exemplo, decrescimento linear de R$ 24,00 a cada ano).
 
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Ano
PrestaçãoPrice
Prestação SAC
Prestação SAM
1
277,41
320,00
298,70
2
277,41
296,00
286,70
3
277,41
272,00
274,70
4
277,41
248,00
262,70
5
277,41
224,00
250,70
Sistema de Amortização Mista (SAM)
 No Sistema de Amortização Mista (SAM), cada prestação é a média aritmética das prestações obtidas através dos Sistemas Price e SAC.
 
 Cada prestação contém juros e amortização, sendo que os juros são decrescentes e a amortização é crescente. Para calcular o valor da amortização e dos juros contidos em cada prestação, é feito um procedimento em duas etapas. 
 Primeiro é calculada a prestação através da média aritmética das prestações dos sistemas Price e SAC.
 
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Sistema de Amortização Mista (SAM)
 
 A seguir, os juros são calculados multiplicando a taxa de juros pelo saldo devedor no final do período anterior:
Juros = Taxa de Juros x Saldo Devedor Anterior
 Na próxima etapa, a amortização do principal é calculada pela diferença entre a prestação e os juros:
Amortização = Prestação - Juros
 Por fim, o saldo devedor atual é calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização do período: 
Saldo Devedor Atual = Saldo Devedor Anterior - Amortização
 
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 No primeiro ano, a prestação de R$ 298,70 contém juros e amortização.
 Os juros do primeiro ano são R$ 120,00, correspondentes a 12% do saldo devedor anterior (R$ 1.000,00).
 A amortização contida na primeira prestação é igual a R$ 178,70, calculada pela diferença entre a prestação (R$ 298,70) e os juros (R$ 120,00).
 O saldo devedor no final do primeiro ano é igual a R$ 821,30, calculado pela diferença entre o saldo anterior (R$ 1.000,00) e a amortização do primeiro ano (R$ 178,70).
 No segundo ano, a prestação de R$ 286,70 contém juros e amortização. 
 Os juros do segundo ano são R$ 98,56, correspondentes a 12% do saldo devedor anterior (R$ 821,30).
 A amortização contida na segunda prestação é igual a R$ 188,15, calculada pela diferença entre a prestação (R$ 286,70) e os juros (R$ 98,56).
 O saldo devedor no final do segundo ano é igual a R$ 633,15, calculado pela diferença entre o saldo devedor anterior (R$ 821,30) e a amortização do segundo ano (R$ 188,15).
 A tabela mostrada a seguir ilustra a evolução do financiamento pelo Sistema SAM.
 
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Evolução do Financiamento pelo Sistema SAM
Ano
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
1
j1= 120,00
a1= p1-j1= 178,70
p1= 298,70
sd1= sd0– a1= 821,30
2
98,56
188,15
286,70
633,15
3
75,98
198,73
274,70
434,42
4
52,13
210,57
262,70
223,84
5
26,86
223,84
250,70
0,00
Soma
373,52
1.000,00
1.373,52
sd0 = 1.000,00
12 %
 No Sistema SAM, a amortização é crescente, enquanto que as prestações e os juros decrescem ao longo do tempo.
 
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Ano
PrestaçãoBullet
Prestação Americano
PrestaçãoPrice
Prestação SAC
Prestação SAM
1
0,00
120,00
277,41
320,00
298,70
2
0,00
120,00
277,41
296,00
286,70
3
0,00
120,00
277,41
272,00
274,70
4
0,00120,00
277,41
248,00
262,70
5
1.762,34
1.120,00
277,41
224,00
250,70
Soma
1.762,34
1.600,00
1.387,05
1.360,00
1.373,52
Comparação entre os Sistemas de Amortização
 Sistema Bullet : financiamento liquidado com um pagamento único no vencimento, incluindo juros e amortização; Sistema Americano: financiamento liquidado com pagamentos periódicos de juros e amortização única do principal no vencimento; Sistema Price : a prestação é constante, os juros são decrescentes e a amortização cresce exponencialmente; Sistema SAC: a amortização é constante e a prestação e os juros decrescem linearmente com o tempo; Sistema SAM: a prestação decresce linearmente, a amortização é crescente e os juros são decrescentes.
 
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 O financiamento de R$ 1.000,00 pode ser amortizado no prazo de 5 anos, a uma taxa de 12% a.a., pelos cinco planos de financiamento, que são equivalentes com a taxa em questão, já que todos têm o mesmo valor presente (R$ 1.000,00).
 Fluxos de caixa são equivalentes se seus valores presentes são iguais, para uma certa taxa de juros e um mesmo prazo. 
 Analisar os planos de financiamento somente pelo total pago é equivocado, pois somando prestações em períodos diferentes de tempo, o valor do dinheiro no tempo não está sendo considerado. Por esse raciocínio errado, o SAC seria o melhor plano, pois tem o menor valor pago (R$ 1.360,00), e o Bullet seria o pior (maior valor pago: R$ 1.762,34).
 No Sistema SAC, o valor total pago é menor, pois maiores parcelas são pagas logo nos primeiros anos. Já no Sistema Bullet, o valor total pago parece maior, pois só se paga uma prestação no final (acumulando um maior valor referente aos juros).
 A correta comparação dos sistemas é feita considerando o mesmo período de tempo. 
 Alternativamente, a análise comparativa dos 5 planos pode ser feita na data do vencimento. Como todos são equivalentes, também devem ter o mesmo valor futuro.
 Ao se levar para o ano 5 todas as prestações de cada sistema e somando seus valores, é obtido o total de R$ 1.762,34, confirmando que os sistemas de amortização são de fato equivalentes à taxa de juros de 12% a.a..
 
Comparação entre os Sistemas de Amortização
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22
A taxa de 18% a.a. capitalizada mensalmente é uma taxa nominal. Nos sistemas de amortização, é comum o uso de taxas nominais, que devem ser convertidas para taxas efetivas.
PV = 300.000,00 ; n = 2 meses ; PMT = 0,00 ; FV = ? 
Exercício Resolvido
 Exemplo 6.1: Um empresário adquiriu uma frota de caminhões por R$ 300.000,00, a pagar em 6 prestações mensais, a uma taxa de juros de 18% a.a., capitalizados mensalmente, sendo que a primeira prestação ocorre somente no final do 3º mês após a compra. Se o empresário decidir quitar o financiamento após efetuar o quarto pagamento, qual será o valor pago para resgatar a dívida nesta data? Fazer os cálculos, assumindo que o empresário contraiu o financiamento nos seguintes sistemas: (a) Americano; (b) Francês; (c) SAC; (d) SAM.
Solução :	Trata-se de um financiamento com um prazo de carência de 3 meses. Assim, é preciso calcular o valor futuro no final do 2º mês, que corresponderá ao valor presente para calcular as prestações dos sistemas de financiamento.
	
 
[g]
END
300.000,00
PV
2
n
1,5
i
0,00
PMT
FV
- 309.067,50
Solução na HP-12C
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23
Exercício Resolvido
 Exemplo 6.1 (continuação): No Sistema Americano, o financiamento é liquidado através de pagamentos periódicos de juros (“cupons”) iguais a R$ 4.636,01 (1,5% x 309.067,50). No vencimento, além da última parcela de juros mensais de R$ 4.636,01, ocorrerá a amortização do principal de R$ 309.067,50, perfazendo uma prestação total de R$ 313.703,51. 
 
Mês
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
300.000,00
1
0,00
0,00
0,00
304.500,00
2
0,00
0,00
0,00
309.067,50
3
4.636,01
0,00
4.636,01
309.067,50
4
4.636,01
0,00
4.636,01
309.067,50
5
4.636,01
0,00
4.636,01
309.067,50
6
4.636,01
0,00
4.636,01
309.067,50
7
4.636,01
0,00
4.636,01
309.067,50
8
4.636,01
309.067,50
313.703,51
0,00
Sistema Americano de amortização com carência
Fundamentos da Engenharia Econômica
Rogério Itaborahy Tavares
Aula 6
Sistemas de Amortização
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24
Exercício Resolvido
 Exemplo 6.1 (continuação): No Sistema Francês, o financiamento é liquidado através de prestações constantes e periódicas (PMT). 
 
[g]
END
309.067,50
PV
6
n
1,5
i
0,00
FV
PMT
- 54.249,14
Mês
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
300.000,00
1
0,00
0,00
0,00
304.500,00
2
0,00
0,00
0,00
309.067,50
3
4.636,01
49.613,13
54.249,14
259.454,37
4
3.891,82
50.357,32
54.249,14
209.097,05
5
3.136,46
51.112,68
54.249,14
157.984,37
6
2.369,77
51.879,37
54.249,14
106.104,99
7
1.591,57
52.657,56
54.249,14
53.447,43
8
801,71
53.447,43
54.249,14
0,00
Cálculo de PMT 
na HP-12C
Sistema Price de amortização com carência
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Sistemas de Amortização
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Exercício Resolvido
 Exemplo 6.1 (continuação): No Sistema de Amortização Constante (SAC), o financiamento é liquidado através de amortizações constantes: 
 
Mês
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
300.000,00
1
0,00
0,00
0,00
304.500,00
2
0,00
0,00
0,00
309.067,50
3
4.636,01
51.511,25
56.147,26
257.556,25
4
3.863,34
51.511,25
55.374,59
206.045,00
5
3.090,68
51.511,25
54.601,93
154.533,75
6
2.318,01
51.511,25
53.829,26
103.022,50
7
1.545,34
51.511,25
53.056,59
51.511,25
8
772,67
51.511,25
52.283,92
0,00
Sistema de Amortização Constante com carência
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Sistemas de Amortização
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Exercício Resolvido
 Exemplo 6.1 (continuação): No Sistema de Amortização Mista (SAM), cada prestação é a média aritmética das prestações obtidas através dos Sistemas Price e SAC. 
 
Mês
Juros
Amortização
Prestação
Saldo Devedor
0
300.000,00
1
0,00
0,00
0,00
304.500,00
2
0,00
0,00
0,00
309.067,50
3
4.636,01
50.562,19
55.198,20
258.505,31
4
3.877,58
50.934,29
54.811,87
207.571,02
5
3.113,57
51.311,97
54.425,53
156.259,06
6
2.343,89
51.695,31
54.039,20
104.563,75
7
1.568,46
52.084,41
53.652,86
52.479,34
8
787,19
52.479,34
53.266,53
0,00
Sistema de Amortização Mista com carência
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Sistemas de Amortização
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Exercício Resolvido
 Exemplo 6.1 (continuação): Se o empresário decidir quitar o financiamento após efetuar o quarto pagamento (final do 6º mês), o saldo devedor no final dessa data representa o valor a ser pago para resgatar a dívida. No caso de querer saldar uma dívida antes do vencimento, o mutuário somente está devendo o saldo devedor naquele período, sem juros adicionais, do ponto de vista financeiro. O saldo devedor, logo após a realização de um pagamento, é o valor atual de todos os pagamentos ainda por efetuar. Essa afirmativa vale para qualquer sistema de amortização.
 
Sistema
Saldo Devedor (Final do 6º Mês)
Americano
309.067,50
Price
106.104,99
SAC
103.022,50
SAM
104.563,75
Saldo Devedor para os diversos sistemas de amortização
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Exercícios Propostos
1: Um aposentado comprou um imóvel no valor de R$ 60.000,00 hoje, com pagamentos em 4 prestações anuais postecipadas, auma taxa de juros de 6% a.a.. Montar as tabelas de amortização e determinar os valores das prestações nos seguintes sistemas: (a) Americano; (b) Francês; (c) SAC; (d) SAM. 
2: Um estudante adquiriu um computador por R$ 4.000,00 hoje, com pagamentos em 6 prestações mensais postecipadas , a uma taxa de juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente. Montar as tabelas de amortização e determinar os valores das prestações nos seguintes sistemas: (a) Americano; (b) Francês; (c) SAC; (d) SAM. 
3: Uma empresa adquiriu bens no valor de R$ 15.000,00, pagando uma entrada de 10% e financiando o resto em 4 prestações semestrais postecipadas, a uma taxa de juros de 8% a.s.. Montar as tabelas de amortização e determinar os valores das prestações nos seguintes sistemas: (a) Americano; (b) Francês; (c) SAC; (d) SAM. 
4: Um empresário adquiriu um equipamento por R$ 42.000,00 hoje, com pagamentos em 5 prestações trimestrais postecipadas, a uma taxa de juros de 12% a.a. capitalizados trimestralmente. Se o empresário decidir quitar o financiamento no final do terceiro trimestre (após efetuar o terceiro pagamento), qual será o valor pago para resgatar a dívida nesta data? Fazer os cálculos assumindo que o empresário contraiu o financiamento nos seguintes sistemas: (a) Americano; (b) Francês; (c) SAC; (d) SAM.
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Exercícios Propostos
5: Uma empresa obteve um financiamento no valor de R$ 185.000,00 em um Banco de Desenvolvimento, se comprometendo a pagar em 4 prestações anuais, a uma taxa de juros de 8% a.a.. No entanto, a empresa só começará a pagar as prestações no final do terceiro ano, pois conseguiu negociar com a instituição de fomento esse período de carência. Montar as tabelas de amortização e determinar os valores das prestações nos seguintes sistemas: (a) Americano; (b) Francês; (c) SAC; (d) SAM. 
6: Qual é a quantia que uma pessoa que acabou de completar 30 anos de idade deve depositar mensalmente num fundo de investimento que rende 1% a.m., de modo a assegurar uma renda mensal após sua aposentadoria de R$ 5.000,00 durante 30 anos? Suponha que a aposentadoria desta pessoa ocorra aos 55 anos e que as prestações pagas e recebidas ocorram no final de cada mês.
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