ap3 ipe 2011 1 gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e Estat´ıstica Versa˜o Gabarito 2011/1 Coord. Edson Cataldo
1a Questa˜o [2,5 pontos] Um grupo de professores e´ formado por: 3 professores de Matema´tica,
3 professores de F´ısica e 4 professores de Qu´ımica. Deseja formar uma banca de professores para
elaborac¸a˜o de provas de um concurso. Determine quantas bancas distintas podem ser formadas em
cada um dos casos a seguir:
(a) [1,0 ponto] A banca e´ formada por 8 professores.
(b) [1,5 ponto] A banca e´ formada por 2 professores de cada disciplina.
Resoluc¸a˜o:
(a) C(10, 8) = C(10, 2) =
10× 9
2!
= 45 bancas.
(b) Temos, C(3, 2)× C(3, 2)× C(4, 2) = 3× 3× 6 = 54 bancas.
2a Questa˜o [2,5 pontos] Um dado honesto e´ lanc¸ado duas vezes e obte´m-se a soma dos valores
obtidos nos dois lanc¸amentos. Determine:
(a) [1,0 ponto] A probabilidade de a soma ser 4
(b) [1,5 ponto] A probabilidade de a soma ser no ma´ximo 4
Resoluc¸a˜o:
(a) O espac¸o amostral e´ dado por Ω = {(a, b)|1 ≤ a ≤ 6 e 1 ≤ b ≤ 6}. Assim #Ω = 36.
Consideremos o evento A = {(a, b) ∈ Ω|a + b = 4} = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}. Portanto, #A = 3 e
P (A) =
3
36
=
1
12
.
(b) Consideremos o evento B = {(a, b) ∈ Ω|a + b ≤ 4} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2)}.
Portanto, #B = 6 e P (B) =
6
36
=
1
6
.
3a Questa˜o [2,5 pontos] Uma prova conte´m cinco questo˜es de mu´ltipla escolha, sendo cada questa˜o
com quatro alternativas, com apenas uma alternativa correta. Um estudante decidiu chutar as re-
spostas (escolher, ao acaso, uma opc¸a˜o de resposta), pois ele na˜o estudou para a prova.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de o estudante acertar treˆs das cinco questo˜es
(b) [1,5 ponto] Determine a probabilidade de o estudante acertar pelo menos uma questa˜o.
Resoluc¸a˜o: Trata-se de um problema de distribuic¸a˜o binomial.
(a) A probabilidade de acerto de cada questa˜o e´
1
4
.
Portanto, para acertar 3 das 5 questo˜es, temos:
1
C(5, 3)×
(
1
4
)3
×
(
3
4
)2
= 10× 1
64
× 9
16
=
45
512
.
(b) Usaremos a probabilidade do complementar. Temos que a probabilidade de o aluno na˜o acertar
nenhuma questa˜o e´ igual a
C(5, 0)×
(
1
4
)0
×
(
3
4
)5
=
243
1024
Logo, a probabilidade de o estudante acertar pelo menos uma questa˜o e´ igual a 1− 243
1024
=
781
1024
.
4a Questa˜o [2,5 pontos] Os funciona´rios de n´ıvel superior de uma empresa se dividem em economistas
e engenheiros. Sabe-se que 40% sa˜o economistas e 60% sa˜o engenheiros. Sabe-se tambe´m que 20%
dos economistas ocupam cargos de gereˆncia e que 15% dos engenheiros ocupam cargos de gereˆncia.
Escolhe-se, ao acaso, um funciona´rio de n´ıvel superior.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de o funciona´rio escolhido ocupar um cargo de gereˆncia.
(b) [1,5 ponto] Sabendo que o funciona´rio escolhido ocupa um cargo de gereˆncia, determine a
probabilidade de ele ser engenheiro.
Resoluc¸a˜o:
(a) Consideremos os eventos: EC - o funciona´rio e´ economista, ENG - o funciona´rio e´ engenheiro e
G - o funciona´rio e´ gerente.
Temos,
P (G) = P (G|EC)× P (EC) + P (G|ENG)× P (ENG) = 0, 2× 0, 4 + 0, 15× 0, 6 = 0, 17.
(b) Temos, P (ENG|G) = P (G|ENG)× P (ENG)
P (G)
=
0, 15× 0, 60
0, 17
=
9
17
.
2