CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

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Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
		
	 
	V,V,F,F.
	
	V,F,V,F.
	
	V,V,V,V.
	
	F,V,F,F.
	
	V,F,V,V.
	
Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos
		
	
	1
	 
	3
	
	0
	
	-1
	
	2
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores :  (AB)+ (BC)?
		
	
	(2,0)
	
	(0,2)
	
	(1,0)
	
	(0,1)
	 
	(0,0)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	3/2
	
	-8/3
	 
	8/3
	
	2/5
	
	-3/2
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=2
	
	x=1
	 
	x=3
	
	x=4
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	
	(126/3, 96/3)
	
	(126/3, 104/3)
	
	(104/3, 119/3)
	
	(134/3, 96/3)
	 
	(134/3, 119/3)
	
Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4).
		
	
	45°
	
	30°
	
	90°
	 
	0°
	
	60°
	
Explicação:
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26
!!u!!=V3²+2² = V9+4 = V13
!!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13
 
Logo, chamando de  A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 26 / V13.2V13 = 26 / 2.13 = 1
Daí: A=0°
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	 
	0 e 1/2
	
	2/3 e -2
	
	-1 e 1/2
	
	1 e 2/3
	
	-1 e 0
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	
	Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0).
		
	
	-1
	
	3
	 
	0
	
	2
	
	-4
	
Explicação:
O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
 
		
	
	4
	 
	-4
	
	2
	
	3
	
	-3
	
Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na terna:
		
	
	(D) (2, 3, 3)
	
	(B) (7, 15, 12)
	
	(A) (0, - 3, - 3)
	 
	(C) 0, 3, 3)
	
	(E) (0, 0, 0)
	
Explicação:
Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) + (- 1, 1, 0) = (0, 3, 3)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t:
		
	
	2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2
	 
	x-3= (y-3)/2=(z-1)/2
	
	) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3
	
	x-3= (y-2)/2=(z-3)/3
	
	x-2= (y-3)/3=(z-1)/2
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VABsejam tais que,  VAC =2/3.VAB .
		
	
	C = (4, 10/3)
	
	C = (10/3, 4/5)
	 
	C = (11/3, 7/3)
	
	C = (5/3, 2/5)
	
	C = (1/3, 2/3)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale:
		
	 
	(B) 3
	
	(D) √7
	
	(A) 1
	
	(C) 9
	
	(E) 2√5
	
Explicação:
raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto u.u.
		
	
	-14
	
	-13
	
	0
	 
	14
	
	15
	
Explicação: u.u = 3.(3) + 2.(2) + 1.(1) = 14
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados dois vetores no espaço u e v. Desejase encontrar um terceiro vetor w, ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta,você usaria:
		
	
	O método de Grand Schimidt.
	
	O método de ortogonais concorrentes.
	
	O método de ortonormalização.
	
	Produto escalar dos vetores u e v.
	 
	Produto vetorial dos vetores u e v.
	Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	3/8
	 
	-3/2
	
	5/8
	
	2/8
	
	-5/8
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos é:
		
	 
	3
	
	2
	
	6
	
	9
	
	1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a:
		
	
	15º
	
	45º
	
	30º
	
	60º
	 
	90º
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
O módulo do vetor →u=(-3,0,-4) é igual a 5
As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →i, →j e →k, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	
	IV e V estão corretas
	
	III e IV estão corretas
	
	I e III estão corretas
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	Apenas I está correta
	
Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é:
		
	
	0
	 
	3
	
	6
	
	9
	
	2
	
Explicação:
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais6a Questão
	
	
	
	
	Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x).
		
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=2 e t=3
	
	x=4 e t=6
	 
	x=2 e t=6
	
	x=4 e t=3
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determinar os valores de m e n para que os vetores →u=(m+1)→i + 2→j + →k e  →v=(4,2,2n-1) sejamiguais.
		
	
	m= 0 e n= 1
	
	m= 3 e n= -1
	
	m= 5 e n= -1
	
	m= -5 e n= 1
	 
	m= 3 e n= 1
	
Explicação:
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2  e 1=2n-1 => n=1
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u (1, 3, 2 ) e v ( 4, 2, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	14
	
	-13
	
	12
	
	13
	 
	-14
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= i + 3j+ 2k e v= 4i +2j+xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-4
	
	2
	
	4
	 
	-5
	
	5
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim:
u.v = 0 => (1.3,2) . (4.2.x) = 0 => 4+6+2x = 0 => 2x = -10 => x = -5.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v.
		
	
	12
	 
	14
	
	22
	
	18
	
	13
	
Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (4, a, -1) e v (a, 2, 3) e os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2, -1), determinar o valor de a tal que u.(v + BA) = 5.
		
	
	7/6
	
	8/5
	
	0
	 
	7/3
	
	-7/3
	
Explicação:
BA = A - B = (1, -3, 3)
v + BA = (a, 2, 3) + (1, -3, 3) = (a + 1, -1, 6)
u.(v+BA)=5 => (4, a, -1).(a + 1, -1, 6) = 5 =>  4.(a + 1) + a.(-1) - 1.(6) = 5 => 4.a + 4 - a - 6 = 5 => 3.a = 7 =>a = 7/3 
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores
→u=(3,m,−2),→v=(1,−1,0)→w=(2,−1,2)
sejam coplanares?
		
	 
	m = -4
	
	m= 2
	
	m=-2
	
	m = 4
	
	m= -8
	
Explicação:
Para que os vetores sejam coplanares devemos ter o produto miso nulo. Assim:
                       3    m    -2
(u,v,w)=0 =>   1     -1     0   =  0   => -6+2-4-2m=0 => m=-4
                        2    -1      2
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sendo o módulo do vetor  u = 2 , o módulo do vetor v = 3 e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o módulo de u - v ao quadrado.
		
	
	16
	
	raiz quadrada de 18
	 
	raiz quadrada de 19
	
	18
	
	19
	
Explicação:
u - v ao quadrado = o módulo de u ao quadrado - 2.u.v + módulo de v ao quadrado. = 4 - 2.(-3) + 9 = 19 = = raiz quadrada de 19.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é:
		
	
	(B) 45
	
	(A) 30
	
	(E) 270
	
	(C) 90
	 
	(D) 150
	
Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 Logo: cos x = (- √3/2), então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u=(-1,2´-4) e v=(3,-5,7) determine o valor de u.v - v.u.
		
	
	-82
	 
	0
	
	82
	
	-4
	
	-41
	
Explicação:
Temos que:
u.v = (-1,2,-4) . (3,-5,7) = -1,3+2.(-5) +(-4).7 = -3-10-28 = -41
v.u = (3,-5,7) . (-1,2,-4) = 3.(-1)+(-5).2+7.(-4) = -3-10-28=-41
Logo: u.v - v.u = -41 - (-41) = -41+41 = 0
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Na física,  se uma força constante  F→  desloca um objeto do ponto A para o ponto B ,  o trabalho  W   realizado por  F→,  movendo este objeto,  é definido como sendo o produto da força ao longo da distância percorrida. 
Em termos matemáticos escrevemos:
 W = ( I F→I  cos  θ )  I D→ I
onde D→  é o vetor deslocamento  e  θ  o ângulo dos dois  vetores . Este produto tem um correspondente em Cálculo Vetorial.
Sendo F→ = -2 i→ + 3j→ - k→  , medida em newtons,    A(3, -3, 3), B(2, -1, 2)  e com a unidade de comprimento metro, o trabalho realizado em joules é
		
	
	15
	
	13
	
	3
	 
	9
	
	7
	
	
	Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	 
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	X= 1+t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	
	X= -1+t y = -2 z = -t
	
	X= -1-t y = -2 z = t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calculado o produto misto de três vetores como, a partir desse valor, pode-se calcular o volume de um tetraedro que tivesse esses três vetores como arestas?
		
	 
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir o módulo do valor do produto misto por seis.
	
	Fazer com que os vetores se tornem coplanares.
	
	Calculando-se o valor de um sexto do produto misto incondicionalmente.
	
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir do valor do produto misto por seis.
	
	Multiplicar o resultado por 2
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 )  que tem a direção do vetor (3,0, 0 )
		
	 
	x= 1+3t y=2 z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=t
	
	x= 3t y=2 z=-1
	
	x= 1+3t y=2t z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=1
	
Explicação:
Devemos ter:
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
                                             y=2
                                             z=-1
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (0, 0, 1 )
		
	 
	x= 5 y=-2 z=t
	
	x= 5 y=-2+ t z=t
	
	x= 5 y=-2+t z=t
	
	x= 5 y=-2 z=1
	
	x= 5 - t y=-2 z=t
	
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugar
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a reta que passa pelos pontos A(2, 1, - 3) e B(4, 2, 0). Assinale a opção que mostra um outro ponto que pertence a este plano.
		
	
	D(0, 0, 11)
	
	G(0, 0, 8)
	 
	C(6, 3, 3)
	
	E(0, 0, 12)
	
	F(0, 0, 14)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -1+t y = -t z = 1+t
	
	X= -1+t y = t z = 1-t
	 
	X= -1+t y = t z = 1+t
	
	X= 1+t y = t z = 1+t
	
	X= -1+t y = t z = -1+t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e  z=1+t
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5   e    s: x=-2+tsejam ortogonais.
                                                                         z=-3x                 y=4-2t
                                                                                                   z=5t
		
	
	-11/2
	
	13/2
	 
	-15/2
	
	-9/2
	
	7/2
	
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente  U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5).
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter:  u.v= 0, daí:
(1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7).
		
	
	x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3
	
	x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 /7
	
	x-5 / -4 = y-2 /-4 = z+3 / 7
	 
	X-5 /4 = Y+2 /-4 = Z-3 / -7
	
	x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3
	
Explicação:
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y"z") é dada por: x-x' / x" =  y-y' / y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados.