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ESTATÍSTICA I Professora Kelly Alonso Probabilidade Total e Teorema de Bayes Email: kellyalonso@uol.com.br 2 Exercícios de Probabilidade 1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos, a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva; d) nenhum esteja vivo; e) pelo menos um esteja vivo. H: homem vivo : homem morto M: mulher viva : mulher morta H M 1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) ambos estejam vivos; ( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 2 2 4 5 3 15 = b) somente o homem esteja vivo; ( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 2 1 2 5 3 15 = c) somente a mulher esteja viva; ( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 3 2 6 5 3 15 = 1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: d) nenhum esteja vivo; ( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 3 1 3 5 3 15 = e) pelo menos um esteja vivo; ( )P H M∪ = ( ) ( ) ( )P H P M P H M+ − ∩ = 2 2 4 6 10 4 12 5 3 15 15 15 + − + − = = 1 ( )P H M= − ∩ = 3 121 15 15 − = Obs: 4 2 6 3( ) ( ) ( ) ( ) 1 15 15 15 15 P H M P H M P H M P H M∩ + ∩ + ∩ + ∩ = + + + = 2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; e P(A ∪ B) = 0,6. Calcular p considerando A e B: a) mutuamente exclusivos; b) independentes. ( ) 0P A B∩ = ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + ( ) ( ) ( )P B P A B P A⇒ = ∪ − ( ) 0,6 0,2 0,4P B = − = ( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( ) ( ) P A B P A P B P A B P A P B P A P B P B P A P A ∪ = + − ∩ = + − = − + ( ) ( ) 0,6 0,2 0,4( ) 0,5 1 ( ) 1 0,2 0,8 P A B P AP B P A ∪ − − = = = = − − b) independentes. 3) Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística. Analise o quadro e calcule a probabilidade desse estudante ser mulher. 20085115Total 301020Computação 302010Estatística 301515Matemática aplicada 1104070Matemática pura TotalMulheresHomens A = {mulher} e B = {matriculado em estatística} ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 2/ 200 30 200 20 / / =⇒= ∩ = BAPBAP BP BAPBAP Probabilidade Total 1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) ser da fábrica A; b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; c) ser defeituosa; d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. Probabilidade Total 1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) ser da fábrica A; ( )P A = 100 1 600 6 = b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; ( / )P D A = 1 10 Probabilidade Total c) ser defeituosa; Probabilidade Total conjuntos disjuntos eventos mutuamente exclusivos A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5A A A A A S∪ ∪ ∪ ∪ = 1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A P A P A+ + + + = 11 ( ) 1i i ii A S P A ∞ ∞ == = =∑U ,i jA A i j i j∩ =∅ ∀ ≠ Probabilidade Total 11 Probabilidade Total 1 2 5( ) ( ) ( )B A B A B A B= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩L 5 1 ( ) ( )i i P B P A B = = ∩∑ A1 A2 A3 A4 A5 B 5 1 ( ). ( / )i i i P A P B A = =∑ O Teorema da Probabilidade Total pode ser interpretado fisicamente como uma medida do peso de cada um dos eventos Ai na contribuição para formar o evento B. Voltando ao exercício 1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: c) ser defeituosa; Probabilidade Total ( ) ( ) ( )D A D B D C D= ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ( ) ( ) ( ) ( )P D P A D P B D P C D= ∩ + ∩ + ∩ ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P D P A P D A P B P D B P C P D C= + + 1 1 2 1 3 1 10 10 3 23( ) 6 10 6 20 6 100 600 600 P D + += + + = = 2) Suponha que a população de uma cidade está formada por 60% de homens e 40% de mulheres. Suponha também que 50% dos homens e 30% das mulheres fumam. Determine a probabilidade que uma pessoa selecionada aleatoriamente a) seja fumante; Probabilidade Total b) uma pesoa que fuma seja homem. Temos que ( ) ( ) ( ) ( ) 3,0/;5,0/;4,0;6,0 ==== MFPHFPMPHP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42,03,04,05,06,0// =×+×=+= MFPMPHFPHPFP b) uma pesoa que fuma seja homem. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 71,0 42,0 30,0/ 30,06,05,0/ / == =×==∩ ∩ = FHPLogo HPHFPFHPmas FP FHPFHP Voltando ao exercício 1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) ser da fábrica A; b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; c) ser defeituosa; d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. Teorema de Bayes ( / )P A D = Teorema de Bayes O teorema de Bayes está intimamente relacionado ao teorema da probabilidade total. Supõem-se as mesmas condições (eventos Ai mutuamente exclusivos e exaustivos e um evento B qualquer). Basicamente, o teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um dos eventos Ai ocorra, sabendo-se que o evento B ocorreu. Teorema de Bayes Suponha que queremos saber P (Ai / B), para isso usaremos a probabilidade condicional , mas não conhecemos P (Ai∩B) e P (B). Pela regra do produto temos: P (Ai∩B) = P(B/Ai) . P(Ai) = P(Ai/B) . P(B) E pelo Teorema da Probabilidade total temos que: Logo, o Teorema de Bayes é dado por: ( ). ( / )( / ) ( ) i i i P A P B AP A B P B = P (Ai ∩ B) 5 1 ( ). ( / )i i i P A P B A = =∑P (B) ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )i i i iP A B P A P B A P B P A B∩ = = ( ). ( / )( / ) ( ) i i i P A P B AP A B P B = A1 A2 A3 A4 A5 B 5 1 ( ). ( / ) ( ). ( / ) i i j j j P A P B A P A P B A = = ∑ Teorema de Bayes Voltando ao exercício 1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa; ( ). ( / )( / ) ( ).( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) P A P D AP A D P A P D A P B P D B P C P D C = + + 1 1 1 1 600 106 10 60( / ) 1 1 2 1 3 1 23 60 23 23 6 10 6 20 6 100 600 P A D = = = = + + Teorema de Bayes 2) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia de chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia? ( ) ( ) ( ) ( ) 10 4/; 10 6/; 10 6 ; 10 4 ==== CFPCFPCPCP ( )FCP / ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21106104104106 104106// // =×+× ×=×+× ×= CPCFPCPCFP CPCFPFCP Sejam os eventos: F – Fluminense ganhar C – chover no dia Temos que Queremos saber . Pelo Teorema de Bayes: A probabilidade de chover nesse dia dado que o Fluminense ganhou é de 0,5.
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