Função do Segundo Grau

Prévia do material em texto

Função do Segundo Grau
APRESENTAÇÃO
Olá!
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos a função do segundo grau: sua definição, seus métodos de solução e seu gráfico.
Bons estudos.
Ao final desta unidade, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
-Definir uma função do segundo grau;
-Resolver equações quadráticas pelo método de fatoração e pela fórmula quadrática;
-Desenhar o gráfico da função do segundo grau.
DESAFIO
Juca está organizando a tão sonhada viagem de fim de ano com toda a sua família. Ele pesquisou em várias agências de viagem que oferecem pacotes turísticos coletivos. Juca estima que serão 30 pessoas e, se todos forem, a agência "Viaje Mais" informou que cada cliente pagará R$ 3000,00 para aéreo e hotel all incluse ao destino desejado. Mas, o valor ofertado é especial por ser para 30 clientes. Caso haja desistência, cada pessoa que irá deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem.
Defina a fórmula que apresenta o valor total (R) que a agência Viaje Mais ganhará na venda do pacote turístico para Juca e sua família.
PADRÃO DE RESPOSTA ESPERADO
Considerando a receita da agência Viaje Mais como R(x), e x a quantidade de pessoas da família de Juca que viajarão, tem-se que R(x) é a função de segundo grau:
R(x) = x(3000 + 100(30 - x))
R(x) = x(3000 + 3000 - 100x)
R(x) = x(6000 - 100x)
R(x) = 6000x - 100x²
Observação:
(30 - x) é a quantidade real de viajantes se houver desistentes, já que há pagamento extra caso as 30 pessoas da família de Juca não fechem o pacote.
EXERCÍCIOS
1) O método por fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na propriedade do produto ________________. Consequentemente, a fim de resolvermos a equação quadrática por fatoração, um dos lados da equação deve ser igual a ________________. A opção que, respectivamente, preenche corretamente as lacunas acima é: 
a) dois, zero.
b) zero, zero.
RESPOSTA CORRETA
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos. Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
c) par, par.
d) ímpar, ímpar.
e) par, ímpar.
2) Resolva a seguinte equação por fatoração: x² – 19x = 20. 
a) x = 1, x = 20.
b) x = 1/2; x = -20.
c) x = -1; x = 20.
RESPOSTA CORRETA
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 =0 Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0 Igualando cada termo a zero: a . x − 20 = 0 x = 20 b . x + 1 = 0 x = -1 Solução: x = -1 e x = 20
d) x = -1/2; x = -20.
e) x = 20.
3) Encontre a função do segundo grau para que a soma entre dois números positivos seja 30 e o produto entre eles seja 230. 
a) x² – 30x + 230 = 0
RESPOSTA CORRETA
Sejam x e y os números desejados, então: x + y = 30 x . y = 230 Da primeira equação temos que y = 30 – x, que substituindo na segunda: x(30 – x) = 230 30x – x² – 230 = 0 x² – 30x + 230 = 0
b) x² – 230x + 30 = 0
c) x² – 30x = 0
d) x² + 230 = 0
e) x² – 3x + 30 = 0
4) Considere a função f do segundo grau, em que f (0) = 5, f (1) = 3 e f (−1) = 1. A lei de formação dessa função pode ser escrita conforme: 
a) f(x)= −x² + x + 5
b) f(x)= 5x² + x + 3
c) f(x)= −5x² + x + 3
d) f(x)= −3x² + x + 5
RESPOSTA CORRETA
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0. f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5 f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i) f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii) b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a + b = −2 (ii) a − b = −4 (i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1 c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
e) f(x)= 3x² + x + 5
5) Considere uma sala de tamanho retangular cuja área é 12. 800 cm². Sabendo-se que a largura é o dobro da altura do local, encontre as dimensões da sala. 
a) Largura: 30 cm/ Altura: 30 cm.
b) Largura: 40 cm/ Altura: 80 cm.
c) Largura: 80 cm/ Altura: 40 cm.
d) Largura: 80 cm/ Altura: 160 cm.
e) Largura: 160 cm/ Altura: 80 cm.
RESPOSTA CORRETA
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800 Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80. Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160