Funções Impĺıcitas

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Func¸o˜es impl´ıcitas
MO´DULO 1 – AULA 12
Aula 12 – Func¸o˜es impl´ıcitas
Objetivo
• Derivar func¸o˜es definidas implicitamente.
Introduc¸a˜o
As func¸o˜es sa˜o o principal objeto de estudo nos cursos de Ca´lculo.
Queremos saber se uma dada func¸a˜o e´ cont´ınua, se e´ diferencia´vel, se admite
um valor ma´ximo numa determinada regia˜o de seu domı´nio etc.
Estamos habituados a nos referir a uma certa func¸a˜o e citar, apenas, a
sua lei de definic¸a˜o, como, por exemplo, a func¸a˜o f(x, y) =
√
4− x2 − y2 .
Isto e´, mencionar uma equac¸a˜o que determina, explicitamente, como calcular
os diferentes valores da func¸a˜o.
No entanto, e´ bom lembrar: uma func¸a˜o consiste de mais coisas ale´m
de sua lei de definic¸a˜o. E´ necessa´rio estabelecer seu domı´nio e seu contra-
domı´nio. A pra´tica de citar a lei de definic¸a˜o como se fosse a pro´pria func¸a˜o
esta´ respaldada na convenc¸a˜o de que, nessas circunstaˆncias, o domı´nio e´
o maior subconjunto do correspondente espac¸o euclidiano no qual tal lei
fac¸a sentido. Assim, retomando o exemplo citado, quando nos referimos a`
func¸a˜o z = f(x, y) =
√
4− x2 − y2 , estamos deixando subentendido que seu
domı´nio e´ o disco fechado B = { (x, y) ; x2 + y2 ≤ 4 }, com centro na origem
e raio 2.
Ale´m das func¸o˜es definidas explicitamente, temos uma grande fonte de
exemplos de func¸o˜es nas chamadas func¸o˜es impl´ıcitas.
Esse tema ja´ foi abordado anteriormente, no estudo das func¸o˜es reais,
de uma varia´vel real. Agora que dispomos de novas ferramentas, tais como as
derivadas parciais, vamos retoma´-lo e aprofunda´-lo um pouco mais. Contudo,
como voceˆ vera´, ele na˜o sera´ esgotado ainda desta vez.
Alguns exemplos
Voceˆ ja´ sabe que, de um modo geral, uma equac¸a˜o da forma f(x, y) =
c define uma curva no plano lR 2 e que uma equac¸a˜o da forma G(x, y, z) = d
define uma superf´ıcie em lR 3.
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Func¸o˜es impl´ıcitas
No contexto das func¸o˜es reais de va´rias varia´veis, tais equac¸o˜es definem
os chamados conjuntos de n´ıvel.
Exemplo 12.1
Aqui esta˜o alguns conjuntos de n´ıvel com suas correspondentes equac¸o˜es.
F (x, y) = 16x2 + 36y2 = 576 G(x, y, z) = 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36
F (x, y) = x4 − 49(x2 − y2) = 0 G(x, y, z) = 9x2 + 4y2 − 9z2 = 36
F (x, y) = x2y + y
3
3 − 4y + ex = 6.08 G(x, y, z) = z2 + (
√
x2 + y2 − 2)2 = 1
F (x, y) = x2y +
y3
3
− 4y + ex = 1 G(x, yz) = (x2 + y2)2 − x2y2z2 = 0
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Func¸o˜es impl´ıcitas
MO´DULO 1 – AULA 12
Em cada um dos casos citados no exemplo, voceˆ pode perceber que, se
considerado globalmente, o conjunto definido pela correspondente equac¸a˜o
na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o (y de x, no caso de duas varia´veis, z de x e y,
no caso de treˆs varia´veis). O problema esta´ na multiplicidade da definic¸a˜o.
Lembre-se de que os gra´ficos de func¸o˜es sa˜o intersectados uma
u´nica vez por retas verticais. Uma elipse, por exemplo, na˜o e´ o gra´fico de
uma func¸a˜o.
Func¸o˜es impl´ıcitas
Dizemos que uma func¸a˜o f : D ⊂ lR −→ lR e´ definida implicitamente
pela equac¸a˜o F (x, y) = c se
F (x, f(x)) = c,
para todo x ∈ D.
Do ponto de vista geome´trico, isso significa que um trecho do conjunto
definido por F (x, y) = c, que se projeta sobre D segundo o eixo Oy, e´ o
gra´fico da func¸a˜o f .
D
Gf
F (x, y) = c
Analogamente, dizemos que a func¸a˜o g : D ⊂ lR 2 −→ lR e´ definida
implicitamente pela equac¸a˜o G(x, y, z) = d se
G(x, y, g(x, y)) = d,
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Func¸o˜es impl´ıcitas
para todo (x, y) ∈ D.
Novamente, uma parte da superf´ıcie definida por G(x, y, z) = d, que se
projeta em D segundo o eixo Oz, e´ o gra´fico da func¸a˜o g.
D
Gg
G(x, y, z) = d
Ehrenfried Walter von
Tschirnhaus (1651–1708) foi
um aristocrata que nasceu
em Kieslingswalde, Saxoˆnia
(atual Alemanha), e morreu
em Dresden. Mas, ao longo
de sua vida, viveu em
diferentes pa´ıses da Europa.
Estudou Matema´tica,
Filosofia e Medicina em
Leiden, na Holanda, e
conviveu com va´rios
expoentes das cieˆncias de
seu tempo, como Wallis e
Collins, em Londres, e
Leibniz e Huygens, em Paris.
O estudo das equac¸o˜es de
terceiro e quarto graus (as
cu´bicas e qua´rticas) era uma
a´rea de pesquisa de grande
interesse na sua e´poca.
Alguns nomes que deram
contribuic¸o˜es nesse campo
sa˜o Vie`te, Euler e Descartes,
entre outros. Em 1683,
Tschirnhaus publicou o
Me´todo para eliminar todos
os termos intermedia´rios de
uma dada equac¸a˜o. Apesar
do exagero do t´ıtulo, esse
trabalho foi a ide´ia mais
importante para a soluc¸a˜o de
equac¸o˜es alge´bricas por um
bom tempo.
Tschirnhaus tambe´m e´
famoso pela descoberta do
processo de produc¸a˜o de
porcelana.
Exemplo 12.2
A equac¸a˜o 9y2 = x (x− 3)2 define uma curva no plano conhecida como
Cu´bica de Tschirnhaus. Veja um esboc¸o dessa curva:
3
Vamos mostrar que as func¸o˜es f, g : [0, ∞) −→ lR , definidas por
f(x) =
√
x (x− 3)2
3
e g(x) =


√
x (x− 3)2
3
, se 0 ≤ x ≤ 3
−
√
x (x− 3)2
3
, se x > 3,
sa˜o func¸o˜es definidas implicitamente por F (x, y) = 9y2 − x (x− 3)2 = 0.
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Para fazer isso, basta constatar que as equac¸o˜es
F (x, f(x)) = 0 e F (x, g(x)) = 0
sa˜o satisfeitas para todo x ≥ 0. Mas, isso e´ imediato, pois, se x ≥ 0, enta˜o
9
(
±
√
x (x− 3)2
3
)2
− x (x− 3)2 = x (x− 3)2 − x (x− 3)2 = 0.
Veja os gra´ficos das func¸o˜es f e g:
Gra´fico de f Gra´fico de g
Atividade 12.1.
Considere a equac¸a˜o G(x, y, z) = xy2 − z2 = 0 e as func¸o˜es f e g,
definidas em D = { (x, y) ∈ lR 2 ; x ≥ 0 }, pelas seguintes leis de definic¸a˜o:
f(x, y) =
√
x y2 e g(x, y) =


−
√
x y2 , se y ≤ 0
√
x y2 , se y > 0.
(a) Mostre que f e g sa˜o func¸o˜es definidas implicitamente por
G(x, y, z) = xy2 − z2 = 0.
(b) Voceˆ poderia dar mais um exemplo de uma func¸a˜o h : D −→ lR ,
tambe´m definida implicitamente por G(x, y, z) = 0?
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A diferenciabilidade entra em ac¸a˜o
Agora que voceˆ viu va´rios exemplos, esta´ na hora de considerar a se-
guinte questa˜o, importante do ponto de vista matema´tico.
Sob quais circunstaˆncias podemos afirmar que uma equac¸a˜o F (x, y) = 0
(ou G(x, y, z) = 0) define func¸o˜es implicitamente?
Caso a resposta desta questa˜o seja positiva, podemos perguntar: Quais
caracter´ısticas teriam essas func¸o˜es?
Essas questo˜es sa˜o t´ıpicas de matema´ticos. Veja, toda a nossa discussa˜o,
ate´ agora, tem sido descritiva, ilustrativa, mas bem pouco precisa.
Note que, nos exemplos dados ate´ agora, era poss´ıvel “resolver” as
equac¸o˜es para encontrar as func¸o˜es definidas implicitamente por elas. No
entanto, ha´ casos em que e´ dif´ıcil, ou imposs´ıvel, resolver a equac¸a˜o por
algum me´todo alge´brico, seja porque a equac¸a˜o na˜o e´ do tipo alge´brico, seja
por ser de grau mais alto.
Exemplo 12.3
Considere G(x, y, z) = zx2 + y2 − yz3 = 6 a equac¸a˜o que define o
conjunto esboc¸ado a seguir.
O ponto (1, 0, 6) satisfaz a equac¸a˜o e, portanto, pertence ao conjunto.
Gostar´ıamos de saber se existe uma func¸a˜o z = g(x, y), definida implicita-
mente em alguma vizinhanc¸a D do ponto (1, 0) em lR 2, tal que
G(x, y, g(x, y)) = 6,
qualquer que seja (x, y) ∈ D. Em particular, ter´ıamos g(1, 0) = 6. Uma
maneira de responder positivamente a essa pergunta seria resolver a equac¸a˜o
zx2 +y2−yz3 = 6 em z e exibir, explicitamente, a lei de definic¸a˜o da func¸a˜o.
Isso, no entanto, e´ dif´ıcil (se bem que poss´ıvel), pois ter´ıamos de resolver
uma equac¸a˜o cu´bica.
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Os dois teoremas que enunciaremos a seguir nos permitira˜o responder
a questo˜es dessetipo.
Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita
Estamos prestes a enunciar um teorema. Isso, para no´s, matema´ticos,
e´ uma coisa muito importante. Cada detalhe conta muito, ainda mais sendo
um dos teoremas basilares da Matema´tica. Muito bem, vamos la´!
Teorema (da func¸a˜o impl´ıcita, caso F (x, y) = c)
Seja F (x, y) uma func¸a˜o de classe C1, definida em um subconjunto
aberto A de lR 2, e seja (a, b) ∈ A, tal que F (a, b) = c. Se ∂F
∂y
(a, b) �= 0,
enta˜o existem intervalos I (a ∈ I) e J (b ∈ J), com I × J ⊂ A, e uma
func¸a˜o f : I −→ J , diferencia´vel, tal que
F (x, f(x)) = c,
qualquer que seja x ∈ I. Ale´m disso,
f ′(x) =
dy
dx
(x) = −
∂F
∂x
(x, f(x))
∂F
∂y
(x, f(x))
.
Veja como podemos usar o teorema no exemplo a seguir.
Exemplo 12.4
Vamos mostrar que a equac¸a˜o x2 +xy+ y2 +sen (x2−2y) = 12 define
uma func¸a˜o y = f(x) em alguma vizinhanc¸a do ponto (2, 2).
Para isso, vamos colocar F (x, y) = x2 + xy + y2 + sen (x2 − 2y), que e´
uma func¸a˜o de classe C1, e calcular
∂F
∂y
(2, 2).
∂F
∂y
(x, y) = 2y + x− 2 cos(x2 − 2y);
∂F
∂y
(2, 2) = 4.
Como
∂F
∂y
(2, 2) = 4 �= 0, o Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita nos garante
a existeˆncia de intervalos I e J , tais que 2 ∈ I e 2 ∈ J , e uma func¸a˜o
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diferencia´vel f : I −→ J , tal que
x2 + x f(x) +
(
f(x)
)2
+ sen
(
x2 − 2 f(x)) = 12
para todo x ∈ I. Ale´m disso, podemos expressar a derivada de f em termos
de x e de y:
f ′(x) = −
∂F
∂x
(x, y)
∂F
∂y
(x, y)
= −y + 2x(1 + cos(x
2 − 2y))
2y + x− 2 cos(x2 − 2y) ,
para todo x ∈ I.
Veja o esboc¸o do conjunto definido por F (x, y) = 12.
(2, 2)
Podemos ver, na figura, que em torno do ponto (2, 2) este conjunto e´ o
gra´fico de uma func¸a˜o y de x.
Uma observac¸a˜o antes de prosseguirmos. O teorema garante a existeˆncia
do intervalo I, o domı´nio da func¸a˜o definida implicitamente f , caso suas
hipo´teses sejam satisfeitas, mas na˜o nos oferece qualquer estimativa de seu
comprimento. Nesse exemplo, podemos perceber que esse domı´nio na˜o pode
ser muito grande.
Esta´ na hora de voceˆ se exercitar!
Atividade 12.2.
Enuncie uma versa˜o do teorema colocando condic¸o˜es para que a equac¸a˜o
F (x, y) = c defina implicitamente uma func¸a˜o x = h(y). Use essa versa˜o do
teorema para mostrar que
x4 + xy + y2 = 16
define x como uma func¸a˜o de y em alguma vizinhanc¸a do ponto (2, 0). Ex-
presse a derivada dessa func¸a˜o em termos de x e de y.
Veja, agora, uma versa˜o do teorema que envolve treˆs varia´veis.
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Teorema (da func¸a˜o impl´ıcita, caso G(x, y, z) = d)
Seja G(x, y, z) uma func¸a˜o de classe C1, definida em um subconjunto
aberto B de lR 3, e seja (a, b, c) ∈ B tal que G(a, b, c) = d. Se ∂G
∂z
(a, b, c) �= 0,
enta˜o existe um aberto D de lR 2 tal que (a, b) ∈ D, e um intervalo J tal que
c ∈ J , com D × J ⊂ B, e uma func¸a˜o g : A −→ J , diferencia´vel, tal que
G(x, y, g(x, y)) = d,
qualquer que seja (x, y) ∈ D. Ale´m disso,
∂g
∂x
(x, y) = −
∂G
∂x
(x, y, g(x, y))
∂G
∂z
(x, y, g(x, y))
e
∂g
∂y
(x, y) = −
∂G
∂y
(x, y, g(x, y))
∂G
∂z
(x, y, g(x, y))
,
para todo (x, y) ∈ D.
Exemplo 12.3 (revisitado)
Vamos usar o Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita para mostrar que
G(x, y, z) = zx2 + y2 − yz3 = 6
define uma func¸a˜o z = g(x, y), implicitamente, em alguma vizinhanc¸a D do
ponto (1, 0) em lR 2, tal que
G(x, y, g(x, y)) = 6,
qualquer que seja (x, y) ∈ D. Como a func¸a˜o G(x, y, z) = zx2 + y2 − yz3 e´
de classe C1, basta calcularmos
∂G
∂z
(1, 0, 6).
∂G
∂z
(x, y, z) = x2 − 3yz2,
∂G
∂z
(1, 0, 6) = 1 �= 0.
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Assim, as hipo´teses do teorema sa˜o satisfeitas e a existeˆncia da func¸a˜o
g esta´ garantida. Ale´m disso, vamos, por exemplo, calcular o seu gradiente.
Para isso, precisamos de
∂g
∂x
e
∂g
∂y
. Assim, temos de usar as fo´rmulas
apresentadas no enunciado do teorema. Veja:
∂g
∂x
= −
∂G
∂x
∂G
∂z
= − 2xz
x2 − 3yz2 ;
∂g
∂y
= −
∂G
∂y
∂G
∂z
= − 2y − z
3
x2 − 3yz2 .
Portanto, o gradiente da func¸a˜o g pode ser expresso em termos das
varia´veis x, y e z:
∇g(x, y) =
(
2xz
x2 − 3yz2 ,
2y − z3
x2 − 3yz2
)
.
Comenta´rios finais
Nesta aula, voceˆ aprendeu a usar as derivadas parciais de F (x, y) para
expressar a derivada da func¸a˜o y de x, definida implicitamente por F (x, y) =
c, em torno de algum ponto (a, b), desde que
∂f
∂y
(a, b) �= 0.
Essa e´ uma maneira alternativa a`quela que voceˆ aprendeu em
Ca´lculo I.
Exemplo 12.4 (revisitado)
Admitindo que a equac¸a˜o x2 + xy + y2 + sen (x2− 2y) = 12 define uma
func¸a˜o y = f(x) em alguma vizinhanc¸a do ponto (2, 2), vamos usar a Regra
da Cadeia das func¸o˜es de uma varia´vel para calcular
dy
dx
.
Basta derivar a equac¸a˜o implicitamente:
2x + y + x
dy
dx
+ 2y
dy
dx
+ (cos(x2 − 2y))
(
2x− 2dy
dx
)
= 0.
Resolvendo essa equac¸a˜o em
dy
dx
, obtemos
(
x + 2y − 2 cos(x2 − 2y)
) dy
dx
+ 2x + y + 2x cos(x2 − 2y) = 0
dy
dx
= −2x
(
1 + cos(x2 − 2y))+ y
x + 2y − 2 cos(x2 − 2y) .
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Apesar de mencionar Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita, apresentamos
duas “verso˜es”, uma no caso F (x, y) = c e outra no caso G(x, y, z) = d.
Na verdade, e´ poss´ıvel apresentar uma u´nica formulac¸a˜o do teorema, que
engloba as duas verso˜es aqui apresentadas. Voltaremos a isso no futuro.
Nessa formulac¸a˜o geral, esse teorema costuma ser demonstrado nos
cursos de ana´lise ao lado da apresentac¸a˜o do chamado Teorema da Func¸a˜o
Inversa. E´ poss´ıvel apresentar uma argumentac¸a˜o para demonstrar essas
formulac¸o˜es do Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita que apresentamos aqui, mas
optamos por na˜o fazeˆ-lo, dando espac¸o para um nu´mero maior de exemplos,
especialmente com suas apresentac¸o˜es geome´tricas. Se voceˆ estiver interes-
sado, podera´ consultar os exemplos 7, 8 e 9 da sec¸a˜o 27.2 do livro Um Curso
de Ca´lculo, Volume 2, de Hamilton Luiz Guidorizzi.
Como as func¸o˜es F (x, y) e G(x, y, z) sa˜o de classe C1, suas derivadas
parciais sa˜o cont´ınuas. Assim, a hipo´tese
∂F
∂y
(a, b) �= 0, por exemplo, garante
que
∂F
∂y
(x, y) �= 0 para (x, y) suficientemente pro´ximos de (a, b). Isso permite,
por exemplo, estabelecer
df
dx
(x) = −
∂F
∂x
(x, y)
∂F
∂y
(x, y)
.
Puxa! Isso foi mais comenta´rio do que voceˆ esperava, na˜o e´? Bem,
enta˜o, aos exerc´ıcios!
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Verifique as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita no ponto (1, 1),
mostrando que a equac¸a˜o ln (xy)− 2xy + 2 = 0 define uma func¸a˜o y = f(x)
implicitamente, e calcule f ′(x).
Exerc´ıcio 2
Verifique que os pontos (1, 1) e (0, 0) satisfazem a equac¸a˜o (x− 2)3y +
x ey−1 = 0. Em torno de qual deles a equac¸a˜o define y como func¸a˜o
diferencia´vel de x? O que se pode dizer caso consideremos x uma
func¸a˜o de y?
141 CEDERJ
Func¸o˜es impl´ıcitas
Exerc´ıcio 3
A equac¸a˜o 2x3 + 2y3 − 9xy = 0 define uma curva alge´brica chamada
Folium de Descartes. Veja um esboc¸o:
Mostre que essa equac¸a˜o define implicitamente uma func¸a˜o diferencia´vel
y = f(x) em torno do ponto (1, 2).
Determine o maior intervalo (a, b) ⊂ lR tal que f : (a, b) −→ lR , com
f(1) = 2, e´ diferencia´vel e definida implicitamente pela equac¸a˜o 2x3 + 2y3 −
9xy = 0.
Exerc´ıcio 4
Verifique as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa no ponto (2,−3,−1)
e calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
para 2x2 + 4y2 + z2 = 45.
Exerc´ıcio 5
Mostre que a equac¸a˜o sen (xy) + sen (yz) + sen (xz) = 1 define uma
func¸a˜o z = g(x, y) implicitamente em torno do ponto (1, π/2, 0) e calculeo
gradiente ∇g dessa func¸a˜o.
Exerc´ıcio 6
Calcule ∇f , o gradiente da func¸a˜o z = f(x, y), definida implicitamente
pela equac¸a˜o a seguir.
(a) ln (x2 + y2 + 1) + exz = 1;
(b) xz2 − 3yz + cos(x + y + z) = 0.
Exerc´ıcio 7
Suponha que o ponto (3, b, c) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o
z3 − xz − y2 = 1.
Determine condic¸o˜es sobre b e c para que a equac¸a˜o defina z como
func¸a˜o de x e de y em torno do ponto dado.
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