Provas Portugues e Matemática com justificativa

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Nome: Inscrição: 
Identidade: Órgão Expedidor: 
Assinatura: 
 
COMISSÃO DE PROCESSOS 
SELETIVOS E TREINAMENTOS 
(0xx81) 3412 0800 
(0xx81) 3412 0805 
 
 
 
 
 
LEIA COM ATENÇÃO 
Português e Matemática 
01. Só abra este caderno após ler todas as instruções e quando for autorizado pelos fiscais da sala. 
02. Preencha os dados pessoais. 
03. A prova de PORTUGUÊS consiste de duas QUESTÕES DISCURSIVAS, que devem ser respondidas, 
inicialmente, no rascunho e, em seguida, transcritas para a FOLHA DE RESPOSTAS das QUESTÕES 
DISCURSIVAS. Não assine a folha de resposta das questões discursivas. 
04. A prova de MATEMÁTICA contém 16 (dezesseis) questões que podem ser de proposições múltiplas e/ou de 
respostas numéricas. Se o caderno não estiver completo, exija outro do fiscal da sala. 
As questões de proposições múltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0) a 
duplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras falsas. Na 
folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna V, as falsas na coluna F. As 
questões numéricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser 
marcados, na folha de respostas, no local correspondente ao número da questão.(COLUNA D para as 
dezenas e COLUNA U para as unidades. Respostas com valores entre 0 e 9 devem ser marcadas 
antepondo-se zero(0) ao valor na COLUNA D). 
05. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e seu número de inscrição. 
Comunique imediatamente ao fiscal qualquer irregularidade observada. 
06. Assinale a resposta de cada questão no corpo da prova e, só depois, transfira os resultados para a folha 
de respostas. 
07. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferográfica preta ou azul e faça as marcas de 
acordo com o modelo . A marcação da folha de respostas é definitiva, não admitindo rasuras. 
08. Não risque, não amasse, não dobre e não suje a folha de respostas, pois isso poderá prejudicá-lo. 
09. Os fiscais não estão autorizados a emitir opinião nem a prestar esclarecimentos sobre o conteúdo das 
provas. Cabe única e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir. 
10. Se a Comissão verificar que a resposta de uma questão é dúbia ou inexistente, a questão será 
posteriormente anulada, e os pontos a ela correspondentes, distribuídos entre as demais. 
 
 
QQQUUUEEESSSTTTÕÕÕEEESSS DDDIIISSSCCCUUURRRSSSIIIVVVAAASSS 
 
1ª QUESTÃO 
CASAIS TROCAM ALTAR POR JUIZ. 
 
a) O que o autor da manchete jornalística acima pretende comentar? 
b) Explique por que apenas nosso conhecimento da língua não é suficiente para entender 
integralmente essa manchete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª QUESTÃO 
Um princípio básico do funcionamento das 
línguas é que a escolha das palavras e 
das estruturas gramaticais está a serviço 
dos sentidos que se pretende expressar. 
Por isso, às vezes, um autor, ao escrever 
um texto, se sente à vontade para quebrar 
certas regras da norma padrão, desde 
que, com essa “quebra”, consiga alcançar 
efeitos particulares de sentido. Explique 
como esse princípio se aplica à manchete 
do texto ao lado. 
 
Capa do Jornal O dia, de 24/03/2012. Adaptada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
01. Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades aritméticas 
dos números: 
0-0) Se n é um número natural, então, o número n(n + 1)(2n + 1) é um natural 
par. 
1-1) Se a e b são números reais, e a – b > 0, então, a
4
 – b
4
 > 0. 
2-2) O produto de dois números irracionais é sempre irracional. 
3-3) Se n é um número natural, então, n
2 
+ n + 11 é um natural primo. 
4-4) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número 
irracional. 
 Resposta: VFFFV 
 Justificativa: 
0-0) Se n é um número natural, então, n ou n + 1 é par, e o produto n(n + 1) 
será par, assim como o produto n(n + 1)(2n + 1). 
1-1) Se escolhermos a = 0 e b = -1 teremos a – b = 1 >0 mas a
4
 – b
4
 = -1 < 0. 
2-2) 
2
 é irracional, mas 
2.2
=2 é racional. 
3-3) Se escolhermos n = 11, temos que 11
2
 + 11 + 11 = 11.13 não é primo. 
4-4) Sejam r um número racional e i um número irracional. Se r + i fosse 
racional, teríamos que (r + i) – r = i seria racional, o que contradiz i ser 
irracional. 
02. Esta questão refere-se à parábola com equação y = x2 + 5 e à reta não vertical 
com inclinação m e passando pelo ponto (0, 1), que será designada por rm. 
Abaixo, ilustramos o gráfico da parábola e o gráfico das retas y = 2x +1, y = 4x 
+ 1 e y = 6x + 1. 
 
 
x 
y 
y = 6x+1 
y = 4x+1 
y = 2x+1 
 
 
 Admitindo esses dados, analise as afirmações seguintes. 
0-0) Uma equação de rm é y = mx + 1. 
1-1) rm intercepta a parábola em um único ponto se e somente se m = 4. 
2-2) Se -4 < m < 4, então, rm não intercepta a parábola. 
3-3) Se m < -4, então, rm intercepta a parábola em dois pontos diferentes. 
4-4) Se m > 4, então, rm intercepta a parábola em um único ponto. 
 Resposta: VFVVF 
 Justificativa: 
0-0) y = mx + 1 tem inclinação m e passa pelo ponto (0, 1). 
1-1) As abscissas dos pontos de interseção da parábola com rm são raízes da 
equação x
2
 + 5 = mx + 1, que se simplifica como x
2
 – mx + 4 = 0. O 
discriminante desta equação é Δ = m
2
 – 16. A equação terá uma única 
solução real se e somente se Δ = m
2
 – 16 = 0, que tem as soluções m = 
4 e m = -4. A cada abscissa corresponde um único ponto de interseção. 
2-2) A equação não terá soluções reais se e somente se Δ = m
2
 – 16 < 0. A 
inequação m
2
 – 16 < 0 tem conjunto solução -4 < m < 4. 
3-3) A equação terá duas soluções reais se e somente se Δ = m
2
 – 16 > 0, e 
esta desigualdade tem solução m < -4 ou m > 4. 
4-4) Se m > 4, então rm intercepta a parábola em dois pontos distintos. 
 
03. Analise as afirmações seguintes sobre o número complexo z = 
2
i1
 : 
0-0) z é uma das raízes quadradas do complexo i. 
1-1) z
4
 = 1. 
2-2) A forma trigonométrica de z é 





 





 
4
isen
4
cos
. 
3-3) z
2012
 = 1. 
4-4) z, z
3
, z
5
 e z
7
 são as raízes complexas da equação x
4 
+ 1 = 0. 
 
 Resposta: VFVFV 
 Justificativa: 
0-0) Temos z
2
 = 
.i
2
2ii21


 
1-1) Usando o item anterior, temos z
4
 = i
2
 = -1. 
2-2) z = 
i
2
2
2
2

 = cos(π/4)+isen(π/4). 
3-3) z
2012
 = 
1503)1(503)4z( 
. 
4-4) Temos 
.17)1(4)7z(;15)1(4)5z(;13)1(4)3z( 
 
04. Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades 
trigonométricas. 
0-0) sen
4
x – cos
4
x = sen
2
x – cos
2
x, para todo x real. 
1-1) sen 








x
4
= cos 








x
4
, para todo x real. 
2-2) tg x + cotg x = 
)x2(sen
2
 , para x real e x 
2
k

, com k inteiro. 
3-3) 2cos
2
x + cos(2x) = 3+4cos
2
x, para todo x real. 
4-4) sen(x + y) + sen(x - y) = 2cos xcos y , para quaisquer x e y reais. 
 Resposta: VVVFF 
 Justificativa: 
0-0) sen
4
x– cos
4
x = (sen
2
x + cos
2
x)( sen
2
 x – cos
2
x) = sen
2
x – cos
2
x. 
1-1) sen(π/4+x)= cos(π/2 - π/4-x) = cos(π/4-x). 
2-2) tg x + cotg x = 
)x2(sen
2
xsenxcos
x2cosx2sen
senx
xcos
xcos
senx



. 
3-3) 2cos
2
x + cos(2x) = 2cos
2
x + 2cos
2
x – 1 = 4cos
2
x – 1. 
4-4) sen(x + y)+sen(x – y) = 2sen x cos y. 
05. Considere a função 
|1x||1x|)x(f 
, definida para 
x
 real. Analise as 
afirmações seguintessobre f. 
0-0) f é par. 
1-1) f é positiva. 
2-2) f é injetora. 
3-3) A imagem de f é o intervalo fechado [-2,2]. 
4-4) f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y reais. 
 Resposta: FFFVF 
 Justificativa: 
 Para x<-1, f(x)=-x-1-(-x+1)=-2. Para -1≤ x <1, f(x)=x+1-(-x+1)=2x e para x ≥ 1, 
f(x)=x+1-(x-1)=2. Portanto, f(-x)=-f(x) e f é ímpar. f(-1)=-2 e f não é positiva. 
f(4)=f(2)=2 e f não é injetora. -2 ≤ f(x) ≤ 2 e, por exemplo, 2=f(3)=f(2+1) ≠ 
f(2)+f(1)=2+2. 
06. Numa determinada sala de aula, antes das férias do meio do ano, tinha 1/3 de 
meninos; depois do retorno às aulas, entraram mais 5 meninos na turma e 
nenhum estudante saiu. Nesta nova configuração, temos 60% de meninas. 
Quantos alunos (meninos e meninas) tinha esta sala antes das férias? 
 Resposta: 45 
 Justificativa: 
Número de meninos x, número de meninas 2x. 
No retorno das aulas: x + 5 = 0,4 (3x +5), resolvendo a equação x = 15. 
 Resposta 45 alunos (15 meninos e 30 meninas) 
07. As pedras de um dominó usual são compostas por dois quadrados, com 7 
possíveis marcas (de zero pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um 
dominó se cada quadrado puder ter até 9 pontos? Veja no desenho abaixo um 
exemplo de uma nova pedra do dominó. 
 
 
 Resposta: 55 
 Justificativa: 
 10 possibilidades para cada lado da peça, excluindo as pedras com dois lados 
iguais (carroças) (10×9)/2=45, incluindo as carroças , 45 + 10 = 55 
08. Lançando-se dois dados perfeitos, qual a probabilidade percentual de o produto 
dos resultados obtidos ser maior que a soma? Indique o inteiro mais próximo do 
resultado calculado. 
 Resposta: 67 
 Justificativa: 
 Para que o produto dos resultados seja maior que a soma, os resultados 
devem ser (2,3),...,(2,6),(3,2),...,(3,6), (4,2),...,(4,6),(5,2),...,(5,6),(6,2),...,(6,6) e 
seu número é 4 + 5+ 5 +5 + 5= 24. A probabilidade é 24/36 = 2/3 = 0,666...= 
66,666...% 
09. Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum 
momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade 
para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos 
podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma 
jangada? Assinale a soma dos dígitos. 
 Resposta: 10 
 Justificativa: 
 O grupo contendo o casal pode ser formado de 10 maneiras, e para cada uma 
as 9 pessoas restantes podem ser divididas em 3 grupos de 
280!3/3
3
C3
6
C3
9
C 
 maneiras. Portanto, são 2800 escolhas. 
10. O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem coeficientes a, b números inteiros, e suas 
raízes são inteiras e distintas. Indique |a| + |b|. 
 Resposta: 20 
 Justificativa: 
 O produto das raízes do polinômio é -19. Como 19 é primo, e as raízes são 
inteiras estas são 1, -1 e 19. Segue que a = -(1 – 1 +19) = -19 e b = -1 + 19 – 
19 = -1. Logo, |a| + |b| = 20. 
11. Admita que a população humana na terra seja hoje de 7 bilhões de habitantes e 
que cresce a uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a 
população será de 10 bilhões? Dados: use as aproximações 
15,0
7
10
log10 





 e 
0075,0018,1log10 
. 
 
 Resposta: 20 
 Justificativa: 
 Em t anos, a população será de 7.1,018
t
 bilhões e atingirá os 10 bilhões para t 
tal que ser 7.1,018
t
 = 10. 
 Portanto, t = 






018,1log/
7
10
log 1010
0,15/0,0075 = 20. 
 
12. Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no formato 
de tetraedro regular com 1 cm de aresta. O custo com material para 
confeccionar o pingente foi R$ 11,25 (R$ 3,75 em prata e R$ 7,50 em ouro). 
Quanto o joalheiro gastará com material para confeccionar outro pingente do 
mesmo tipo com aresta 2 cm? Considere que a espessura do banho de ouro 
permanece constante nos pingentes. 
 Resposta: 60 
 Justificativa: 
Ao dobrar a aresta de um tetraedro regular, o volume fica multiplicado por 8 (parte 
de prata), e a área da superfície fica multiplicado por 4 (o banho de ouro) 
 Custo do novo pingente = 3,75 x 8 + 7,50 x 4 = 30 + 30 = 60 
13. Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial 
de 
n)
x
13 x( 
seja independente de x na expansão em potências decrescentes 
de x. 
 Resposta: 16 
 Justificativa: 
 O quinto termo da expansão é 
4
16n
x4nC
4)
x
1
(4n)3 x(4nC


 e, para que não 
dependa de x, devemos ter n = 16. 
14. Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas com 
equações x = 0, y = 0 e 4x + 3y = 24, conforme a ilustração abaixo. Encontre a 
equação da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e 
de seu raio. 
 
x 
y 
 
 Resposta: 12 
 Justificativa: 
 O triângulo é retângulo, logo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa, e 
tem coordenadas (3, 4). O raio da circunferência circunscrita mede metade da 
hipotenusa: 
5
2
2826


 A equação da circunferência é (x – 3)
2
 + (y – 4)
2
 = 
5
2
. 
15. Em uma aula de Biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias 
por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a 
população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por 10 minutos e 
informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, 
Beatriz deve dar sua informação após 1 hora mas, sabendo que a população de 
bactérias obedece à equação P(t)=P0 .e
kt
, Beatriz deduz que encontrará uma 
potência do valor informado por Antônio. Qual é o expoente dessa potência? 
 Resposta: 06 
 Justificativa: 
 O valor informado por Antônio é Q=P0 e
10k
/P0 = e
10k
 e o valor a ser informado 
por Beatriz é P(60)/P0 = P0.e
60k
/P0 = 6)k10e( . 
16. Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm e 
os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura 
abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em cm
3
, assinale V/100. 
 
 
 Resposta: 45 
 Justificativa: 
 A altura do tetraedro é uma aresta do cubo, e sua base é uma face do cubo 
dividida pela diagonal. Sendo o volume do tetraedro um terço da área da base 
multiplicada pela altura é um sexto do volume do cubo, ou seja, V=30
3
/6 = 
4500.