Primeiro e segundo estágio Cálculo II 2014.2

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: MANHÃPROFESSOR: DATA: 12/11/2014ALUNO(A): NOTA:
AVALIAÇÃO 1
1. (2,0) Calcule as integrais que sejam convergentes.
(a) ∫ +∞0 2x1 + x2dx (b)
∫ 3
0
1x − 1dx2. (1,0) Esboce a região compreendida entre as curvas
y = x2 + 1, y = x, x = −1, x = 2
e encontre a sua área.
3. (3,0) Encontre o volume do sólido resultante quando a região delimitada pelas curvas dadasgiram em torno do eixo indicado.
(a) A região limitada pelas curvas y = ex , y = 0, x = ln 2 e x = ln 3 gira em torno do eixox . (Sugestão: use o método do disco).(b) A região limitada pelas curvas x = y2, x = y+ 2 gira em torno do eixo y. (Sugestão:use o método do anel).(c) A região limitada pelas curvas y = x2, y = 0, x = 1 e x = 2 gira em torno do eixo y.(Sugestão: use cascas cilíndricas).
4. (2,0) Encontre o comprimento das curvas.
(a) x = cos 4t, y = sen 4t de t = 0 a t = pi/4.
(b) y = x3/23 de x = 0 a x = 1.5. (2,0) Uma mola exerce uma força de 100 N quando esticada por 0, 2 m além de seucomprimento natural. Qual é o trabalho necessário para esticar a mola 0, 8 m além deseu comprimento natural?
BOA PROVA!!!
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: TARDEPROFESSOR: DATA: 12/11/2014ALUNO(A): NOTA:
AVALIAÇÃO 1
1. (2, 0 pontos) Verifique se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes.
(a) ∫ 20 x(x2 − 1)2 dx(b) ∫ ∞0 dx√(x + 1)5 .
2. (1, 5 pontos) Mostre, usando o teste da comparação, que a integral ∫ ∞2 xdx3 + x3 converge.3. (1, 5 pontos) Calcule a área da região limitada pela circunferência x2 + y2 = 4 e acima dareta y = 1.4. (2, 0 pontos) Considere a região R limitada por y = 1− x2, x = −2, x = 2 e y = 2.(a) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da retay = 2.(b) Escreva as integrais que determinam o volume do sólido gerado pela rotaçãoda região R em torno da reta x = 3. (i) Usando cascas cilíndricas. (ii) Usandoaneis.5. (1, 5 pontos) Encontrar o comprimento da curva dada pela equação y = 1 − ln(cos x),pi6 ≤ x ≤ pi4 .6. (1, 5 pontos) Uma mola tem comprimento natural de 10m. Sob um peso de 5N , ela sedistende 3m.(a) Determinar o trabalho realizado para distender a mola de seu comprimentonaturalaté 25m.(b) Determinar o trabalho realizado para distender a mola de 11m a 21m.
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: MANHÃPROFESSOR: DATA: 02/02/2015ALUNO(A): NOTA:
REPOSIÇÃO DA AVALIAÇÃO 1
1. (3,0) Calcule as integrais.
(a) ∫ +∞−∞ dx1 + x2 (b)
∫ 1
0
dx√x(x + 1)2. (1,0) Esboce a região compreendida entre as curvas
x = (y− 2)2 e y = x
e encontre a sua área.3. (3,0) Encontre o volume do sólido resultante quando a região delimitada pelas curvasdadas giram em torno do eixo indicado.
(a) A região limitada pelas curvas y = √3− x , y = 0 e x = −1 gira em torno doeixo x .(b) A região limitada pelas curvas y2 = 4x e x = 4 gira em torno da reta x = 6.(c) A região limitada pelas curvas y = ex , y = 0, x = 1 e x = 2 gira em torno doeixo y.
4. (2,0) Encontre o comprimento das curvas.(a) x = 1 + cos 3√t, y = 3− sen 3√t de t = 0 a t = pi.(b) 24xy = y4 + 48 de y = 2 a x = 4.5. (1,0) Uma corrente de aço com 100 pés de comprimento e pesando 15 lb/pé estápendente por uma polia. Qual é o trabalho necessário para içar a corrente pelapolia?
BOA PROVA!!!
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: TARDEPROFESSOR: DATA: 02/02/2015ALUNO(A): NOTA:
REPOSIÇÃO DA AVALIAÇÃO 1
1. (3,0) Calcule as integrais.
(a) ∫ +∞0 2xe−x2dx (b)
∫ 4
1
dx(x − 2)2/32. (1,0) Esboce a região compreendida entre as curvas
y = x2 − x e y = x
e encontre a sua área.3. (3,0) Encontre o volume do sólido resultante quando a região delimitada pelas curvasdadas giram em torno do eixo indicado.
(a) A região limitada pelas curvas y = 12 − x2, y = x e x = 0 (no primeiroquadrante) gira em torno do eixo y.(b) A região limitada pelas curvas y = 1/2 + x2 e y = x , quando 0 ≤ x ≤ 2, giraem torno do eixo x .(c) A região limitada pelas curvas y = x e y = x2 (no primeiro quadrante) gira emtorno do eixo y.
4. (2,0) Encontre o comprimento das curvas.(a) x = 1 + cos 3√t, y = 3− sen 3√t de t = 0 a t = pi.(b) y = x3/2 de x = 0 a x = 2.5. (1,0) Uma mola exerce uma força de 5 N quando esticada 1 m além de seucomprimento natural
(a) Encontre a constante da mola.(b) Quanto trabalho é necessário para esticar a mola 1, 8 m além de seucomprimento natural?
BOA PROVA!!!
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: MANHÃPROFESSOR: DATA: 17/12/2014ALUNO(A): NOTA:
AVALIAÇÃO 2
1. Determine se a sequência converge e, se isso ocorrer, encontre o seu limite.
(a) { n2n}+∞n=1 (b)
{(n+ 3n+ 1
)n}+∞
n=12. Use frações parciais para encontrar uma expressão para a enésima soma parcial dasérie telescópica ∞∑n=1 2n2 + 2n . Em seguida, calcule o limite da enésima soma parcialpara mostrar a igualdade ∞∑
n=1
2n2 + 2n = 32 .
3. Determine se a série converge e, se convergir e for possível, encontre sua soma.
(a) ∞∑n=1
√n√n+ 3
(b) ∞∑n=1 n
nn!
(c) ∞∑n=2 1(ln(n+ 1))n
(d) ∞∑n=1
( 12n − 12n+1
)
4. Confirme se é aplicável o teste da integral para ∞∑n=1 lnnn e use-o para determinar sea série converge.5. Classifique a série ∞∑
n=1(−1)n3n
3 − 2n2 + 4n7 − n3 + 2
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
6. Mostre que a série ∞∑n=1 (−1)
n+1n! satisfaz as hipóteses do Teorema de Leibniz. Emseguida, determine uma estimativa para o erro (ou uma cota superior para o valorabsoluto do erro) que resulta se a soma da série for aproximada pela soma parcials5. BOA PROVA!!!
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: TARDEPROFESSOR: DATA: 17/12/2014ALUNO(A): NOTA:
AVALIAÇÃO 2
1. Determine se a sequência converge e, se isso ocorrer, encontre o seu limite.
(a) {pin4n
}+∞
n=1 (b)
{sen2 nn
}+∞
n=12. Use frações parciais para encontrar uma expressão para a enésima soma parcial dasérie telescópica ∞∑n=2 2n2 − 1 . Em seguida, calcule o limite da enésima soma parcialpara mostrar a igualdade ∞∑
n=2
2n2 − 1 = 32 .
3. Determine se a série converge e, se convergir e for possível, encontre sua soma.
(a) ∞∑n=1
(1 + 1n
)n
(b) ∞∑n=1 n!nn
(c) ∞∑n=2
(4n− 52n+ 1
)n
(d) ∞∑n=1(−1)n−1 76n−1
4. Confirme se é aplicável o teste da integral para ∞∑n=1 arctann1 + n2 e use-o para determinarse a série converge.5. Classifique a série ∞∑
n=3(−1)n+1 n
2n3 + 1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
6. Mostre que a série ∞∑n=1 (−1)
n+1√n satisfaz as hipóteses do Teorema de Leibniz. Emseguida, determine uma estimativa para o erro (ou uma cota superior para o valorabsoluto do erro) que resulta se a soma da série for aproximada pela soma parcials99. BOA PROVA!!!
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: TARDEPROFESSOR: DATA: 11/03/2015ALUNO(A): NOTA:
AVALIAÇÃO 3
1. (2,0) Suponha que a função f esteja representada pela série de potências
f (x) = 1− x2 + x24 − x38 + · · ·+ (−1)n xn2n + · · · .
Encontre o domínio de f . Encontre f (0) e f (1).2. (1,5) Determine um enésimo polinômio de Maclaurin de ex que aproximar e com cincocasas decimais de precisão. (Sugestão: Use o Teorema da Estimativa do Resto coma desigualdade ex < e < 3 = M , x ∈ [0, 1]).3. (2,0) Encontre os quatro primeiros termos da série binomial para (1 + x3)1/2. Emseguida, use derivação termo a termo para encontrar os três primeiros termos dasérie de Maclaurin da função f (x) = 3x22(1 + x3)1/2 válida em −1 < x < 1.
4. (1,5) Encontre a série de Maclaurin para a função senh x = ex − e−x2 .5. (1,0) Obtenha a função vetorial r(t) sabendo que o vetor velocidade é dado porv (t) = 3~i+ 2t~j e r(1) = 2~i+ 5~j .6. (2,0) O gráfico da equação vetorial
r(t) = (2 cos t)~i+ (3 sen t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi
é a elipse da figura abaixo. Obtenha a curvatura da elipse nosextremos dos eixosmaior e menor.
Sugestão: Pode usar a fórmula já conhecida
κ(t) = 1|v |
∣∣∣∣dTdt
∣∣∣∣
ou então a fórmula alternativa
κ(t) = |r′(t)× r′′(t)||r′(t)|3 .
BOA PROVA!!!
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II PERÍODO: 2014.2CURSO: TURNO: TARDEPROFESSOR: DATA: 16/03/2015ALUNO(A): NOTA:
REPOSIÇÃO DA AVALIAÇÃO 3
1. (2,0) Determine o intervalo e o raio de convergência da série ∞∑n=0
(34
)n (x + 5)n.
2. (1,5) Determine um enésimo polinômio de Maclaurin de ex que aproxima √e comtrês casas decimais de precisão. (Sugestão: Use o Teorema da Estimativa do Restocom a desigualdade ex < e < 3 = M , x ∈ [0, 1]).3. (2,0) Encontre os quatro primeiros termos da série binomial para (1 − x/2)−2. Emseguida, use derivação termo a termo para encontrar os três primeiros termos dasérie de Maclaurin da função f (x) = (1− x/2)−3 válida em −1 < x < 1.
4. (1,5) Encontre a série de Maclaurin para a função cosh x = ex + e−x2 .5. (1,0) Obtenha a função vetorial r(t) sabendo que o vetor velocidade é dado porv (t) = 3~i+ 2t~j e r(1) = 2~i+ 5~j .6. (2,0) O gráfico da equação vetorial
r(t) = (3 cos t)~i+ (2 sen t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi
é a elipse da figura abaixo. Obtenha a curvatura da elipse nos extremos dos eixosmaior e menor. Sugestão: Pode usar a fórmula já conhecida
κ(t) = 1|v |
∣∣∣∣dTdt
∣∣∣∣
ou então a fórmula alternativa
κ(t) = |r′(t)× r′′(t)||r′(t)|3 .
BOA PROVA!!!