Balanço de Energia e Equação de Bernoulli

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3.3 Balanço de Energia 
 
 Em um volume de controle integral, o balanço de energia é 
 
{
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
𝑛𝑜 𝑉𝐶
} = {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
𝑛𝑜 𝑉𝐶
} - {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒
𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
𝑛𝑜 𝑉𝐶
} ± {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑜𝑢 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑑𝑜 𝑉𝐶
} ± {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑜𝑢 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑑𝑜 𝑉𝐶
} 
 
 O balanço de energia na forma integral fica: 
 
 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑒𝑑𝑉 = −∫ 𝜌𝑒(𝑉 ∙ 𝑛)𝑑𝐴 + �̇� + �̇�
𝑆𝐶𝑉𝐶
 
 
 
 Em que 𝑒 é a energia específica do fluido, cujas contribuições são 
 
𝑒 = 𝑢⏟
𝑒𝑛.𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎
+ 𝑣2 2⁄⏟ 
𝑒𝑛.𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎
+ 𝑔𝑧⏟
𝑒𝑛.𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎
 
 
 
 [𝑒] =
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
 
 
 
 Taxa de trabalho (ou potência): realizado por forças externas ao VC 
 
o Taxa de trabalho feito sobre o sistema: �̇� > 0 
o Taxa de trabalho feito pelo sistema: �̇� < 0 
o Contribuições para o termo �̇�: 
 
 
�̇� = 𝑊𝑆⏟̇
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑑𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜
+ �̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙⏟ 
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 .𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠
𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠
+ �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜⏟ 
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 .𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠
𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
+ �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠⏟ 
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 .𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠
𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑧𝑎𝑠
 
 
obs: { 
�̇�𝑆: bomba, agitador, turbina etc 
�̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙: trabalho de forças de pressão e 
outras forças normais 
�̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 forças elétricas, magnéticas etc 
 
 Lembrando das dimensões de trabalho e potência: 
 
[𝑊] = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 × 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 
 
 
[𝑊]̇ =
𝑓𝑜𝑟ç𝑎 × 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 × 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
 
 Termo de potência das forças normais: simplificação 
 
 
 
o Forças normais: utilizar somente as componentes normais do tensor tensão: 
 
𝑑𝑭𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 = 𝑑𝑨 𝝈 = 𝒏 𝝈 𝑑𝐴 
 
𝝈 = [
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧
] 
 
�̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = ∫ 𝑑𝑭𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 ∙ 𝑽 = ∫ 𝒏 𝝈 𝑑𝐴 ∙ 𝑽
𝑆𝐶
= ∫ 𝑽 ∙ 𝒏 𝝈 𝑑𝐴
𝑆𝐶
 
 
 
o Como as maiores contribuições para as tensões normais são de pressão, 
 
 
𝝈 = [
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧
] ≈ [
−𝑝
−𝑝
−𝑝
] = −𝑝𝑰 
 
 
�̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 ≈ ∫ 𝑽 ∙ 𝒏 (−𝑝𝑰)𝑑𝐴 =
𝑆𝐶
∫ −𝑝 (𝑽 ∙ 𝒏) 𝑑𝐴
𝑆𝐶
= ∫ −
𝑝
𝜌⏟
−𝑝𝑣
𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)𝑑𝐴
𝑆𝐶
 
 
 
 
 O balanço de energia se torna: 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 = −∫ 𝑒𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)𝑑𝐴 + �̇� + �̇�𝑆 + �̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 + �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑆𝐶𝑉𝐶
 
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 = −∫ (𝑢 + 𝑝𝑣 +
V2
2
+ gz)𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)𝑑𝐴 + �̇�𝑆 + �̇�𝑐𝑖𝑠 + �̇�𝑜𝑢𝑡 + �̇�
𝑆𝐶𝑉𝐶
 
 
 
(𝑢 + 𝑝𝑣 = ℎ, entalpia específica) 
 
Exemplo. Deduza as formas do balanço de energia comumente estudadas na disciplina de Termodinâmica, a partir do 
balanço de energia para um VC e das hipóteses a elas referentes. 
 
(a) Δ𝑈 = 𝑄 +𝑊: sistema fechado, VC fixo no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Δ𝐻 = 𝑄 +𝑊: sistema aberto e em regime permanente, com somente uma corrente de entrada e uma de saída, com 
velocidades normais às áreas de entrada/saída, propriedades uniformes ao longo destas áreas e variações de energia 
potencial gravitacional e de energia cinética das correntes considerados desprezíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Equação de Bernoulli (a partir do Balanço de Energia) 
 
 Balanço de energia para escoamento: 
o Permanente (∂/∂t = 0); 
o Incompressível (ρ constante); 
o �̇�𝑐𝑖𝑠 = �̇�𝑆 = �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 0; 
o Em um VC limitado por duas linhas de corrente, isto é, só há entrada ou saída através de A1 e A2; 
o Com propriedades uniformes ao longo de A1 e A2 (exemplo: V em A1 é 𝑉1); 
 
 
 
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉 = −∫ (𝑢 + 𝑝𝑣 +
V2
2
+ gz)𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)𝑑𝐴 + �̇�𝑆 + �̇�𝑐𝑖𝑠 + �̇�𝑜𝑢𝑡 + �̇�
𝑆𝐶𝑉𝐶
 
 
 
 
0 = [−(𝑢 + 𝑝𝑣 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)]
1
∫𝑑𝐴
1
+ [−(𝑢 + 𝑝𝑣 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)]
2
∫𝑑𝐴 + �̇�
2
 
 
 
Sendo: 
{
 
 𝑉1 ∙ 𝑛1 = −𝑉1 ∴ ∫𝑑𝐴
1
= 𝐴1
𝑉2 ∙ 𝑛2 = −𝑉2 ∴ ∫𝑑𝐴
2
= 𝐴2
 
 
(𝑢2 + 𝑝2𝑣2 +
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2)𝜌2𝑉2𝐴2⏟ 
�̇�2
= (𝑢1 + 𝑝1𝑣1 +
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1)𝜌1𝑉1𝐴1⏟ 
�̇�1
 
 
 
 Balanço de massa em regime permanente: 
 
 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉 = −∫ 𝜌(𝑉 ∙ 𝑛)𝑑𝐴 → 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2 ∴ �̇�1 = �̇�2 = �̇�
𝑆𝐶𝑉𝐶
 
 
 
 
 Se o fluido é incompressível, a densidade não varia entre as seções 1 e 2: 
 
 
𝜌1 =
1
𝑣1
= 𝜌2 =
1
𝑣2
= 𝜌 
 
Então: 
 
 
(
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) =
�̇�
�̇�
+ (𝑢2 − 𝑢1) 
 
 
 
 Se 
�̇�
�̇�
− (𝑢2 − 𝑢1) = 0, então: 
 
 
 
 
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2 
 
(equação de Bernoulli) 
 
 Lembrando: hipóteses subjacentes da equação de Bernoulli: 
 
o �̇� = �̇�(𝑢2 − 𝑢1), isto é, a variação de energia interna (Δ𝑢) é causada apenas por calor adicionado ou 
retirado. 
o Não há forças cisalhantes (𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜); 
o Fluido incompressível (𝜌 constante); 
o Não há trabalhos de eixo (𝑊𝑆). 
 
Exemplo. Calcule a pressão na saída do bocal a seguir, admitindo escoamento invíscido, incompressível e 
permanente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Um líquido é aquecido em um tubo vertical de diâmetro constante, e 15 m de comprimento. O escoamento 
é para cima. Na entrada, a velocidade média é de 1 m/s, a pressão é de 340.000 Pa e a densidade é 1001 kg/m³. 
Calcule (a) a pressão na parte superior do tubo; (b) a variação de energia interna do fluido, sabendo que o calor doado 
a ele é 2x10
5
 J/Kg.